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9.1 圖
圖（graph）是一種非線性資料結構，由頂點（vertex）和邊（edge）組成。我們可以將圖 G 抽象地表示為一組頂點 V 和一組邊 E 的集合。以下示例展示了一個包含 5 個頂點和 7 條邊的圖。
$$
\begin{aligned}
V & = { 1, 2, 3, 4, 5 } \newline
E & = { (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) } \newline
G & = { V, E } \newline
\end{aligned}
如果將頂點看作節點，將邊看作連線各個節點的引用（指標），我們就可以將圖看作一種從鏈結串列拓展而來的資料結構。如圖 9-1 所示，相較於線性關係（鏈結串列）和分治關係（樹），網路關係（圖）的自由度更高，因而更為複雜。
{ class="animation-figure" }
圖 9-1 鏈結串列、樹、圖之間的關係
9.1.1 圖的常見型別與術語
根據邊是否具有方向，可分為無向圖（undirected graph）和有向圖（directed graph），如圖 9-2 所示。
- 在無向圖中，邊表示兩頂點之間的“雙向”連線關係，例如微信或 QQ 中的“好友關係”。
- 在有向圖中，邊具有方向性，即
A \rightarrow B和A \leftarrow B兩個方向的邊是相互獨立的，例如微博或抖音上的“關注”與“被關注”關係。
{ class="animation-figure" }
圖 9-2 有向圖與無向圖
根據所有頂點是否連通，可分為連通圖（connected graph）和非連通圖（disconnected graph），如圖 9-3 所示。
- 對於連通圖，從某個頂點出發，可以到達其餘任意頂點。
- 對於非連通圖，從某個頂點出發，至少有一個頂點無法到達。
{ class="animation-figure" }
圖 9-3 連通圖與非連通圖
我們還可以為邊新增“權重”變數，從而得到如圖 9-4 所示的有權圖（weighted graph）。例如在《王者榮耀》等手遊中，系統會根據共同遊戲時間來計算玩家之間的“親密度”，這種親密度網路就可以用有權圖來表示。
{ class="animation-figure" }
圖 9-4 有權圖與無權圖
圖資料結構包含以下常用術語。
- 鄰接（adjacency）：當兩頂點之間存在邊相連時，稱這兩頂點“鄰接”。在圖 9-4 中，頂點 1 的鄰接頂點為頂點 2、3、5。
- 路徑（path）：從頂點 A 到頂點 B 經過的邊構成的序列被稱為從 A 到 B 的“路徑”。在圖 9-4 中，邊序列 1-5-2-4 是頂點 1 到頂點 4 的一條路徑。
- 度（degree）：一個頂點擁有的邊數。對於有向圖，入度（in-degree）表示有多少條邊指向該頂點，出度（out-degree）表示有多少條邊從該頂點指出。
9.1.2 圖的表示
圖的常用表示方式包括“鄰接矩陣”和“鄰接表”。以下使用無向圖進行舉例。
1. 鄰接矩陣
設圖的頂點數量為 n ，鄰接矩陣（adjacency matrix）使用一個 n \times n 大小的矩陣來表示圖，每一行（列）代表一個頂點，矩陣元素代表邊，用 1 或 0 表示兩個頂點之間是否存在邊。
如圖 9-5 所示，設鄰接矩陣為 $M$、頂點串列為 V ，那麼矩陣元素 M[i, j] = 1 表示頂點 V[i] 到頂點 V[j] 之間存在邊，反之 M[i, j] = 0 表示兩頂點之間無邊。
{ class="animation-figure" }
圖 9-5 圖的鄰接矩陣表示
鄰接矩陣具有以下特性。
- 頂點不能與自身相連，因此鄰接矩陣主對角線元素沒有意義。
- 對於無向圖，兩個方向的邊等價，此時鄰接矩陣關於主對角線對稱。
- 將鄰接矩陣的元素從
1和0替換為權重，則可表示有權圖。
使用鄰接矩陣表示圖時，我們可以直接訪問矩陣元素以獲取邊，因此增刪查改操作的效率很高，時間複雜度均為 O(1) 。然而，矩陣的空間複雜度為 O(n^2) ，記憶體佔用較多。
2. 鄰接表
鄰接表（adjacency list）使用 n 個鏈結串列來表示圖，鏈結串列節點表示頂點。第 i 個鏈結串列對應頂點 i ，其中儲存了該頂點的所有鄰接頂點（與該頂點相連的頂點）。圖 9-6 展示了一個使用鄰接表儲存的圖的示例。
{ class="animation-figure" }
圖 9-6 圖的鄰接表表示
鄰接表僅儲存實際存在的邊，而邊的總數通常遠小於 n^2 ，因此它更加節省空間。然而，在鄰接表中需要透過走訪鏈結串列來查詢邊，因此其時間效率不如鄰接矩陣。
觀察圖 9-6 ，鄰接表結構與雜湊表中的“鏈式位址”非常相似，因此我們也可以採用類似的方法來最佳化效率。比如當鏈結串列較長時，可以將鏈結串列轉化為 AVL 樹或紅黑樹，從而將時間效率從 O(n) 最佳化至 O(\log n) ；還可以把鏈結串列轉換為雜湊表，從而將時間複雜度降至 O(1) 。
9.1.3 圖的常見應用
如表 9-1 所示，許多現實系統可以用圖來建模，相應的問題也可以約化為圖計算問題。
表 9-1 現實生活中常見的圖
| 頂點 | 邊 | 圖計算問題 | |
|---|---|---|---|
| 社交網路 | 使用者 | 好友關係 | 潛在好友推薦 |
| 地鐵線路 | 站點 | 站點間的連通性 | 最短路線推薦 |
| 太陽系 | 星體 | 星體間的萬有引力作用 | 行星軌道計算 |