15 KiB
迭代与递归
在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务，我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。
迭代
「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段代码，直到这个条件不再满足。
for 循环
for 循环是最常见的迭代形式之一，适合预先知道迭代次数时使用。
以下函数基于 for 循环实现了求和 1 + 2 + \dots + n ，求和结果使用变量 res 记录。需要注意的是，Python 中 range(a, b) 对应的区间是“左闭右开”的，对应的遍历范围为 a, a + 1, \dots, b-1 。
=== "Python"
```python title="iteration.py"
[class]{}-[func]{for_loop}
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
[class]{iteration}-[func]{forLoop}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
[class]{iteration}-[func]{forLoop}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
[class]{}-[func]{for_loop}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{forLoop}
```
下图展示了该求和函数的流程框图。
此求和函数的操作数量与输入数据大小 n 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，时间复杂度描述的就是这个“线性关系”。相关内容将会在下一节中详细介绍。
while 循环
与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 while 循环中，程序每轮都会先检查条件，如果条件为真则继续执行，否则就结束循环。
下面，我们用 while 循环来实现求和 1 + 2 + \dots + n 。
=== "Python"
```python title="iteration.py"
[class]{}-[func]{while_loop}
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
[class]{iteration}-[func]{whileLoop}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
[class]{iteration}-[func]{whileLoop}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
[class]{}-[func]{while_loop}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{whileLoop}
```
在 while 循环中，由于初始化和更新条件变量的步骤是独立在循环结构之外的，因此它比 for 循环的自由度更高。
例如在以下代码中，条件变量 i 每轮进行了两次更新，这种情况就不太方便用 for 循环实现。
=== "Python"
```python title="iteration.py"
[class]{}-[func]{while_loop_ii}
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
[class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
[class]{iteration}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
[class]{}-[func]{while_loop_ii}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{whileLoopII}
```
总的来说，for 循环的代码更加紧凑，while 循环更加灵活，两者都可以实现迭代结构。选择使用哪一个应该根据特定问题的需求来决定。
嵌套循环
我们可以在一个循环结构内嵌套另一个循环结构，以 for 循环为例：
=== "Python"
```python title="iteration.py"
[class]{}-[func]{nested_for_loop}
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
[class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
[class]{iteration}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
[class]{}-[func]{nested_for_loop}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
[class]{}-[func]{nestedForLoop}
```
下图给出了该嵌套循环的流程框图。
在这种情况下，函数的操作数量与 n^2 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 n 成“平方关系”。
我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”、“四次方关系”、以此类推。
递归
「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。
- 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。
- 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
- 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。
- 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
- 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。
观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 1 + 2 + \dots + n 的计算：
=== "Python"
```python title="recursion.py"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
[class]{recursion}-[func]{recur}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
[class]{recursion}-[func]{recur}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
[class]{}-[func]{recur}
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{recur}
```
下图展示了该函数的递归过程。
虽然从计算角度看，迭代与递归可以得到相同的结果，但它们代表了两种完全不同的思考和解决问题的范式。
- 迭代：“自下而上”地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
- 递归：“自上而下”地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。
以上述的求和函数为例，设问题 f(n) = 1 + 2 + \dots + n 。
- 迭代：在循环中模拟求和过程，从
1遍历到n，每轮执行求和操作，即可求得f(n)。 - 递归：将问题分解为子问题
f(n) = n + f(n-1)，不断（递归地）分解下去，直至基本情况f(0) = 0时终止。
调用栈
递归函数每次调用自身时，系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。
- 函数的上下文数据都存储在称为“栈帧空间”的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。因此，递归通常比迭代更加耗费内存空间。
- 递归调用函数会产生额外的开销。因此递归通常比循环的时间效率更低。
如下图所示，在触发终止条件前，同时存在 n 个未返回的递归函数，递归深度为 $n$ 。
在实际中，编程语言允许的递归深度通常是有限的，过深的递归可能导致栈溢出报错。
尾递归
有趣的是，如果函数在返回前的最后一步才进行递归调用，则该函数可以被编译器或解释器优化，使其在空间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。
- 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下文。
- 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。
以计算 1 + 2 + \dots + n 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归。
=== "Python"
```python title="recursion.py"
[class]{}-[func]{tail_recur}
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
[class]{recursion}-[func]{tailRecur}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
[class]{recursion}-[func]{tailRecur}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
[class]{}-[func]{tail_recur}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{tailRecur}
```
两种递归的过程对比如下图所示。
- 普通递归：求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。
- 尾递归：求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。
请注意，许多编译器或解释器并不支持尾递归优化。例如，Python 默认不支持尾递归优化，因此即使函数是尾递归形式，但仍然可能会遇到栈溢出问题。
递归树
当处理与“分治”相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以“斐波那契数列”为例。
!!! question
给定一个斐波那契数列 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ，求该数列的第 $n$ 个数字。
设斐波那契数列的第 n 个数字为 f(n) ，易得两个结论。
- 数列的前两个数字为
f(1) = 0和f(2) = 1。 - 数列中的每个数字是前两个数字的和，即
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。
按照递推关系进行递归调用，将前两个数字作为终止条件，便可写出递归代码。调用 fib(n) 即可得到斐波那契数列的第 n 个数字。
=== "Python"
```python title="recursion.py"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
[class]{recursion}-[func]{fib}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
[class]{recursion}-[func]{fib}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
[class]{}-[func]{fib}
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
[class]{}-[func]{fib}
```
观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，这意味着从一个调用产生了两个调用分支。如下图所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一个层数为 n 的「递归树 recursion tree」。
本质上看，递归体现“将问题分解为更小子问题”的思维范式，这种分治策略是至关重要的。
- 从算法角度看，搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略都直接或间接地应用这种思维方式。
- 从数据结构角度看，递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。