12 KiB
| comments |
|---|
| true |
15.3 最大容量问题
!!! question
输入一个数组 $ht$ ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。
容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
图 15-7 最大容量问题的示例数据
容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$ 。
根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 cap[i, j] ，则可得计算公式：
$$
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
设数组长度为 n ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2} 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 O(n^2) 。
1. 贪心策略确定
这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 [i, j] ，其满足索引 i < j 且高度 ht[i] < ht[j] ，即 i 为短板、j 为长板。
图 15-8 初始状态
如图 15-9 所示，若此时将长板 j 向短板 i 靠近，则容量一定变小。
这是因为在移动长板 j 后，宽度 j-i 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ i 仍为短板）或变小（移动后的 j 成为短板）。
图 15-9 向内移动长板后的状态
反向思考，我们只有向内收缩短板 i ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 i 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
图 15-10 向内移动短板后的状态
由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分裂容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。
图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。
- 初始状态下，指针
i和j分列与数组两端。 - 计算当前状态的容量
cap[i, j]，并更新最大容量。 - 比较板
i和 板j的高度，并将短板向内移动一格。 - 循环执行第
2.和3.步，直至i和j相遇时结束。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
图 15-11 最大容量问题的贪心过程
2. 代码实现
代码循环最多 n 轮，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。
变量 $i$、$j$、res 使用常数大小额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。
=== "Python"
```python title="max_capacity.py"
def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
"""最大容量：贪心"""
# 初始化 i, j 分列数组两端
i, j = 0, len(ht) - 1
# 初始最大容量为 0
res = 0
# 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j:
# 更新最大容量
cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
# 向内移动短板
if ht[i] < ht[j]:
i += 1
else:
j -= 1
return res
```
=== "C++"
```cpp title="max_capacity.cpp"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.size() - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="max_capacity.java"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="max_capacity.cs"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.Length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.Max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="max_capacity.go"
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht []int) int {
// 初始化 i, j 分列数组两端
i, j := 0, len(ht)-1
// 初始最大容量为 0
res := 0
// 循环贪心选择，直至两板相遇
for i < j {
// 更新最大容量
capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i++
} else {
j--
}
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="max_capacity.swift"
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht: [Int]) -> Int {
// 初始化 i, j 分列数组两端
var i = 0, j = ht.count - 1
// 初始最大容量为 0
var res = 0
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1
} else {
j -= 1
}
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="max_capacity.js"
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
let res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="max_capacity.ts"
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht: number[]): number {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
let res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap: number = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="max_capacity.dart"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="max_capacity.rs"
/* 最大容量：贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let mut i = 0;
let mut j = ht.len() - 1;
// 初始最大容量为 0
let mut res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
res = std::cmp::max(res, cap);
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
res
}
```
=== "C"
```c title="max_capacity.c"
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int ht[], int htLength) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0;
int j = htLength - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int capacity = MIN(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = MAX(res, capacity);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Zig"
```zig title="max_capacity.zig"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
3. 正确性证明
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
比如在状态 cap[i, j] 下，i 为短板、j 为长板。若贪心地将短板 i 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。
$$
cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
图 15-12 移动短板导致被跳过的状态
观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 j 向内移动的所有状态。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。
以上的分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。