Fix some figures. Finetune texts.
6.4 KiB
构建二叉树问题
!!! question
给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ,请从中构建二叉树,返回二叉树的根节点。
判断是否为分治问题
原问题定义为从 preorder
和 inorder
构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题:
- 问题可以被分解:从分治的角度切入,我们可以将原问题划分为两个子问题:构建左子树、构建右子树,加上一步操作:初始化根节点。而对于每个子树(子问题),我们仍然可以复用以上划分方法,将其划分为更小的子树(子问题),直至达到最小子问题(空子树)时终止。
- 子问题是独立的:左子树和右子树是相互独立的,它们之间没有交集。在构建左子树时,我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
- 子问题的解可以合并:一旦得到了左子树和右子树(子问题的解),我们就可以将它们链接到根节点上,得到原问题的解。
如何划分子树
根据以上分析,这道题是可以使用分治来求解的,但问题是:如何通过前序遍历 preorder
和中序遍历 inorder
来划分左子树和右子树呢?
根据定义,preorder
和 inorder
都可以被划分为三个部分:
- 前序遍历:
[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]
,例如上图[ 3 | 9 | 2 1 7 ]
。 - 中序遍历:
[ 左子树 | 根节点 | 右子树 ]
,例如上图[ 9 | 3 | 1 2 7 ]
。
以上图数据为例,我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果:
- 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
- 查找根节点 3 在
inorder
中的索引,利用该索引可将inorder
划分为[ 9 | 3 | 1 2 7 ]
。 - 根据
inorder
划分结果,易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ,从而可将preorder
划分为[ 3 | 9 | 2 1 7 ]
。
基于变量描述子树区间
根据以上划分方法,我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder
和 inorder
中的索引区间。而为了描述这些索引区间,我们需要借助几个指针变量:
- 将当前树的根节点在
preorder
中的索引记为i
。 - 将当前树的根节点在
inorder
中的索引记为m
。 - 将当前树在
inorder
中的索引区间记为[l, r]
。
如下表所示,通过以上变量即可表示根节点在 preorder
中的索引,以及子树在 inorder
中的索引区间。
表:根节点和子树在前序和中序遍历中的索引
根节点在 preorder 中的索引 |
子树在 inorder 中的索引区间 |
|
---|---|---|
当前树 | i |
[l, r] |
左子树 | i + 1 |
[l, m-1] |
右子树 | i + 1 + (m - l) |
[m+1, r] |
请注意,右子树根节点索引中的 (m-l)
的含义是“左子树的节点数量”,建议配合下图理解。
代码实现
为了提升查询 m
的效率,我们借助一个哈希表 hmap
来存储数组 inorder
中元素到索引的映射。
=== "Java"
```java title="build_tree.java"
[class]{build_tree}-[func]{dfs}
[class]{build_tree}-[func]{buildTree}
```
=== "C++"
```cpp title="build_tree.cpp"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Python"
```python title="build_tree.py"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{build_tree}
```
=== "Go"
```go title="build_tree.go"
[class]{}-[func]{dfsBuildTree}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "JS"
```javascript title="build_tree.js"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "TS"
```typescript title="build_tree.ts"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "C"
```c title="build_tree.c"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "C#"
```csharp title="build_tree.cs"
[class]{build_tree}-[func]{dfs}
[class]{build_tree}-[func]{buildTree}
```
=== "Swift"
```swift title="build_tree.swift"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Zig"
```zig title="build_tree.zig"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Dart"
```dart title="build_tree.dart"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Rust"
```rust title="build_tree.rs"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{build_tree}
```
下图展示了构建二叉树的递归过程,各个节点是在向下“递”的过程中建立的,而各条边(即引用)是在向上“归”的过程中建立的。
设树的节点数量为 n
,初始化每一个节点(执行一个递归函数 dfs()
)使用 O(1)
时间。因此总体时间复杂度为 $O(n)$ 。
哈希表存储 inorder
元素到索引的映射,空间复杂度为 O(n)
。最差情况下,即二叉树退化为链表时,递归深度达到 n
,使用 O(n)
的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 $O(n)$ 。