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15.2.   分数背包问题

分数背包是 0-1 背包问题的一个变种问题。

!!! question

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

Fig. 分数背包问题的示例数据

本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 i 和容量 c ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。

不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有：

1. 对于物品 i ，它在单位重量下的价值为 val[i-1] / wgt[i-1] ，简称为单位价值；
2. 假设放入一部分物品 i ，重量为 w ，则背包增加的价值为 w \times val[i-1] / wgt[i-1] ；

Fig. 物品在单位重量下的价值

贪心策略确定

最大化背包内物品总价值，本质上是要最大化单位重量下的物品价值。由此便可推出本题的贪心策略：

1. 将物品按照单位价值从高到低进行排序。
2. 遍历所有物品，每轮贪心地选择单位价值最高的物品。
3. 若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。

Fig. 分数背包的贪心策略

代码实现

我们构建了一个物品类 Item ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。

=== "Java"

```java title="fractional_knapsack.java"
/* 物品 */
class Item {
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值

    public Item(int w, int v) {
        this.w = w;
        this.v = v;
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    Item[] items = new Item[wgt.length];
    for (int i = 0; i < wgt.length; i++) {
        items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    Arrays.sort(items, Comparator.comparingDouble(item -> -((double) item.v / item.w)));
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    for (Item item : items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double) item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "C++"

```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
/* 物品 */
class Item {
  public:
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值

    Item(int w, int v) : w(w), v(v) {
    }
};

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    vector<Item> items;
    for (int i = 0; i < wgt.size(); i++) {
        items.push_back(Item(wgt[i], val[i]));
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    sort(items.begin(), items.end(), [](Item &a, Item &b) { return (double)a.v / a.w > (double)b.v / b.w; });
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    for (auto &item : items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double)item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Python"

```python title="fractional_knapsack.py"
class Item:
    """物品"""

    def __init__(self, w: int, v: int):
        self.w = w  # 物品重量
        self.v = v  # 物品价值

def fractional_knapsack(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
    """分数背包：贪心"""
    # 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    items = [Item(w, v) for w, v in zip(wgt, val)]
    # 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort(key=lambda item: item.v / item.w, reverse=True)
    # 循环贪心选择
    res = 0
    for item in items:
        if item.w <= cap:
            # 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v
            cap -= item.w
        else:
            # 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (item.v / item.w) * cap
            # 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
    return res
```

=== "Go"

```go title="fractional_knapsack.go"
/* 物品 */
type Item struct {
    w int // 物品重量
    v int // 物品价值
}

/* 分数背包：贪心 */
func fractionalKnapsack(wgt []int, val []int, cap int) float64 {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    items := make([]Item, len(wgt))
    for i := 0; i < len(wgt); i++ {
        items[i] = Item{wgt[i], val[i]}
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    sort.Slice(items, func(i, j int) bool {
        return float64(items[i].v)/float64(items[i].w) > float64(items[j].v)/float64(items[j].w)
    })
    // 循环贪心选择
    res := 0.0
    for _, item := range items {
        if item.w <= cap {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += float64(item.v)
            cap -= item.w
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += float64(item.v) / float64(item.w) * float64(cap)
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
        }
    }
    return res
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="fractional_knapsack.js"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="fractional_knapsack.ts"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "C"

```c title="fractional_knapsack.c"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "C#"

```csharp title="fractional_knapsack.cs"
/* 物品 */
class Item {
    public int w; // 物品重量
    public int v; // 物品价值

    public Item(int w, int v) {
        this.w = w;
        this.v = v;
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    Item[] items = new Item[wgt.Length];
    for (int i = 0; i < wgt.Length; i++) {
        items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    Array.Sort(items, (x, y) => (y.v / y.w).CompareTo(x.v / x.w));
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    foreach (Item item in items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double)item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Swift"

```swift title="fractional_knapsack.swift"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Zig"

```zig title="fractional_knapsack.zig"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Dart"

```dart title="fractional_knapsack.dart"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

最差情况下，需要遍历整个物品列表，因此时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 n 为物品数量。由于初始化了一个 Item 对象列表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。

正确性证明

采用反证法。假设物品 x 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 res ，但该解中不包含物品 x 。

现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 x 。由于物品 x 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 res 。这与 res 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 x 。

对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，单位价值更大的物品总是更优选择，这说明贪心策略是有效的。

如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。

Fig. 分数背包问题的几何表示