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2023-02-08 19:45:06 +08:00

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true

7.3. 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

对于根结点，左子树中所有结点的值 < 根结点的值 < 右子树中所有结点的值；
任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件 1. ；

7.3.1. 二叉搜索树的操作

查找结点

给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系

若 cur.val < num ，说明目标结点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right ；
若 cur.val > num ，说明目标结点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left ；
若 cur.val = num ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 查找结点 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
    node := bst.root
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for node != nil {
        if node.Val < num {
            // 目标结点在 cur 的右子树中
            node = node.Right
        } else if node.Val > num {
            // 目标结点在 cur 的左子树中
            node = node.Left
        } else {
            // 找到目标结点，跳出循环
            break
        }
    }
    // 返回目标结点
    return node
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 查找结点 */
TreeNode? search(int num)
{
    TreeNode? cur = root;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 目标结点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标结点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标结点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标结点
    return cur;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 查找结点 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
    var cur = root
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while cur != nil {
        // 目标结点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 目标结点在 cur 的左子树中
        else if cur!.val > num {
            cur = cur?.left
        }
        // 找到目标结点，跳出循环
        else {
            break
        }
    }
    // 返回目标结点
    return cur
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"

```

插入结点

给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：

查找插入位置：与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到 \text{null} ）时跳出循环；
在该位置插入结点：初始化结点 num ，将该结点放到 \text{null} 的位置；

二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 插入结点 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待插入结点之前的结点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            return nil
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            cur = cur.Right
        } else {
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 插入结点
    node := NewTreeNode(num)
    if pre.Val < num {
        pre.Right = node
    } else {
        pre.Left = node
    }
    return cur
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 插入结点 */
TreeNode? insert(int num)
{
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 找到重复结点，直接返回
        if (cur.val == num) return null;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }

    // 插入结点 val
    TreeNode node = new TreeNode(num);
    if (pre != null)
    {
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
    }
    return node;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 插入结点 */
func insert(num: Int) -> TreeNode? {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return nil
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到重复结点，直接返回
        if cur!.val == num {
            return nil
        }
        pre = cur
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 插入结点 val
    let node = TreeNode(x: num)
    if pre!.val < num {
        pre?.right = node
    } else {
        pre?.left = node
    }
    return node
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"

```

为了插入结点，需要借助 辅助结点 pre 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \text{null} 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。

与查找结点相同，插入结点使用 O(\log n) 时间。

删除结点

与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：

当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。

当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可。

当待删除结点的子结点数量 = 2 时，删除操作分为三步：

找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为 nex ；
在树中递归删除结点 nex ；
使用 nex 替换待删除结点；

=== "Step 1"

=== "Step 2"

=== "Step 3"

=== "Step 4"

删除结点操作也使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除结点 O(\log n) ，获取中序遍历后继结点 O(\log n) 。

=== "Java"

```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

[class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
```

=== "Go"

```go title="binary_search_tree.go"
/* 删除结点 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) *TreeNode {
    cur := bst.root
    // 若树为空，直接提前返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 待删除结点之前的结点位置
    var pre *TreeNode = nil
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    for cur != nil {
        if cur.Val == num {
            break
        }
        pre = cur
        if cur.Val < num {
            // 待删除结点在右子树中
            cur = cur.Right
        } else {
            // 待删除结点在左子树中
            cur = cur.Left
        }
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 子结点数为 0 或 1
    if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
        var child *TreeNode = nil
        // 取出待删除结点的子结点
        if cur.Left != nil {
            child = cur.Left
        } else {
            child = cur.Right
        }
        // 将子结点替换为待删除结点
        if pre.Left == cur {
            pre.Left = child
        } else {
            pre.Right = child
        }
        // 子结点数为 2
    } else {
        // 获取中序遍历中待删除结点 cur 的下一个结点
        next := bst.getInOrderNext(cur)
        temp := next.Val
        // 递归删除结点 next
        bst.remove(next.Val)
        // 将 next 的值复制给 cur
        cur.Val = temp
    }
    return cur
}

/* 获取中序遍历的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
func (bst *binarySearchTree) getInOrderNext(node *TreeNode) *TreeNode {
    if node == nil {
        return node
    }
    // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
    for node.Left != nil {
        node = node.Left
    }
    return node
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}

[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}

[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```

=== "C"

```c title="binary_search_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 删除结点 */
TreeNode? remove(int num)
{
    // 若树为空，直接提前返回
    if (root == null) return null;
    TreeNode? cur = root, pre = null;
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while (cur != null)
    {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if (cur.val == num) break;
        pre = cur;
        // 待删除结点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除结点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if (cur == null || pre == null) return null;
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if (cur.left == null || cur.right == null)
    {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
        TreeNode? child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
        // 删除结点 cur
        if (pre.left == cur)
        {
            pre.left = child;
        }
        else
        {
            pre.right = child;
        }
    }
    // 子结点数量 = 2
    else
    {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        TreeNode? nex = getInOrderNext(cur.right);
        if (nex != null)
        {
            int tmp = nex.val;
            // 递归删除结点 nex
            remove(nex.val);
            // 将 nex 的值复制给 cur
            cur.val = tmp;
        }
    }
    return cur;
}

/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
private TreeNode? getInOrderNext(TreeNode? root)
{
    if (root == null) return root;
    // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
    while (root.left != null)
    {
        root = root.left;
    }
    return root;
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 删除结点 */
@discardableResult
func remove(num: Int) -> TreeNode? {
    // 若树为空，直接提前返回
    if root == nil {
        return nil
    }
    var cur = root
    var pre: TreeNode?
    // 循环查找，越过叶结点后跳出
    while cur != nil {
        // 找到待删除结点，跳出循环
        if cur!.val == num {
            break
        }
        pre = cur
        // 待删除结点在 cur 的右子树中
        if cur!.val < num {
            cur = cur?.right
        }
        // 待删除结点在 cur 的左子树中
        else {
            cur = cur?.left
        }
    }
    // 若无待删除结点，则直接返回
    if cur == nil {
        return nil
    }
    // 子结点数量 = 0 or 1
    if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
        // 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
        let child = cur?.left != nil ? cur?.left : cur?.right
        // 删除结点 cur
        if pre?.left === cur {
            pre?.left = child
        } else {
            pre?.right = child
        }
    }
    // 子结点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个结点
        let nex = getInOrderNext(root: cur?.right)
        let tmp = nex!.val
        // 递归删除结点 nex
        remove(num: nex!.val)
        // 将 nex 的值复制给 cur
        cur?.val = tmp
    }
    return cur
}

/* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
func getInOrderNext(root: TreeNode?) -> TreeNode? {
    var root = root
    if root == nil {
        return root
    }
    // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
    while root?.left != nil {
        root = root?.left
    }
    return root
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_tree.zig"

```

排序

我们知道，「中序遍历」遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 < 根结点 < 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，而无需额外排序，非常高效。

7.3.2. 二叉搜索树的效率

假设给定 n 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：

查找元素：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；
插入元素：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 O(1) 时间；
删除元素：先查找元素，使用 O(n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
获取最小 / 最大元素：需要遍历数组来确定，使用 O(n) 时间；

为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：

查找元素：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 O(\log n) 时间；
插入元素：先查找插入位置，使用 O(\log n) 时间，再插入到指定位置，使用 O(n) 时间；
删除元素：先查找元素，使用 O(\log n) 时间，再在数组中删除该元素，使用 O(n) 时间；
获取最小 / 最大元素：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 O(1) 时间；

观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 n 很大时有巨大优势。

	无序数组	有序数组	二叉搜索树
查找指定元素	`O(n)`	`O(\log n)`	`O(\log n)`
插入元素	`O(1)`	`O(n)`	`O(\log n)`
删除元素	`O(n)`	`O(n)`	`O(\log n)`
获取最小 / 最大元素	`O(n)`	`O(1)`	`O(\log n)`

7.3.3. 二叉搜索树的退化

理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 \log n 轮循环内查找任意结点。

如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 O(n) 。

!!! note

在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。

7.3.4. 二叉搜索树常见应用

系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
各种搜索算法的底层数据结构。
存储数据流，保持其已排序。

20 KiB Executable file Raw Blame History Unescape Escape

7.3. 二叉搜索树

7.3.1. 二叉搜索树的操作

查找结点

插入结点

删除结点

排序

7.3.2. 二叉搜索树的效率

7.3.3. 二叉搜索树的退化

7.3.4. 二叉搜索树常见应用

20 KiB

Executable file

Raw Blame History