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基数排序
上一节我们介绍了计数排序，它适用于数据量 n 较大但数据范围 m 较小的情况。假设我们需要对 n = 10^6 个学号进行排序，而学号是一个 8 位数字，这意味着数据范围 m = 10^8 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。
「基数排序 Radix Sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。
算法流程
以学号数据为例，假设数字的最低位是第 1 位，最高位是第 8 位，基数排序的步骤如下：
- 初始化位数
k = 1。 - 对学号的第
k位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第k位从小到大排序。 - 将
k增加1，然后返回步骤2.继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。
下面来剖析代码实现。对于一个 d 进制的数字 x ，要获取其第 k 位 x_k ，可以使用以下计算公式：
$$
x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d
其中 \lfloor a \rfloor 表示对浮点数 a 向下取整，而 \bmod \space d 表示对 d 取余。对于学号数据，d = 10 且 k \in [1, 8] 。
此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 k 位进行排序。
=== "Java"
```java title="radix_sort.java"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}
[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}
[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```
=== "C++"
```cpp title="radix_sort.cpp"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Python"
```python title="radix_sort.py"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{counting_sort_digit}
[class]{}-[func]{radix_sort}
```
=== "Go"
```go title="radix_sort.go"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "C"
```c title="radix_sort.c"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "C#"
```csharp title="radix_sort.cs"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}
[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}
[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```
=== "Swift"
```swift title="radix_sort.swift"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Zig"
```zig title="radix_sort.zig"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Dart"
```dart title="radix_sort.dart"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Rust"
```rust title="radix_sort.rs"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{counting_sort_digit}
[class]{}-[func]{radix_sort}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序？"
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。
算法特性
相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 k 过大，可能导致时间复杂度 O(nk) \gg O(n^2) 。
- 时间复杂度 $O(nk)$ ：设数据量为
n、数据为d进制、最大位数为k，则对某一位执行计数排序使用O(n + d)时间，排序所有k位使用O((n + d)k)时间。通常情况下，d和k都相对较小，时间复杂度趋向O(n)。 - 空间复杂度
O(n + d)、非原地排序 ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为n和d的数组res和counter。 - 稳定排序：与计数排序相同。