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二叉树遍历

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

层序遍历

如下图所示，层序遍历（level-order traversal）从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于广度优先遍历（breadth-first traversal），也称广度优先搜索（breadth-first search, BFS），它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：

[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n)$ ：所有节点被访问一次，使用 O(n) 时间，其中 n 为节点数量。
• 空间复杂度为 $O(n)$ ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 (n + 1) / 2 个节点，占用 O(n) 空间。

前序、中序、后序遍历

相应地，前序、中序和后序遍历都属于深度优先遍历（depth-first traversal），也称深度优先搜索（depth-first search, DFS），它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现：

[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}

!!! tip

深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。

下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。

=== "<1>"

=== "<2>"

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=== "<4>"

=== "<5>"

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=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n)$ ：所有节点被访问一次，使用 O(n) 时间。
• 空间复杂度为 $O(n)$ ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 n ，系统占用 O(n) 栈帧空间。