mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-24 10:46:29 +08:00
f68bbb0d59
* Revised the book * Update the book with the second revised edition * Revise base on the manuscript of the first edition
91 lines
4.9 KiB
Markdown
91 lines
4.9 KiB
Markdown
# 二分查找插入点
|
||
|
||
二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。
|
||
|
||
## 无重复元素的情况
|
||
|
||
!!! question
|
||
|
||
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。示例如下图所示。
|
||
|
||
|
||
|
||
如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。
|
||
|
||
**问题一**：当数组中包含 `target` 时，插入点的索引是否是该元素的索引？
|
||
|
||
题目要求将 `target` 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 `target` 替换了原来 `target` 的位置。也就是说，**当数组包含 `target` 时，插入点的索引就是该 `target` 的索引**。
|
||
|
||
**问题二**：当数组中不存在 `target` 时，插入点是哪个元素的索引？
|
||
|
||
进一步思考二分查找过程：当 `nums[m] < target` 时 $i$ 移动，这意味着指针 $i$ 在向大于等于 `target` 的元素靠近。同理，指针 $j$ 始终在向小于等于 `target` 的元素靠近。
|
||
|
||
因此二分结束时一定有：$i$ 指向首个大于 `target` 的元素，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素。**易得当数组不包含 `target` 时，插入索引为 $i$** 。代码如下所示：
|
||
|
||
```src
|
||
[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}
|
||
```
|
||
|
||
## 存在重复元素的情况
|
||
|
||
!!! question
|
||
|
||
在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。
|
||
|
||
假设数组中存在多个 `target` ，则普通二分查找只能返回其中一个 `target` 的索引，**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 `target`**。
|
||
|
||
题目要求将目标元素插入到最左边，**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过下图所示的步骤实现。
|
||
|
||
1. 执行二分查找，得到任意一个 `target` 的索引，记为 $k$ 。
|
||
2. 从索引 $k$ 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 `target` 时返回。
|
||
|
||
|
||
|
||
此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时，该方法效率很低。
|
||
|
||
现考虑拓展二分查找代码。如下图所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 的大小关系，分为以下几种情况。
|
||
|
||
- 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
|
||
- 当 `nums[m] == target` 时，说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
|
||
|
||
循环完成后，$i$ 指向最左边的 `target` ，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素，**因此索引 $i$ 就是插入点**。
|
||
|
||
=== "<1>"
|
||
|
||
|
||
=== "<2>"
|
||
|
||
|
||
=== "<3>"
|
||
|
||
|
||
=== "<4>"
|
||
|
||
|
||
=== "<5>"
|
||
|
||
|
||
=== "<6>"
|
||
|
||
|
||
=== "<7>"
|
||
|
||
|
||
=== "<8>"
|
||
|
||
|
||
观察以下代码，判断分支 `nums[m] > target` 和 `nums[m] == target` 的操作相同，因此两者可以合并。
|
||
|
||
即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。
|
||
|
||
```src
|
||
[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
|
||
```
|
||
|
||
!!! tip
|
||
|
||
本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
|
||
|
||
总的来看，二分查找无非就是给指针 $i$ 和 $j$ 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 `target` ），也可能是一个元素范围（例如小于 `target` 的元素）。
|
||
|
||
在不断的循环二分中，指针 $i$ 和 $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。
|