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二分查找
二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
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给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。示例如下图所示。
如下图所示，我们先初始化指针 i = 0 和 j = n - 1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0, n - 1] 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
接下来，循环执行以下两步。
- 计算中点索引
m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor，其中\lfloor \: \rfloor表示向下取整操作。 - 判断
nums[m]和target的大小关系，分为以下三种情况。- 当
nums[m] < target时，说明target在区间[m + 1, j]中，因此执行i = m + 1。 - 当
nums[m] > target时，说明target在区间[i, m - 1]中，因此执行j = m - 1。 - 当
nums[m] = target时，说明找到target，因此返回索引m。
- 当
若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 -1 。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
值得注意的是，由于 i 和 j 都是 int 类型，因此 i + j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor 来计算中点。
代码如下所示：
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}
时间复杂度为 $O(\log n)$ ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 \log_2 n 。
空间复杂度为 $O(1)$ ：指针 i 和 j 使用常数大小空间。
区间表示方法
除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0, n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [i, j) 在 i = j 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 i 和指针 j 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。
优点与局限性
二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。
- 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小
n = 2^{20}时，线性查找需要2^{20} = 1048576轮循环，而二分查找仅需\log_2 2^{20} = 20轮循环。 - 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为
O(n \log n)，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为O(n)，也是非常昂贵的。 - 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量
n较小时，线性查找反而比二分查找更快。