* preorder, inorder, postorder -> pre-order, in-order, post-order * Bug fixes * Bug fixes * Update what_is_dsa.md * Sync zh and zh-hant versions * Sync zh and zh-hant versions. * Update performance_evaluation.md and time_complexity.md * Add @khoaxuantu to the landing page. * Sync zh and zh-hant versions * Add @ khoaxuantu to the landing page of zh-hant and en versions. * Sync zh and zh-hant versions. * Small improvements * @issue : #1450 (#1453) Fix writing "obsecure" to "obscure" Co-authored-by: Gaya <kheliligaya@gmail.com> * Update the definition of "adaptive sorting". * Update n_queens_problem.md * Sync zh, zh-hant, and en versions. --------- Co-authored-by: Gaya-Khelili <50716339+Gaya-Khelili@users.noreply.github.com> Co-authored-by: Gaya <kheliligaya@gmail.com>
3.7 KiB
n 皇后问题
!!! question
根据国际象棋的规则,皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘,寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。
如下图所示,当 n = 4
时,共可以找到两个解。从回溯算法的角度看,n \times n
大小的棋盘共有 n^2
个格子,给出了所有的选择 choices
。在逐个放置皇后的过程中,棋盘状态在不断地变化,每个时刻的棋盘就是状态 state
。
下图展示了本题的三个约束条件:多个皇后不能在同一行、同一列、同一条对角线上。值得注意的是,对角线分为主对角线 \
和次对角线 /
两种。
逐行放置策略
皇后的数量和棋盘的行数都为 n
,因此我们容易得到一个推论:棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后。
也就是说,我们可以采取逐行放置策略:从第一行开始,在每行放置一个皇后,直至最后一行结束。
下图所示为 4 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制,下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支,并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
从本质上看,逐行放置策略起到了剪枝的作用,它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
列与对角线剪枝
为了满足列约束,我们可以利用一个长度为 n
的布尔型数组 cols
记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前,我们通过 cols
将已有皇后的列进行剪枝,并在回溯中动态更新 cols
的状态。
!!! tip
请注意,矩阵的起点位于左上角,其中行索引从上到下增加,列索引从左到右增加。
那么,如何处理对角线约束呢?设棋盘中某个格子的行列索引为 (row, col)
,选定矩阵中的某条主对角线,我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等,即主对角线上所有格子的 row - col
为恒定值。
也就是说,如果两个格子满足 row_1 - col_1 = row_2 - col_2
,则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律,我们可以借助下图所示的数组 diags1
记录每条主对角线上是否有皇后。
同理,次对角线上的所有格子的 row + col
是恒定值。我们同样也可以借助数组 diags2
来处理次对角线约束。
代码实现
请注意,n
维方阵中 row - col
的范围是 [-n + 1, n - 1]
,row + col
的范围是 [0, 2n - 2]
,所以主对角线和次对角线的数量都为 2n - 1
,即数组 diags1
和 diags2
的长度都为 2n - 1
。
[file]{n_queens}-[class]{}-[func]{n_queens}
逐行放置 n
次,考虑列约束,则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、1
个选择,使用 O(n!)
时间。当记录解时,需要复制矩阵 state
并添加进 res
,复制操作使用 O(n^2)
时间。因此,总体时间复杂度为 $O(n! \cdot n^2)$ 。实际上,根据对角线约束的剪枝也能够大幅缩小搜索空间,因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 state
使用 O(n^2)
空间,数组 cols
、diags1
和 diags2
皆使用 O(n)
空间。最大递归深度为 n
,使用 O(n)
栈帧空间。因此,空间复杂度为 $O(n^2)$ 。