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8.3. 二叉树数组表示
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8.4. 二叉搜索树
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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8.3. 二叉树数组表示
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8.3. 二叉树数组表示
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8.5. 小结
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8.3. 二叉树数组表示
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8.3. 二叉树数组表示
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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8.3. 二叉树数组表示
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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8.5. 小结
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1056,7 +1072,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1070,7 +1086,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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||||
8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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||||
8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1028,9 +1030,23 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1121,7 +1137,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1135,7 +1151,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1101,7 +1117,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1056,7 +1072,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1070,7 +1086,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="#921" class="md-nav__link">
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9.2.1. 两种建堆方法
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||||
9.2.1. 借助入堆方法实现
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="9.2.1. 两种建堆方法">
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||||
<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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借助入堆方法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_2" class="md-nav__link">
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基于堆化操作实现
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="#922" class="md-nav__link">
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||||
9.2.2. 复杂度分析
|
||||
9.2.2. 基于堆化操作实现
|
||||
</a>
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||||
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||||
</li>
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||||
<li class="md-nav__item">
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<a href="#923" class="md-nav__link">
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9.2.3. 复杂度分析
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||||
</a>
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</li>
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@ -1802,34 +1805,21 @@
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||||
<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="#921" class="md-nav__link">
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||||
9.2.1. 两种建堆方法
|
||||
9.2.1. 借助入堆方法实现
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||||
</a>
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||||
<nav class="md-nav" aria-label="9.2.1. 两种建堆方法">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_1" class="md-nav__link">
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借助入堆方法实现
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#_2" class="md-nav__link">
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基于堆化操作实现
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</a>
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</li>
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</ul>
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</nav>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="#922" class="md-nav__link">
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||||
9.2.2. 复杂度分析
|
||||
9.2.2. 基于堆化操作实现
|
||||
</a>
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||||
|
||||
</li>
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||||
<li class="md-nav__item">
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<a href="#923" class="md-nav__link">
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9.2.3. 复杂度分析
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||||
</a>
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||||
</li>
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||||
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@ -1859,11 +1849,10 @@
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||||
<h1 id="92">9.2. 建堆操作 *<a class="headerlink" href="#92" title="Permanent link">¶</a></h1>
|
||||
<p>如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。</p>
|
||||
<h2 id="921">9.2.1. 两种建堆方法<a class="headerlink" href="#921" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h3 id="_1">借助入堆方法实现<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
|
||||
<h2 id="921">9.2.1. 借助入堆方法实现<a class="headerlink" href="#921" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<p>最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。</p>
|
||||
<p>设元素数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 <span class="arithmatex">\(\frac{n}{2}\)</span> ，因此该方法的总体时间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n \log n)\)</span> 。</p>
|
||||
<h3 id="_2">基于堆化操作实现<a class="headerlink" href="#_2" title="Permanent link">¶</a></h3>
|
||||
<h2 id="922">9.2.2. 基于堆化操作实现<a class="headerlink" href="#922" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<p>有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，<strong>然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”</strong>。当然，<strong>我们不需要对叶节点执行堆化操作</strong>，因为它们没有子节点。</p>
|
||||
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="1:10"><input checked="checked" id="__tabbed_1_1" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_2" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_3" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_4" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_5" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_6" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_7" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_8" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_9" name="__tabbed_1" type="radio" /><input id="__tabbed_1_10" name="__tabbed_1" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_1_1">Java</label><label for="__tabbed_1_2">C++</label><label for="__tabbed_1_3">Python</label><label for="__tabbed_1_4">Go</label><label for="__tabbed_1_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_1_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_1_7">C</label><label for="__tabbed_1_8">C#</label><label for="__tabbed_1_9">Swift</label><label for="__tabbed_1_10">Zig</label></div>
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||||
<div class="tabbed-content">
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@ -1986,7 +1975,7 @@
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|||
</div>
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||||
</div>
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||||
</div>
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||||
<h2 id="922">9.2.2. 复杂度分析<a class="headerlink" href="#922" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h2 id="923">9.2.3. 复杂度分析<a class="headerlink" href="#923" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<p>为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ？我们来展开推算一下。</p>
|
||||
<ul>
|
||||
<li>完全二叉树中，设节点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，则叶节点数量为 <span class="arithmatex">\((n + 1) / 2\)</span> ，其中 <span class="arithmatex">\(/\)</span> 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 <span class="arithmatex">\((n - 1)/2\)</span> ，复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span> ；</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.5. &nbsp; 小结" rel="prev">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.6. &nbsp; 小结" rel="prev">
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||||
<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M20 11v2H8l5.5 5.5-1.42 1.42L4.16 12l7.92-7.92L13.5 5.5 8 11h12Z"/></svg>
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</div>
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@ -3195,7 +3211,7 @@
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上一页
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</span>
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<div class="md-ellipsis">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</div>
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</div>
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</a>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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<li class="md-nav__item">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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@ -1070,7 +1086,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1042,7 +1058,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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@ -1056,7 +1072,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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||||
8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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||||
</a>
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</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1028,9 +1030,23 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
|
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
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</a>
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</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
|
||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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||||
</a>
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||||
</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1028,9 +1030,23 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
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||||
</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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||||
8.4. AVL 树 *
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||||
8.5. AVL 树 *
|
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
|
||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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</a>
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||||
</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
|
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
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||||
</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
|
||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -981,6 +981,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉树数组表示
|
||||
</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
|
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
|
||||
</li>
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@ -1044,7 +1060,7 @@
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<li class="md-nav__item">
|
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
|
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8.4. AVL 树 *
|
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1058,7 +1074,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
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</li>
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@ -1121,7 +1137,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1135,7 +1151,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -1058,6 +1058,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1105,9 +1107,23 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1121,7 +1137,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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||||
8.4. AVL 树 *
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||||
8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1135,7 +1151,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
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||||
</a>
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</li>
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@ -1092,6 +1092,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1139,9 +1141,23 @@
|
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<li class="md-nav__item">
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||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
|
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
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</li>
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@ -1155,7 +1171,7 @@
|
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.4. AVL 树 *
|
||||
8.5. AVL 树 *
|
||||
</a>
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||||
</li>
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||||
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@ -1169,7 +1185,7 @@
|
|||
|
||||
<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
|
||||
8.5. 小结
|
||||
8.6. 小结
|
||||
</a>
|
||||
</li>
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||||
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@ -993,6 +993,8 @@
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1040,9 +1042,23 @@
|
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||||
<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉树数组表示
|
||||
</a>
|
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</li>
|
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||||
<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.3. 二叉搜索树
|
||||
8.4. 二叉搜索树
|
||||
</a>
|
||||
</li>
|
||||
|
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|
|
@ -1056,7 +1072,7 @@
|
|||
|
||||
<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
|
||||
8.4. AVL 树 *
|
||||
8.5. AVL 树 *
|
||||
</a>
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</li>
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@ -1070,7 +1086,7 @@
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<li class="md-nav__item">
|
||||
<a href="../../chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
|
||||
8.5. 小结
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||||
8.6. 小结
|
||||
</a>
|
||||
</li>
|
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||||
|
|
|
|||
2126
chapter_tree/array_representation_of_tree/index.html
Normal file
2126
chapter_tree/array_representation_of_tree/index.html
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load diff
|
|
@ -25,7 +25,7 @@
|
|||
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||||
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||||
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<title>8.4. AVL 树 * - Hello 算法</title>
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<title>8.5. AVL 树 * - Hello 算法</title>
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||||
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||||
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|
@ -79,7 +79,7 @@
|
|||
<div data-md-component="skip">
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||||
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||||
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||||
<a href="#84-avl" class="md-skip">
|
||||
<a href="#85-avl" class="md-skip">
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||||
跳转至
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</a>
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|
||||
|
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@ -113,7 +113,7 @@
|
|||
<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
|
||||
<span class="md-ellipsis">
|
||||
|
||||
8.4. AVL 树 *
|
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8.5. AVL 树 *
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</span>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
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</label>
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<a href="./" class="md-nav__link md-nav__link--active">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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@ -1079,11 +1095,11 @@
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<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#841-avl" class="md-nav__link">
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8.4.1. AVL 树常见术语
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<a href="#851-avl" class="md-nav__link">
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8.5.1. AVL 树常见术语
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.1. AVL 树常见术语">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.1. AVL 树常见术语">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#842-avl" class="md-nav__link">
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8.4.2. AVL 树旋转
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<a href="#852-avl" class="md-nav__link">
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8.5.2. AVL 树旋转
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.2. AVL 树旋转">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.2. AVL 树旋转">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#843-avl" class="md-nav__link">
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8.4.3. AVL 树常用操作
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<a href="#853-avl" class="md-nav__link">
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8.5.3. AVL 树常用操作
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.3. AVL 树常用操作">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.3. AVL 树常用操作">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#844-avl" class="md-nav__link">
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8.4.4. AVL 树典型应用
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<a href="#854-avl" class="md-nav__link">
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8.5.4. AVL 树典型应用
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</a>
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</li>
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@ -1210,7 +1226,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -1883,11 +1899,11 @@
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<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#841-avl" class="md-nav__link">
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8.4.1. AVL 树常见术语
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<a href="#851-avl" class="md-nav__link">
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8.5.1. AVL 树常见术语
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.1. AVL 树常见术语">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.1. AVL 树常见术语">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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@ -1910,11 +1926,11 @@
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#842-avl" class="md-nav__link">
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8.4.2. AVL 树旋转
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<a href="#852-avl" class="md-nav__link">
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8.5.2. AVL 树旋转
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.2. AVL 树旋转">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.2. AVL 树旋转">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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@ -1958,11 +1974,11 @@
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#843-avl" class="md-nav__link">
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8.4.3. AVL 树常用操作
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<a href="#853-avl" class="md-nav__link">
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8.5.3. AVL 树常用操作
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.3. AVL 树常用操作">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.5.3. AVL 树常用操作">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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@ -1992,8 +2008,8 @@
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#844-avl" class="md-nav__link">
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||||
8.4.4. AVL 树典型应用
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||||
<a href="#854-avl" class="md-nav__link">
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8.5.4. AVL 树典型应用
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</a>
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</li>
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@ -2021,7 +2037,7 @@
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<h1 id="84-avl">8.4. AVL 树 *<a class="headerlink" href="#84-avl" title="Permanent link">¶</a></h1>
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||||
<h1 id="85-avl">8.5. AVL 树 *<a class="headerlink" href="#85-avl" title="Permanent link">¶</a></h1>
|
||||
<p>在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 恶化为 <span class="arithmatex">\(O(n)\)</span>。</p>
|
||||
<p>如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。</p>
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||||
<p><img alt="AVL 树在删除节点后发生退化" src="../avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png" /></p>
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@ -2032,7 +2048,7 @@
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|||
<p align="center"> Fig. AVL 树在插入节点后发生退化 </p>
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||||
<p>G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 <span class="arithmatex">\(O(\log n)\)</span> 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。</p>
|
||||
<h2 id="841-avl">8.4.1. AVL 树常见术语<a class="headerlink" href="#841-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h2 id="851-avl">8.5.1. AVL 树常见术语<a class="headerlink" href="#851-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<p>「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树」。</p>
|
||||
<h3 id="_1">节点高度<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
|
||||
<p>在操作 AVL 树时，我们需要获取节点的高度，因此需要为 AVL 树的节点类添加 <code>height</code> 变量。</p>
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||||
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@ -2405,7 +2421,7 @@
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|||
<p class="admonition-title">Note</p>
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||||
<p>设平衡因子为 <span class="arithmatex">\(f\)</span> ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 <span class="arithmatex">\(-1 \le f \le 1\)</span> 。</p>
|
||||
</div>
|
||||
<h2 id="842-avl">8.4.2. AVL 树旋转<a class="headerlink" href="#842-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h2 id="852-avl">8.5.2. AVL 树旋转<a class="headerlink" href="#852-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<p>AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，<strong>旋转操作既能保持树的「二叉搜索树」属性，也能使树重新变为「平衡二叉树」</strong>。</p>
|
||||
<p>我们将平衡因子绝对值 <span class="arithmatex">\(> 1\)</span> 的节点称为「失衡节点」。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作。</p>
|
||||
<h3 id="_3">右旋<a class="headerlink" href="#_3" title="Permanent link">¶</a></h3>
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||||
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@ -3096,7 +3112,7 @@
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</div>
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</div>
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||||
</div>
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||||
<h2 id="843-avl">8.4.3. AVL 树常用操作<a class="headerlink" href="#843-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h2 id="853-avl">8.5.3. AVL 树常用操作<a class="headerlink" href="#853-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h3 id="_8">插入节点<a class="headerlink" href="#_8" title="Permanent link">¶</a></h3>
|
||||
<p>「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，<strong>我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡</strong>。</p>
|
||||
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="8:10"><input checked="checked" id="__tabbed_8_1" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_2" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_3" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_4" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_5" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_6" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_7" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_8" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_9" name="__tabbed_8" type="radio" /><input id="__tabbed_8_10" name="__tabbed_8" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_8_1">Java</label><label for="__tabbed_8_2">C++</label><label for="__tabbed_8_3">Python</label><label for="__tabbed_8_4">Go</label><label for="__tabbed_8_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_8_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_8_7">C</label><label for="__tabbed_8_8">C#</label><label for="__tabbed_8_9">Swift</label><label for="__tabbed_8_10">Zig</label></div>
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@ -3746,7 +3762,7 @@
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</div>
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||||
<h3 id="_10">查找节点<a class="headerlink" href="#_10" title="Permanent link">¶</a></h3>
|
||||
<p>AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。</p>
|
||||
<h2 id="844-avl">8.4.4. AVL 树典型应用<a class="headerlink" href="#844-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<h2 id="854-avl">8.5.4. AVL 树典型应用<a class="headerlink" href="#854-avl" title="Permanent link">¶</a></h2>
|
||||
<ul>
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||||
<li>组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景；</li>
|
||||
<li>用于构建数据库中的索引系统；</li>
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@ -3832,7 +3848,7 @@
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<nav class="md-footer__inner md-grid" aria-label="页脚" >
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.3. &nbsp; 二叉搜索树" rel="prev">
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.4. &nbsp; 二叉搜索树" rel="prev">
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M20 11v2H8l5.5 5.5-1.42 1.42L4.16 12l7.92-7.92L13.5 5.5 8 11h12Z"/></svg>
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</div>
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@ -3841,20 +3857,20 @@
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上一页
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<div class="md-ellipsis">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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<a href="../summary/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.5. &nbsp; 小结" rel="next">
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<a href="../summary/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.6. &nbsp; 小结" rel="next">
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<div class="md-footer__title">
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<span class="md-footer__direction">
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下一页
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</div>
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</div>
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<link rel="prev" href="../binary_tree_traversal/">
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<link rel="next" href="../avl_tree/">
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@ -25,7 +25,7 @@
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<title>8.3. 二叉搜索树 - Hello 算法</title>
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<title>8.4. 二叉搜索树 - Hello 算法</title>
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@ -79,7 +79,7 @@
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<div data-md-component="skip">
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<a href="#83" class="md-skip">
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<a href="#84" class="md-skip">
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跳转至
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@ -113,7 +113,7 @@
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<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
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<span class="md-ellipsis">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</span>
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</div>
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
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</label>
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<a href="./" class="md-nav__link md-nav__link--active">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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@ -1065,11 +1081,11 @@
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<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#831" class="md-nav__link">
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8.3.1. 二叉搜索树的操作
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<a href="#841" class="md-nav__link">
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8.4.1. 二叉搜索树的操作
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.3.1. 二叉搜索树的操作">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.1. 二叉搜索树的操作">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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@ -1106,15 +1122,15 @@
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#832" class="md-nav__link">
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8.3.2. 二叉搜索树的效率
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<a href="#842" class="md-nav__link">
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8.4.2. 二叉搜索树的效率
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#833" class="md-nav__link">
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8.3.3. 二叉搜索树常见应用
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<a href="#843" class="md-nav__link">
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8.4.3. 二叉搜索树常见应用
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</a>
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</li>
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@ -1135,7 +1151,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1149,7 +1165,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -1822,11 +1838,11 @@
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<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#831" class="md-nav__link">
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8.3.1. 二叉搜索树的操作
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<a href="#841" class="md-nav__link">
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8.4.1. 二叉搜索树的操作
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</a>
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<nav class="md-nav" aria-label="8.3.1. 二叉搜索树的操作">
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<nav class="md-nav" aria-label="8.4.1. 二叉搜索树的操作">
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<ul class="md-nav__list">
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<li class="md-nav__item">
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@ -1863,15 +1879,15 @@
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#832" class="md-nav__link">
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8.3.2. 二叉搜索树的效率
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<a href="#842" class="md-nav__link">
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8.4.2. 二叉搜索树的效率
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#833" class="md-nav__link">
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8.3.3. 二叉搜索树常见应用
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<a href="#843" class="md-nav__link">
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8.4.3. 二叉搜索树常见应用
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</a>
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</li>
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@ -1899,7 +1915,7 @@
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<h1 id="83">8.3. 二叉搜索树<a class="headerlink" href="#83" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<h1 id="84">8.4. 二叉搜索树<a class="headerlink" href="#84" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<p>「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：</p>
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<ol>
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<li>对于根节点，左子树中所有节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 根节点的值 <span class="arithmatex">\(<\)</span> 右子树中所有节点的值；</li>
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@ -1908,7 +1924,7 @@
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<p><img alt="二叉搜索树" src="../binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉搜索树 </p>
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<h2 id="831">8.3.1. 二叉搜索树的操作<a class="headerlink" href="#831" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h2 id="841">8.4.1. 二叉搜索树的操作<a class="headerlink" href="#841" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h3 id="_1">查找节点<a class="headerlink" href="#_1" title="Permanent link">¶</a></h3>
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<p>给定目标节点值 <code>num</code> ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 <code>cur</code> ，从二叉树的根节点 <code>root</code> 出发，循环比较节点值 <code>cur.val</code> 和 <code>num</code> 之间的大小关系</p>
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<ul>
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@ -2912,7 +2928,7 @@
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<p><img alt="二叉搜索树的中序遍历序列" src="../binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
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<h2 id="832">8.3.2. 二叉搜索树的效率<a class="headerlink" href="#832" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h2 id="842">8.4.2. 二叉搜索树的效率<a class="headerlink" href="#842" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。</p>
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<p>观察可知，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。</p>
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<div class="center-table">
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@ -2948,7 +2964,7 @@
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<p><img alt="二叉搜索树的平衡与退化" src="../binary_search_tree.assets/bst_degradation.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 二叉搜索树的平衡与退化 </p>
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<h2 id="833">8.3.3. 二叉搜索树常见应用<a class="headerlink" href="#833" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<h2 id="843">8.4.3. 二叉搜索树常见应用<a class="headerlink" href="#843" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<ul>
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<li>用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。</li>
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<li>作为某些搜索算法的底层数据结构。</li>
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@ -3031,7 +3047,7 @@
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<nav class="md-footer__inner md-grid" aria-label="页脚" >
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<a href="../binary_tree_traversal/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.2. &nbsp; 二叉树遍历" rel="prev">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.3. &nbsp; 二叉树数组表示" rel="prev">
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M20 11v2H8l5.5 5.5-1.42 1.42L4.16 12l7.92-7.92L13.5 5.5 8 11h12Z"/></svg>
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</div>
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@ -3040,20 +3056,20 @@
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上一页
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</span>
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<div class="md-ellipsis">
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8.2. 二叉树遍历
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8.3. 二叉树数组表示
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</div>
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</div>
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</a>
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<a href="../avl_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.4. &nbsp; AVL 树 *" rel="next">
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<a href="../avl_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.5. &nbsp; AVL 树 *" rel="next">
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<div class="md-footer__title">
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<span class="md-footer__direction">
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下一页
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</span>
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<div class="md-ellipsis">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</div>
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</div>
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
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@ -1096,13 +1098,6 @@
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8.1.4. 二叉树的退化
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#815" class="md-nav__link">
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8.1.5. 二叉树表示方式 *
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</a>
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</li>
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</ul>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1149,7 +1158,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</a>
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</li>
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@ -1163,7 +1172,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -1895,13 +1904,6 @@
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8.1.4. 二叉树的退化
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="#815" class="md-nav__link">
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8.1.5. 二叉树表示方式 *
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</a>
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</li>
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</ul>
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@ -2356,87 +2358,6 @@
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</tbody>
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</table>
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</div>
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<h2 id="815">8.1.5. 二叉树表示方式 *<a class="headerlink" href="#815" title="Permanent link">¶</a></h2>
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<p>我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 <code>TreeNode</code> ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。</p>
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<p>那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：<strong>若节点的索引为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> ，则该节点的左子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 1\)</span> ，右子节点索引为 <span class="arithmatex">\(2i + 2\)</span></strong> 。</p>
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<p><strong>本质上，映射公式的作用相当于链表中的指针</strong>。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此，我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中，利用以上映射公式来表示二叉树。</p>
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<p><img alt="完美二叉树的数组表示" src="../binary_tree.assets/array_representation_mapping.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
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<p>然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 <span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span> ，而层序遍历序列并不包含这些 <span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span> 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置，<strong>这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列</strong>。显然，在这种情况下，我们无法使用数组来存储二叉树。</p>
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<p><img alt="给定数组对应多种二叉树可能性" src="../binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 给定数组对应多种二叉树可能性 </p>
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||||
<p>为了解决这个问题，我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，<strong>并在序列中使用特殊符号来显式地表示 <span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span></strong>。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。</p>
|
||||
<div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:10"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">Java</label><label for="__tabbed_4_2">C++</label><label for="__tabbed_4_3">Python</label><label for="__tabbed_4_4">Go</label><label for="__tabbed_4_5">JavaScript</label><label for="__tabbed_4_6">TypeScript</label><label for="__tabbed_4_7">C</label><label for="__tabbed_4_8">C#</label><label for="__tabbed_4_9">Swift</label><label for="__tabbed_4_10">Zig</label></div>
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||||
<div class="tabbed-content">
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||||
<div class="tabbed-block">
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||||
<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-30-1" name="__codelineno-30-1" href="#__codelineno-30-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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||||
<a id="__codelineno-30-2" name="__codelineno-30-2" href="#__codelineno-30-2"></a><span class="c1">// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位</span>
|
||||
<a id="__codelineno-30-3" name="__codelineno-30-3" href="#__codelineno-30-3"></a><span class="n">Integer</span><span class="o">[]</span><span class="w"> </span><span class="n">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">15</span><span class="w"> </span><span class="p">};</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-31-1" name="__codelineno-31-1" href="#__codelineno-31-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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||||
<a id="__codelineno-31-2" name="__codelineno-31-2" href="#__codelineno-31-2"></a><span class="c1">// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位</span>
|
||||
<a id="__codelineno-31-3" name="__codelineno-31-3" href="#__codelineno-31-3"></a><span class="c1">// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX</span>
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||||
<a id="__codelineno-31-4" name="__codelineno-31-4" href="#__codelineno-31-4"></a><span class="n">vector</span><span class="o"><</span><span class="kt">int</span><span class="o">></span><span class="w"> </span><span class="n">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">INT_MAX</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">INT_MAX</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">INT_MAX</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">INT_MAX</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="n">INT_MAX</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">15</span><span class="w"> </span><span class="p">};</span>
|
||||
</code></pre></div>
|
||||
</div>
|
||||
<div class="tabbed-block">
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||||
<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-32-1" name="__codelineno-32-1" href="#__codelineno-32-1"></a><span class="c1"># 二叉树的数组表示</span>
|
||||
<a id="__codelineno-32-2" name="__codelineno-32-2" href="#__codelineno-32-2"></a><span class="c1"># 直接使用 None 来表示空位</span>
|
||||
<a id="__codelineno-32-3" name="__codelineno-32-3" href="#__codelineno-32-3"></a><span class="n">tree</span> <span class="o">=</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">6</span><span class="p">,</span> <span class="mi">7</span><span class="p">,</span> <span class="mi">8</span><span class="p">,</span> <span class="mi">9</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">12</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="kc">None</span><span class="p">,</span> <span class="mi">15</span><span class="p">]</span>
|
||||
</code></pre></div>
|
||||
</div>
|
||||
<div class="tabbed-block">
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||||
<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-33-1" name="__codelineno-33-1" href="#__codelineno-33-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
|
||||
<a id="__codelineno-33-2" name="__codelineno-33-2" href="#__codelineno-33-2"></a><span class="c1">// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位</span>
|
||||
<a id="__codelineno-33-3" name="__codelineno-33-3" href="#__codelineno-33-3"></a><span class="nx">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">:=</span><span class="w"> </span><span class="p">[]</span><span class="kt">any</span><span class="p">{</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">nil</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">nil</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">nil</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">nil</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">nil</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mi">15</span><span class="p">}</span>
|
||||
</code></pre></div>
|
||||
</div>
|
||||
<div class="tabbed-block">
|
||||
<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-34-1" name="__codelineno-34-1" href="#__codelineno-34-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
|
||||
<a id="__codelineno-34-2" name="__codelineno-34-2" href="#__codelineno-34-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-34-3" name="__codelineno-34-3" href="#__codelineno-34-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-35-1" name="__codelineno-35-1" href="#__codelineno-35-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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<a id="__codelineno-35-2" name="__codelineno-35-2" href="#__codelineno-35-2"></a><span class="c1">// 直接使用 null 来表示空位</span>
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<a id="__codelineno-35-3" name="__codelineno-35-3" href="#__codelineno-35-3"></a><span class="kd">let</span><span class="w"> </span><span class="nx">tree</span><span class="o">:</span><span class="w"> </span><span class="p">(</span><span class="kt">number</span><span class="w"> </span><span class="o">|</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">)[]</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">[</span><span class="mf">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="kc">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="mf">15</span><span class="p">];</span>
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</code></pre></div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-36-1" name="__codelineno-36-1" href="#__codelineno-36-1"></a>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-37-1" name="__codelineno-37-1" href="#__codelineno-37-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
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||||
<a id="__codelineno-37-2" name="__codelineno-37-2" href="#__codelineno-37-2"></a><span class="c1">// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位</span>
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||||
<a id="__codelineno-37-3" name="__codelineno-37-3" href="#__codelineno-37-3"></a><span class="kt">int?</span><span class="p">[]</span><span class="w"> </span><span class="n">tree</span><span class="w"> </span><span class="o">=</span><span class="w"> </span><span class="p">{</span><span class="w"> </span><span class="m">1</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">2</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">3</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">4</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="k">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">6</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">7</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">8</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">9</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="k">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="k">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">12</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="k">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="k">null</span><span class="p">,</span><span class="w"> </span><span class="m">15</span><span class="w"> </span><span class="p">};</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-38-1" name="__codelineno-38-1" href="#__codelineno-38-1"></a><span class="cm">/* 二叉树的数组表示 */</span>
|
||||
<a id="__codelineno-38-2" name="__codelineno-38-2" href="#__codelineno-38-2"></a><span class="c1">// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位</span>
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||||
<a id="__codelineno-38-3" name="__codelineno-38-3" href="#__codelineno-38-3"></a><span class="kd">let</span> <span class="nv">tree</span><span class="p">:</span> <span class="p">[</span><span class="nb">Int</span><span class="p">?]</span> <span class="p">=</span> <span class="p">[</span><span class="mi">1</span><span class="p">,</span> <span class="mi">2</span><span class="p">,</span> <span class="mi">3</span><span class="p">,</span> <span class="mi">4</span><span class="p">,</span> <span class="kc">nil</span><span class="p">,</span> <span class="mi">6</span><span class="p">,</span> <span class="mi">7</span><span class="p">,</span> <span class="mi">8</span><span class="p">,</span> <span class="mi">9</span><span class="p">,</span> <span class="kc">nil</span><span class="p">,</span> <span class="kc">nil</span><span class="p">,</span> <span class="mi">12</span><span class="p">,</span> <span class="kc">nil</span><span class="p">,</span> <span class="kc">nil</span><span class="p">,</span> <span class="mi">15</span><span class="p">]</span>
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</code></pre></div>
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</div>
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<div class="tabbed-block">
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<div class="highlight"><pre><span></span><code><a id="__codelineno-39-1" name="__codelineno-39-1" href="#__codelineno-39-1"></a>
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</code></pre></div>
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</div>
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</div>
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</div>
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<p><img alt="任意类型二叉树的数组表示" src="../binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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<p><strong>完全二叉树非常适合使用数组来表示</strong>。回顾「完全二叉树」的定义，<span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span> 只出现在最底层，并且最底层的节点尽量靠左。这意味着，<strong>所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾</strong>。由于我们事先知道了所有 <span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span> 的位置，因此在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储它们。</p>
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<p><img alt="完全二叉树的数组表示" src="../binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png" /></p>
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<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
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<p>数组表示具有两个显著优点：首先，它不需要存储指针，从而节省了空间；其次，它允许随机访问节点。然而，当二叉树中存在大量 <span class="arithmatex">\(\text{null}\)</span> 时，数组中包含的节点数据比重较低，导致有效空间利用率降低。</p>
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<link rel="prev" href="../binary_tree/">
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<link rel="next" href="../binary_search_tree/">
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<link rel="next" href="../array_representation_of_tree/">
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<link rel="icon" href="../../assets/images/favicon.png">
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<meta name="generator" content="mkdocs-1.4.2, mkdocs-material-9.1.6">
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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<a href="../avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.3. &nbsp; 二叉搜索树" rel="next">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--next" aria-label="下一页: 8.3. &nbsp; 二叉树数组表示" rel="next">
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<div class="md-footer__title">
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<span class="md-footer__direction">
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<div class="md-ellipsis">
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8.3. 二叉搜索树
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8.3. 二叉树数组表示
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<title>8.5. 小结 - Hello 算法</title>
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<title>8.6. 小结 - Hello 算法</title>
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<a href="#85" class="md-skip">
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<a href="#86" class="md-skip">
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<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
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<span class="md-ellipsis">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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<li class="md-nav__item">
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<a href="../array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<a href="../binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</li>
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<a href="../avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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<h1 id="85">8.5. 小结<a class="headerlink" href="#85" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<h1 id="86">8.6. 小结<a class="headerlink" href="#86" title="Permanent link">¶</a></h1>
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<ul>
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<li>二叉树是一种非线性数据结构，体现“一分为二”的分治逻辑。每个二叉树节点包含一个值以及两个指针，分别指向其左子节点和右子节点。</li>
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<li>对于二叉树中的某个节点，其左（右）子节点及其以下形成的树被称为该节点的左（右）子树。</li>
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<nav class="md-footer__inner md-grid" aria-label="页脚" >
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<a href="../avl_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.4. &nbsp; AVL 树 *" rel="prev">
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<a href="../avl_tree/" class="md-footer__link md-footer__link--prev" aria-label="上一页: 8.5. &nbsp; AVL 树 *" rel="prev">
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<div class="md-footer__button md-icon">
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<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24"><path d="M20 11v2H8l5.5 5.5-1.42 1.42L4.16 12l7.92-7.92L13.5 5.5 8 11h12Z"/></svg>
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</div>
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@ -1857,7 +1873,7 @@
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</span>
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<div class="md-ellipsis">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</div>
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</div>
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</a>
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22
index.html
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<li class="md-nav__item">
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<a href="chapter_tree/array_representation_of_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉树数组表示
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</a>
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</li>
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<li class="md-nav__item">
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<a href="chapter_tree/binary_search_tree/" class="md-nav__link">
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8.3. 二叉搜索树
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8.4. 二叉搜索树
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</a>
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</li>
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@ -1037,7 +1053,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="chapter_tree/avl_tree/" class="md-nav__link">
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8.4. AVL 树 *
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8.5. AVL 树 *
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</li>
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@ -1051,7 +1067,7 @@
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<li class="md-nav__item">
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<a href="chapter_tree/summary/" class="md-nav__link">
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8.5. 小结
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8.6. 小结
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</a>
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</li>
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@ -245,6 +245,11 @@
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