+ + + + + + + + + + + + +8.3. 二叉树数组表示¶ +在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。 +那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。 +8.3.1. 表示完美二叉树¶ +先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 \(0\) 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。 +根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。 + + Fig. 完美二叉树的数组表示 + +映射公式的作用相当于链表中的指针。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。 +8.3.2. 表示任意二叉树¶ +然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 \(\text{null}\) ，而层序遍历序列并不包含这些 \(\text{null}\) 。我们无法仅凭该序列来推测 \(\text{null}\) 的数量和分布位置，这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。 + + Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性 + +为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \(\text{null}\)。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。 +JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位 +Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位 +// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX +vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 }; + + + +# 二叉树的数组表示 +# 直接使用 None 来表示空位 +tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15] + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位 +tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15} + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 直接使用 null 来表示空位 +let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 直接使用 null 来表示空位 +let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; + + + + + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位 +int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; + + + +/* 二叉树的数组表示 */ +// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位 +let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15] + + + + + + + + + + Fig. 任意类型二叉树的数组表示 + +8.3.3. 优势与局限性¶ +二叉树的数组表示存在以下优点： + +数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快； +不需要存储指针，比较节省空间； +允许随机访问节点； + +然而，数组表示也具有一些局限性： + +数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。 +增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低； +当二叉树中存在大量 \(\text{null}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。 + +完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\(\text{null}\) 只出现在最底层且靠右的位置，这意味着所有 \(\text{null}\) 一定出现在层序遍历序列的末尾。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \(\text{null}\) 。 + + Fig. 完全二叉树的数组表示 + + + + + + 评论 + + + + + + +