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@ -171,9 +171,35 @@ status: new
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=== "Go"
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```go title="build_tree.go"
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[class]{}-[func]{dfs}
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/* 构建二叉树：分治 */
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func dfsBuildTree(preorder, inorder []int, hmap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode {
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// 子树区间为空时终止
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if r-l < 0 {
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return nil
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}
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// 初始化根节点
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root := NewTreeNode(preorder[i])
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// 查询 m ，从而划分左右子树
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m := hmap[preorder[i]]
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// 子问题：构建左子树
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root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1, l, m-1)
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// 子问题：构建右子树
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root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1+m-l, m+1, r)
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// 返回根节点
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return root
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}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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/* 构建二叉树 */
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func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode {
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// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
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hmap := make(map[int]int, len(inorder))
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for i := 0; i < len(inorder); i++ {
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hmap[inorder[i]] = i
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}
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root := dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder)-1)
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return root
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}
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```
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=== "JavaScript"
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@ -193,11 +193,37 @@ status: new
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=== "Go"
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```go title="hanota.go"
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[class]{}-[func]{move}
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/* 移动一个圆盘 */
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func move(src, tar *list.List) {
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// 从 src 顶部拿出一个圆盘
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pan := src.Back()
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// 将圆盘放入 tar 顶部
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tar.PushBack(pan.Value)
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// 移除 src 顶部圆盘
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src.Remove(pan)
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}
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[class]{}-[func]{dfs}
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/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
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func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
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// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
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if i == 1 {
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move(src, tar)
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return
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}
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// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
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dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
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// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
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move(src, tar)
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// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
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dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
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}
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[class]{}-[func]{hanota}
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/* 求解汉诺塔 */
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func hanota(A, B, C *list.List) {
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n := A.Len()
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// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
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dfsHanota(n, A, B, C)
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}
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```
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=== "JavaScript"
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@ -15,8 +15,6 @@ status: new
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<p align="center"> Fig. 分数背包问题的示例数据 </p>
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### 第一步：问题分析
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本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。
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不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有：
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@ -28,7 +26,7 @@ status: new
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<p align="center"> Fig. 物品在单位重量下的价值 </p>
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### 第二步：贪心策略确定
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### 贪心策略确定
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最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略：
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@ -222,7 +220,7 @@ status: new
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最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
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### 第三步：正确性证明
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### 正确性证明
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采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
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@ -15,8 +15,6 @@ status: new
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<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
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### 第一步：问题分析
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容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
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根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式：
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@ -27,7 +25,7 @@ $$
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设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
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### 第二步：贪心策略确定
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### 贪心策略确定
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当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
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@ -208,7 +206,7 @@ $$
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[class]{}-[func]{maxCapacity}
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```
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### 第三步：正确性证明
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### 正确性证明
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之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
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@ -9,8 +9,6 @@ status: new
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给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
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### 第一步：问题分析
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<p align="center"> Fig. 最大切分乘积的问题定义 </p>
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@ -29,7 +27,7 @@ $$
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我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？
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### 第二步：贪心策略确定
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### 贪心策略确定
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根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较：
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@ -205,7 +203,7 @@ $$
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变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
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### 第三步：正确性证明
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### 正确性证明
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使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。
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@ -1410,8 +1410,8 @@ index = hash(key) % capacity
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对于上述示例中的哈希函数，当输入的 `key` 后两位相同时，哈希函数的输出结果也相同。例如，查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时，我们得到：
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```shell
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12386 % 100 = 36
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20386 % 100 = 36
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12836 % 100 = 36
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20336 % 100 = 36
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```
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如下图所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。我们将这种多个输入对应同一输出的情况称为「哈希冲突 Hash Collision」。
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