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2024-12-27 14:36:29 +08:00 · 2023-05-17 04:37:49 +08:00 · 2023-05-17 04:37:49 +08:00 · b66329ae4c
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 # 3.2. &nbsp; 基本数据类型
 谈及计算机中的数据，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。
 **基本数据类型是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用**。它包括：
 - 整数类型 `byte` , `short` , `int` , `long` ；
 - 浮点数类型 `float` , `double` ，用于表示小数；
 - 字符类型 `char` ，用于表示各种语言的字母、标点符号、甚至表情符号等；
 - 布尔类型 `bool` ，用于表示“是”与“否”判断；
 **所有基本数据类型都以二进制的形式存储在计算机中**。在计算机中，我们将 $1$ 个二进制位称为 $1$ 比特，并规定 $1$ 字节（byte）由 $8$ 比特（bits）组成。基本数据类型的取值范围取决于其占用的空间大小，例如：
 - 整数类型 `byte` 占用 $1$ byte = $8$ bits ，可以表示 $2^{8}$ 个不同的数字；
 - 整数类型 `int` 占用 $4$ bytes = $32$ bits ，可以表示 $2^{32}$ 个数字；
 下表列举了各种基本数据类型的占用空间、取值范围和默认值。此表格无需硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。
 <div class="center-table" markdown>
 | 类型   | 符号     | 占用空间         | 最小值                   | 最大值                  | 默认值         |
 | ------ | -------- | ---------------- | ------------------------ | ----------------------- | -------------- |
 | 整数   | `byte`   | 1 byte           | $-2^7$ ($-128$)          | $2^7 - 1$ ($127$)       | $0$            |
 |        | `short`  | 2 bytes          | $-2^{15}$                | $2^{15} - 1$            | $0$            |
 |        | `int`    | 4 bytes          | $-2^{31}$                | $2^{31} - 1$            | $0$            |
 |        | `long`   | 8 bytes          | $-2^{63}$                | $2^{63} - 1$            | $0$            |
 | 浮点数 | `float`  | 4 bytes          | $1.175 \times 10^{-38}$  | $3.403 \times 10^{38}$  | $0.0 f$        |
 |        | `double` | 8 bytes          | $2.225 \times 10^{-308}$ | $1.798 \times 10^{308}$ | $0.0$          |
 | 字符   | `char`   | 2 bytes / 1 byte | $0$                      | $2^{16} - 1$            | $0$            |
 | 布尔   | `bool`   | 1 byte / 1 bit   | $\text{false}$           | $\text{true}$           | $\text{false}$ |
 </div>
 那么，基本数据类型与数据结构之间有什么联系与区别呢？我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式。它的主语是“结构”，而非“数据”。如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用数组。这是因为数组的线性结构可以表示数字的相邻关系和顺序关系，但至于存储的内容是整数 `int` 、小数 `float` 、还是字符 `char` ，则与“数据结构”无关。
 换句话说，**基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”**。如以下代码所示，我们可以使用不同基本数据类型来初始化数组。
 === "Java"
    ```java title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int[] numbers = new int[5];
    float[] decimals = new float[5];
    char[] characters = new char[5];
    boolean[] booleans = new boolean[5];
    ```
 === "C++"
    ```cpp title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int numbers[5];
    float decimals[5];
    char characters[5];
    bool booleans[5];
    ```
 === "Python"
    ```python title=""
    # Python 的 list 可以自由存储各种基本数据类型和对象
    list = [0, 0.0, 'a', False]
    ```
 === "Go"
    ```go title=""
    // 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」
    var numbers = [5]int{}
    var decimals = [5]float64{}
    var characters = [5]byte{}
    var booleans = [5]bool{}
    ```
 === "JavaScript"
    ```javascript title=""
    /* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */
    const array = [0, 0.0, 'a', false];
    ```
 === "TypeScript"
    ```typescript title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    const numbers: number[] = [];
    const characters: string[] = [];
    const booleans: boolean[] = [];
    ```
 === "C"
    ```c title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int numbers[10];
    float decimals[10];
    char characters[10];
    bool booleans[10];
    ```
 === "C#"
    ```csharp title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int[] numbers = new int[5];
    float[] decimals = new float[5];
    char[] characters = new char[5];
    bool[] booleans = new bool[5];
    ```
 === "Swift"
    ```swift title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5)
    let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5)
    let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5)
    let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5)
    ```
 === "Zig"
    ```zig title=""
    ```
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@ -0,0 +1,75 @@
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 # 3.4. &nbsp; 字符集与编码
 在计算机中，所有数据都是以二进制数的形式存储的，字符 `char` 也不例外。为了表示字符，我们需要建立一套「字符集」，规定每个字符和二进制数之间的一一对应关系。有了字符集之后，计算机就可以通过查表完成二进制数到字符的转换。
 ## 3.4.1. &nbsp; ASCII 字符集
 「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的前 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。这包括英文字母的大小写、数字 0-9 、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。
 ![ASCII 码](character_encoding.assets/ascii_table.png)
 <p align="center"> Fig. ASCII 码 </p>
 然而，ASCII 码仅局限于表示英文。随着计算机的全球化，一种能够表示更多语言的字符集「EASCII」应运而生。它在 ASCII 的 7 位基础上扩展到 8 位，能够表示 256 个不同的字符。世界陆续诞生了一批适用于不同地区的 EASCII 字符集。这些字符集的前 128 个字符统一为 ASCII 码，后 128 个字符定义了不同语言的字符。
 ## 3.4.2. &nbsp; GBK 字符集
 EASCII 码仍然无法满足许多语言的字符数量要求。例如，汉字大约有近十万个，光日常使用的就有几千个。为此，中国国家标准总局于 1980 年发布了「GB2312」字符集，其收录了 6763 个汉字，基本满足了汉字的计算机处理需要。
 然而，GB2312 无法处理部分的罕见字和繁体字。之后在 GB2312 的基础上，扩展得到了「GBK」字符集，它共收录了 21886 个汉字。在 GBK 编码方案中，ASCII 字符使用一个字节表示，汉字使用两个字节表示。
 ## 3.4.3. &nbsp; Unicode 字符集
 随着计算机的蓬勃发展，在世界范围内诞生了许多字符集与编码标准，而这带来了许多问题。一方面，这些字符集一般只定义了某种特定语言的字符，无法实现跨语言解析；另一方面，同一种语言也存在多种字符集，如果两台电脑安装的是不同的编码标准，则在信息传递时就会出现乱码。
 那个时代的人们会想：如果推出一个足够完整的字符集，将世界范围内的所有语言和符号都纳入其中，不就可以解决跨语言环境和乱码问题了吗？在这种思考下，一个庞大的字符集 Unicode 应运而生。
 「Unicode」的全称为“统一字符编码”，理论上能容纳一百多万个字符。它致力于将全球范围内的字符纳入到统一的字符集之中，提供一种通用的字符集来处理和显示各种语言文字，减少因为编码标准不同而产生的乱码问题。
 自 1991 年发布以来，Unicode 不断扩充新的语言与字符。截止 2022 年 9 月，Unicode 已经包含 149186 个字符，包括各种语言的字符、符号、甚至是表情符号等。在庞大的 Unicode 字符集中，常用的字符占用 2 字节，有些生僻的字符占 3 字节甚至 4 字节。
 Unicode 是一种字符集标准，本质上是给每个字符分配一个编号（称为“码点”），**但它并没有规定在计算机中如何存储这些字符码点**。我们不禁会问：当多种长度的 Unicode 码点同时出现在同一个文本中时，系统如何解析字符？例如，给定一个长度为 2 字节的编码，系统如何确认它是一个 2 字节的字符还是两个 1 字节的字符？
 **最直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码**。如下图所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 ，将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复出这个短语的内容了。
 ![Unicode 编码示例](character_encoding.assets/unicode_hello_algo.png)
 <p align="center"> Fig. Unicode 编码示例 </p>
 然而，ASCII 码已经向我们证明，编码英文只需要 1 字节。若采用上述方案，英文文本占用空间的大小将会是 ASCII 编码下大小的 2 倍，非常浪费内存空间。因此，我们需要一种更加高效的 Unicode 编码方法。
 ## 3.4.4. &nbsp; UTF-8 编码
 随着互联网的发展，UTF-8 成为国际上使用最广泛的 Unicode 编码方法。**它是一种可变长的编码**，使用 1 到 4 个字节来表示一个字符，根据字符的复杂性而变。ASCII 字符只需要 1 个字节，拉丁字母和希腊字母需要 2 个字节，常用的中文字符需要 3 个字节，其他的一些生僻字符需要 4 个字节。UTF-8 的编码规则是：
 - 对于长度为 1 字节的字符，将最高位设置为 0 、其余 7 位设置为 Unicode 码点。值得注意的是，ASCII 字符在 Unicode 字符集中占据了前 128 个码点。也就是说，**UTF-8 编码可以向下兼容 ASCII 码**。这意味着我们可以使用 UTF-8 来解析年代久远的 ASCII 码文本。
 - 对于长度为 $n$ 字节的字符（其中 $n > 1$），将首个字节的高 $n$ 位都设置为 $1$ 、第 $n + 1$ 位设置为 $0$ ；从第二个字节开始，将每个字节的高 2 位都设置为 $10$ ；其余所有位用于填充字符的 Unicode 码点。
 下图展示了“Hello算法”对应的 UTF-8 编码。将最高 $n$ 位设置为 $1$ 比较容易理解，可以向系统指出字符的长度为 $n$ 。那么，为什么要将其余所有字节的高 2 位都设置为 $10$ 呢？实际上，这个 $10$ 能够起到校验符的作用，因为在 UTF-8 编码规则下，不可能有字符的最高两位是 $10$ 。这是因为长度为 1 字节的字符的最高一位是 $0$ 。假设系统从一个错误的字节开始解析文本，字节头部的 $10$ 能够帮助系统快速的判断出异常。
 ![UTF-8 编码示例](character_encoding.assets/utf-8_hello_algo.png)
 <p align="center"> Fig. UTF-8 编码示例 </p>
 除了 UTF-8 之外，常见的编码方式还包括 UTF-16 和 UTF-32 。它们为 Unicode 字符集提供了不同的编码方法。
 - **UTF-16 编码**：使用 2 或 4 个字节来表示一个字符。所有的 ASCII 字符和很多常用的中文字符，都用 2 个字节表示。少数字符需要用到 4 个字节表示。
 - **UTF-32 编码**：每个字符都使用 4 个字节。这意味着 UTF-32 会比 UTF-8 和 UTF-16 更占用空间，特别是对于主要使用 ASCII 字符的文本。
 从存储空间的角度看，使用 UTF-8 表示英文字符非常高效，因为它仅需 1 个字节；使用 UTF-16 编码某些非英文字符（例如中文）会更加高效，因为它只需要 2 个字节，而 UTF-8 可能需要 3 个字节。从兼容性的角度看，UTF-8 的通用性最佳，许多工具和库都优先支持 UTF-8 。
 如下表所示，为各个编程语言的字符串默认编码方式。由于 UTF-16 和 UTF-32 属于等长的编码方法，因此编程语言可以直接计算字符串的长度，也可以快速地访问字符串中的任意字符。而如果使用 UTF-8 这种变长的编码方法，编程语言往往需要额外维护一个字符数组，才能实现高效的随机访问。
 <div class="center-table" markdown>
 | 编码   | 编程语言                         |
 | ------ | -------------------------------- |
 | UTF-8  | Python, Go, Rust, Swift          |
 | UTF-16 | Java, C#, JavaScript, TypeScript |
 | UTF-32 | /                                |
 </div>
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@ -2,11 +2,11 @@
 comments: true
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-# 3.2. &nbsp; 数据结构分类
+# 3.1. &nbsp; 数据结构分类
 数据结构可以从逻辑结构和物理结构两个维度进行分类。
-## 3.2.1. &nbsp; 逻辑结构：线性与非线性
+## 3.1.1. &nbsp; 逻辑结构：线性与非线性
 **「逻辑结构」揭示了数据元素之间的逻辑关系**。在数组和链表中，数据按照顺序依次排列，体现了数据之间的线性关系；而在树中，数据从顶部向下按层次排列，表现出祖先与后代之间的派生关系；图则由节点和边构成，反映了复杂的网络关系。
@ -19,13 +19,21 @@ comments: true
 <p align="center"> Fig. 线性与非线性数据结构 </p>
-## 3.2.2. &nbsp; 物理结构：连续与离散
+## 3.1.2. &nbsp; 物理结构：连续与离散
-!!! note
+在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。
-    如若阅读起来有困难，建议先阅读下一章“数组与链表”，然后再回头理解物理结构的含义。
+**在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中**。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。
-**「物理结构」体现了数据在计算机内存中的存储方式**，可以分为数组的连续空间存储和链表的离散空间存储。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，同时在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。
+**系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据**。计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。
 ![内存条、内存空间、内存地址](classification_of_data_structure.assets/computer_memory_location.png)
 <p align="center"> Fig. 内存条、内存空间、内存地址 </p>
 内存是所有程序的共享资源，当内存被某个程序占用时，其他程序无法同时使用。**因此，在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素**。例如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果运行的程序很多并且缺少大量连续的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。
 **「物理结构」反映了数据在计算机内存中的存储方式**，可分为数组的连续空间存储和链表的离散空间存储。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，同时在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。
 ![连续空间存储与离散空间存储](classification_of_data_structure.assets/classification_phisical_structure.png)
@ -40,4 +48,4 @@ comments: true
 !!! tip
-    数组与链表是其他所有数据结构的“底层积木”，建议读者投入更多时间深入了解这两种基本数据结构。
+    如若感觉理解物理结构有困难，建议先阅读下一章“数组与链表”，然后再回头理解物理结构的含义。数组与链表是其他所有数据结构的基石，建议你投入更多时间深入了解这两种基本数据结构。
--- a/chapter_data_structure/data_and_memory.md
+++ b/chapter_data_structure/data_and_memory.md
@ -1,219 +0,0 @@
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 comments: true
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 # 3.1. &nbsp; 数据与内存
 ## 3.1.1. &nbsp; 基本数据类型
 谈及计算机中的数据，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。
 **「基本数据类型」是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用**。
 - 「整数」按照不同的长度分为 byte, short, int, long 。在满足取值范围的前提下，我们应该尽量选取较短的整数类型，以减小内存空间占用；
 - 「浮点数」表示小数，按长度分为 float, double ，选用规则与整数相同。
 - 「字符」在计算机中以字符集形式保存，char 的值实际上是数字，代表字符集中的编号，计算机通过字符集查表完成编号到字符的转换。
 - 「布尔」代表逻辑中的“是”与“否”，其占用空间需根据编程语言确定。
 <div class="center-table" markdown>
 | 类别   | 符号        | 占用空间          | 取值范围                                       | 默认值         |
 | ------ | ----------- | ----------------- | ---------------------------------------------- | -------------- |
 | 整数   | byte        | 1 byte            | $-2^7$ ~ $2^7 - 1$ ( $-128$ ~ $127$ )          | $0$            |
 |        | short       | 2 bytes           | $-2^{15}$ ~ $2^{15} - 1$                       | $0$            |
 |        | **int**     | 4 bytes           | $-2^{31}$ ~ $2^{31} - 1$                       | $0$            |
 |        | long        | 8 bytes           | $-2^{63}$ ~ $2^{63} - 1$                       | $0$            |
 | 浮点数 | **float**   | 4 bytes           | $-3.4 \times 10^{38}$ ~ $3.4 \times 10^{38}$   | $0.0$ f        |
 |        | double      | 8 bytes           | $-1.7 \times 10^{308}$ ~ $1.7 \times 10^{308}$ | $0.0$          |
 | 字符   | **char**    | 2 bytes / 1 byte   | $0$ ~ $2^{16} - 1$                             | $0$            |
 | 布尔   | **bool** | 1 byte / 1 bit  | $\text{true}$ 或 $\text{false}$                | $\text{false}$ |
 </div>
 以上表格中，加粗项在算法题中最为常用。此表格无需硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。
 ### 整数表示方式
 整数的取值范围取决于变量使用的内存长度，即字节（或比特）数。在计算机中，1 字节 (byte) = 8 比特 (bit)，1 比特即 1 个二进制位。以 int 类型为例：
 1. 整数类型 int 占用 4 bytes = 32 bits ，可以表示 $2^{32}$ 个不同的数字；
 2. 将最高位视为符号位，$0$ 代表正数，$1$ 代表负数，一共可表示 $2^{31}$ 个正数和 $2^{31}$ 个负数；
 3. 当所有 bits 为 0 时代表数字 $0$ ，从零开始增大，可得最大正数为 $2^{31} - 1$ ；
 4. 剩余 $2^{31}$ 个数字全部用来表示负数，因此最小负数为 $-2^{31}$ ；具体细节涉及“源码、反码、补码”的相关知识，有兴趣的同学可以查阅学习；
 其他整数类型 byte, short, long 的取值范围的计算方法与 int 类似，在此不再赘述。
 ### 浮点数表示方式 *
 !!! note
    本书中，标题后的 * 符号代表选读章节。如果你觉得理解困难，建议先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
 细心的你可能会发现：int 和 float 长度相同，都是 4 bytes，但为什么 float 的取值范围远大于 int ？按理说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。
 实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下部分构成：
 - 符号位 $\mathrm{S}$ ：占 1 bit ；
 - 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ；
 - 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 24 bits ，其中 23 位显式存储；
 设 32-bit 二进制数的第 $i$ 位为 $b_i$ ，则 float 值的计算方法定义为：
 $$
 \text { val } = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
 $$
 转化到十进制下的计算公式为
 $$
 \text { val }=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
 $$
 其中各项的取值范围为
 $$
 \begin{aligned}
 \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline
 (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}]
 \end{aligned}
 $$
 ![IEEE 754 标准下的 float 表示方式](data_and_memory.assets/ieee_754_float.png)
 <p align="center"> Fig. IEEE 754 标准下的 float 表示方式 </p>
 以上图为例，$\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，易得
 $$
 \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875
 $$
 现在我们可以回答最初的问题：**float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int** 。根据以上计算，float 可表示的最大正数为 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ，切换符号位便可得到最小负数。
 **尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度**。整数类型 int 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。
 进一步地，指数位 $E = 0$ 和 $E = 255$ 具有特殊含义，**用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等**。
 <div class="center-table" markdown>
 | 指数位 E           | 分数位 $\mathrm{N} = 0$ | 分数位 $\mathrm{N} \ne 0$    | 计算公式                                                     |
 | ------------------ | ----------------------- | ---------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
 | $0$                | $\pm 0$                 | 次正规数    | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$    |
 | $1, 2, \dots, 254$ | 正规数                  | 正规数         | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$ |
 | $255$              | $\pm \infty$            | $\mathrm{NaN}$  |                                           |
 </div>
 特别地，次正规数显著提升了浮点数的精度，这是因为：
 - 最小正正规数为 $2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}$ ；
 - 最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23} \approx 1.4 \times 10^{-45}$ ；
 双精度 double 也采用类似 float 的表示方法，此处不再详述。
 ### 基本数据类型与数据结构的关系
 我们知道，**数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式**，它的核心是“结构”，而非“数据”。如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用「数组」数据结构。数组的存储方式可以表示数字的相邻关系、顺序关系，但至于具体存储的是整数 int 、小数 float 、还是字符 char ，则与“数据结构”无关。换句话说，基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”。
 === "Java"
    ```java title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int[] numbers = new int[5];
    float[] decimals = new float[5];
    char[] characters = new char[5];
    boolean[] booleans = new boolean[5];
    ```
 === "C++"
    ```cpp title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int numbers[5];
    float decimals[5];
    char characters[5];
    bool booleans[5];
    ```
 === "Python"
    ```python title=""
    # Python 的 list 可以自由存储各种基本数据类型和对象
    list = [0, 0.0, 'a', False]
    ```
 === "Go"
    ```go title=""
    // 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」
    var numbers = [5]int{}
    var decimals = [5]float64{}
    var characters = [5]byte{}
    var booleans = [5]bool{}
    ```
 === "JavaScript"
    ```javascript title=""
    /* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */
    const array = [0, 0.0, 'a', false];
    ```
 === "TypeScript"
    ```typescript title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    const numbers: number[] = [];
    const characters: string[] = [];
    const booleans: boolean[] = [];
    ```
 === "C"
    ```c title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int numbers[10];
    float decimals[10];
    char characters[10];
    bool booleans[10];
    ```
 === "C#"
    ```csharp title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    int[] numbers = new int[5];
    float[] decimals = new float[5];
    char[] characters = new char[5];
    bool[] booleans = new bool[5];
    ```
 === "Swift"
    ```swift title=""
    /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
    let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5)
    let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5)
    let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5)
    let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5)
    ```
 === "Zig"
    ```zig title=""
    ```
 ## 3.1.2. &nbsp; 计算机内存
 在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。
 **在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中**。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。
 **系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据**。计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。
 ![内存条、内存空间、内存地址](data_and_memory.assets/computer_memory_location.png)
 <p align="center"> Fig. 内存条、内存空间、内存地址 </p>
 **在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素**。内存是所有程序的共享资源，当内存被某个程序占用时，其他程序无法同时使用。我们需要根据剩余内存资源的实际情况来设计算法。例如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果运行的程序很多并且缺少大量连续的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。
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+++ b/chapter_data_structure/number_encoding.md
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 comments: true
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 # 3.3. &nbsp; 数字编码 *
 !!! note
    在本书中，标题带有的 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难，建议先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。
 ## 3.3.1. &nbsp; 原码、反码和补码
 从上一节的表格中我们发现，所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个。例如，`byte` 的取值范围是 $[-128, 127]$ 。这个现象比较反直觉，它的内在原因涉及到原码、反码、补码的相关知识。在展开分析之前，我们首先给出三者的定义：
 - **原码**：我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位，其中 $0$ 表示正数，$1$ 表示负数，其余位表示数字的值。
 - **反码**：正数的反码与其原码相同，负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
 - **补码**：正数的补码与其原码相同，负数的补码是在其反码的基础上加 $1$ 。
 ![原码、反码与补码之间的相互转换](number_encoding.assets/1s_2s_complement.png)
 <p align="center"> Fig. 原码、反码与补码之间的相互转换 </p>
 显然，「原码」最为直观，**然而数字却是以「补码」的形式存储在计算机中的**。这是因为原码存在一些局限性。
 一方面，**负数的原码不能直接用于运算**。例如，我们在原码下计算 $1 + (-2)$ ，得到的结果是 $-3$ ，这显然是不对的。
 $$
 \begin{aligned}
 & 1 + (-2) \newline
 & = 0000 \space 0001 + 1000 \space 0010 \newline
 & = 1000 \space 0011 \newline
 & = -3
 \end{aligned}
 $$
 为了解决此问题，计算机引入了「反码」。例如，我们先将原码转换为反码，并在反码下计算 $1 + (-2)$ ，并将结果从反码转化回原码，则可得到正确结果 $-1$ 。
 $$
 \begin{aligned}
 & 1 + (-2) \newline
 & = 0000 \space 0001 \space \text{(原码)} + 1000 \space 0010 \space \text{(原码)} \newline
 & = 0000 \space 0001 \space \text{(反码)} + 1111  \space 1101 \space \text{(反码)} \newline
 & = 1111 \space 1110 \space \text{(反码)} \newline
 & = 1000 \space 0001 \space \text{(原码)} \newline
 & = -1
 \end{aligned}
 $$
 另一方面，**数字零的原码有 $+0$ 和 $-0$ 两种表示方式**。这意味着数字零对应着两个不同的二进制编码，而这可能会带来歧义问题。例如，在条件判断中，如果没有区分正零和负零，可能会导致错误的判断结果。如果我们想要处理正零和负零歧义，则需要引入额外的判断操作，其可能会降低计算机的运算效率。
 $$
 +0 = 0000 \space 0000 \newline
 -0 = 1000 \space 0000
 $$
 与原码一样，反码也存在正负零歧义问题。为此，计算机进一步引入了「补码」。那么，补码有什么作用呢？我们先来分析一下负零的补码的计算过程：
 $$
 \begin{aligned}
 -0 = \space & 1000 \space 0000 \space \text{(原码)} \newline
 = \space & 1111 \space 1111 \space \text{(反码)} \newline
 = 1 \space & 0000 \space 0000 \space \text{(补码)} \newline
 \end{aligned}
 $$
 在负零的反码基础上加 $1$ 会产生进位，而由于 byte 的长度只有 8 位，因此溢出到第 9 位的 $1$ 会被舍弃。**从而得到负零的补码为 $0000 \space 0000$ ，与正零的补码相同**。这意味着在补码表示中只存在一个零，从而解决了正负零歧义问题。
 还剩余最后一个疑惑：byte 的取值范围是 $[-128, 127]$ ，多出来的一个负数 $-128$ 是如何得到的呢？我们注意到，区间 $[-127, +127]$ 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码，并且原码和补码之间是可以互相转换的。
 然而，**补码 $1000 \space 0000$ 是一个例外，它并没有对应的原码**。根据转换方法，我们得到该补码的原码为 $0000 \space 0000$ 。这显然是矛盾的，因为该原码表示数字 $0$ ，它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 $1000 \space 0000$ 代表 $-128$ 。实际上，$(-1) + (-127)$ 在补码下的计算结果就是 $-128$ 。
 $$
 \begin{aligned}
 & (-127) + (-1) \newline
 & = 1111 \space 1111 \space \text{(原码)} + 1000 \space 0001 \space \text{(原码)} \newline
 & = 1000 \space 0000 \space \text{(反码)} + 1111  \space 1110 \space \text{(反码)} \newline
 & = 1000 \space 0001 \space \text{(补码)} + 1111  \space 1111 \space \text{(补码)} \newline
 & = 1000 \space 0000 \space \text{(补码)} \newline
 & = -128
 \end{aligned}
 $$
 你可能已经发现，上述的所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实：**计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的**。这是因为加法运算相对于其他运算（比如乘法、除法和减法）来说，硬件实现起来更简单，更容易进行并行化处理，从而提高运算速度。
 然而，这并不意味着计算机只能做加法。**通过将加法与一些基本逻辑运算结合，计算机能够实现各种其他的数学运算**。例如，计算减法 $a - b$ 可以转换为计算加法 $a + (-b)$ ；计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。
 现在，我们可以总结出计算机使用补码的原因：基于补码表示，计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法，不需要设计特殊的硬件电路来处理减法，并且无需特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计，并提高了运算效率。
 补码的设计非常精妙，由于篇幅关系我们先介绍到这里。建议有兴趣的读者进一步深度了解。
 ## 3.3.2. &nbsp; 浮点数编码
 细心的你可能会发现：`int` 和 `float` 长度相同，都是 4 bytes，但为什么 `float` 的取值范围远大于 `int` ？这非常反直觉，因为按理说 `float` 需要表示小数，取值范围应该变小才对。
 实际上，这是因为浮点数 `float` 采用了不同的表示方式。根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 `float` 由以下部分构成：
 - 符号位 $\mathrm{S}$ ：占 1 bit ；
 - 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ；
 - 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 24 bits ，其中 23 位显式存储；
 设 32-bit 二进制数的第 $i$ 位为 $b_i$ ，则 `float` 值的计算方法定义为：
 $$
 \text { val } = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
 $$
 转化到十进制下的计算公式为
 $$
 \text { val }=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
 $$
 其中各项的取值范围为
 $$
 \begin{aligned}
 \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline
 (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}]
 \end{aligned}
 $$
 ![IEEE 754 标准下的 float 表示方式](number_encoding.assets/ieee_754_float.png)
 <p align="center"> Fig. IEEE 754 标准下的 float 表示方式 </p>
 以上图为例，$\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，易得
 $$
 \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875
 $$
 现在我们可以回答最初的问题：**`float` 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 `int`** `。根据以上计算，float` 可表示的最大正数为 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ，切换符号位便可得到最小负数。
 **尽管浮点数 `float` 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度**。整数类型 `int` 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 `float` 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。
 进一步地，指数位 $E = 0$ 和 $E = 255$ 具有特殊含义，**用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等**。
 <div class="center-table" markdown>
 | 指数位 E           | 分数位 $\mathrm{N} = 0$ | 分数位 $\mathrm{N} \ne 0$ | 计算公式                                                               |
 | ------------------ | ----------------------- | ------------------------- | ---------------------------------------------------------------------- |
 | $0$                | $\pm 0$                 | 次正规数                  | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$              |
 | $1, 2, \dots, 254$ | 正规数                  | 正规数                    | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$ |
 | $255$              | $\pm \infty$            | $\mathrm{NaN}$            |                                                                        |
 </div>
 特别地，次正规数显著提升了浮点数的精度，这是因为：
 - 最小正正规数为 $2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}$ ；
 - 最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23} \approx 1.4 \times 10^{-45}$ ；
 双精度 `double` 也采用类似 `float` 的表示方法，此处不再详述。
--- a/chapter_data_structure/summary.md
+++ b/chapter_data_structure/summary.md
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 comments: true
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-# 3.3. &nbsp; 小结
+# 3.5. &nbsp; 小结
 - 计算机中的基本数据类型包括整数 byte, short, int, long 、浮点数 float, double 、字符 char 和布尔 boolean ，它们的取值范围取决于占用空间大小和表示方式。
 - 当程序运行时，数据被存储在计算机内存中。每个内存空间都拥有对应的内存地址，程序通过这些内存地址访问数据。
 - 数据结构可以从逻辑结构和物理结构两个角度进行分类。逻辑结构描述了数据元素之间的逻辑关系，而物理结构描述了数据在计算机内存中的存储方式。
 - 常见的逻辑结构包括线性、树状和网状等。通常我们根据逻辑结构将数据结构分为线性（数组、链表、栈、队列）和非线性（树、图、堆）两种。哈希表的实现可能同时包含线性和非线性结构。
 - 当程序运行时，数据被存储在计算机内存中。每个内存空间都拥有对应的内存地址，程序通过这些内存地址访问数据。
 - 物理结构主要分为连续空间存储（数组）和离散空间存储（链表）。所有数据结构都是由数组、链表或两者的组合实现的。
 - 计算机中的基本数据类型包括整数 byte, short, int, long 、浮点数 float, double 、字符 char 和布尔 boolean 。它们的取值范围取决于占用空间大小和表示方式。
 - 整数的原码的最高位是符号位，其余位是数字的值。数字的原码、反码和补码是可以相互转换的。
 - 整数在计算机中是以补码的形式存储的。在补码表示下，计算机可以对正数和负数的加法一视同仁，不需要为减法操作单独设计特殊的硬件电路，并且不存在正负零歧义的问题。
 - 浮点数的编码由 1 位符号位、8 位指数位和 23 位分数为构成。由于存在指数位，浮点数的取值范围远大于整数。
 - ASCII 码是最早出现的英文字符集，长度为 1 字节，共收录 127 个字符。GBK 字符集是常用的中文字符集，共收录两万多个汉字。
 - Unicode 致力于提供一个统一的字符集标准，其包含世界范围内的各种字符，从而解决由于字符编码不同导致的乱码问题。
 - UTF-8 是最受欢迎的 Unicode 编码方法，通用性非常好。它是一种变长的编码方法，具有很好的扩展性，有效提升了存储空间的使用效率。
 - UTF-16 和 UTF-32 是等长的编码方法。在编码中文时，UTF-16 比 UTF-8 的占用空间更小。Java, C# 等编程语言默认使用 UTF-16 编码。
--- a/chapter_preface/summary.md
+++ b/chapter_preface/summary.md
@ -4,9 +4,9 @@ comments: true
 # 0.3. &nbsp; 小结
- 本书的主要受众是算法初学者。对于已具备一定积累的同学，本书能帮助系统回顾算法知识，同时源代码可作为“刷题工具库”使用。
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- 书中内容主要包括复杂度分析、数据结构、算法三部分，涵盖了该领域的绝大部分主题。
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- 对于算法新手，在初学阶段阅读一本入门书籍至关重要，有助于避免走弯路。
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- 书内的动画和图解通常用于介绍重点和难点知识，阅读时应给予更多关注。
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- 实践乃学习编程之最佳途径，强烈建议运行源代码并亲自敲打代码。
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+- 本书网页版的每个章节都设有讨论区，欢迎随时分享你的疑惑与见解。