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chapter_computational_complexity/summary.md

@@ -6,23 +6,22 @@ comments: true
 
 ### 算法效率评估
 
-- 「时间效率」和「空间效率」是算法性能的两个重要的评价维度。
-- 我们可以通过「实际测试」来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。
-- 「复杂度分析」克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。
+- 时间效率和空间效率是算法性能的两个重要的评价维度。
+- 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。
+- 复杂度分析克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。
 
 ### 时间复杂度
 
-- 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。
-- 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。
+- 时间复杂度统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。
+- 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。
 - 推算时间复杂度分为两步，首先统计计算操作数量，再判断渐近上界。
 - 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。
-- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。
-- 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。
+- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差时间复杂度和最佳时间复杂度，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。
+- 平均时间复杂度可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。
 
 ### 空间复杂度
 
-- 与时间复杂度的定义类似，「空间复杂度」统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。
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+- 与时间复杂度的定义类似，空间复杂度统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。
 - 算法运行中相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间一般在递归函数中才会影响到空间复杂度。
-- 我们一般只关心「最差空间复杂度」，即统计算法在「最差输入数据」和「最差运行时间点」下的空间复杂度。
+- 我们一般只关心最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。
 - 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ 。

chapter_graph/graph.md

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 ## 9.1.2.   图常用术语
 
 - 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。例如，上图中顶点 1 的邻接顶点为顶点 2, 3, 5 。
-- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中 1, 5, 2, 4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。
+- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。
 - 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
 
 ## 9.1.3.   图的表示

chapter_sorting/counting_sort.md

@@ -55,13 +55,51 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="counting_sort.cpp"
-    [class]{}-[func]{countingSortNaive}
+    /* 计数排序 */
+    // 简单实现，无法用于排序对象
+    void countingSortNaive(vector<int>& nums) {
+        // 1. 统计数组最大元素 m
+        int m = 0;
+        for (int num : nums) {
+            m = max(m, num);
+        }
+        // 2. 统计各数字的出现次数
+        // counter[num] 代表 num 的出现次数
+        vector<int> counter(m + 1, 0);
+        for (int num : nums) {
+            counter[num]++;
+        }
+        // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
+        int i = 0;
+        for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
+            for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
+                nums[i] = num;
+            }
+        }
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="counting_sort.py"
-    [class]{}-[func]{counting_sort_naive}
+    def counting_sort_naive(nums: List[int]) -> None:
+        """ 计数排序 """
+        # 简单实现，无法用于排序对象
+        # 1. 统计数组最大元素 m
+        m = 0
+        for num in nums:
+            m = max(m, num)
+        # 2. 统计各数字的出现次数
+        # counter[num] 代表 num 的出现次数
+        counter = [0] * (m + 1)
+        for num in nums:
+            counter[num] += 1
+        # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
+        i = 0
+        for num in range(m + 1):
+            for _ in range(counter[num]):
+                nums[i] = num
+                i += 1
     ```
 
 === "Go"
@@ -213,13 +251,67 @@ $$
 === "C++"
 
     ```cpp title="counting_sort.cpp"
-    [class]{}-[func]{countingSort}
+    /* 计数排序 */
+    // 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
+    void countingSort(vector<int>& nums) {
+        // 1. 统计数组最大元素 m
+        int m = 0;
+        for (int num : nums) {
+            m = max(m, num);
+        }
+        // 2. 统计各数字的出现次数
+        // counter[num] 代表 num 的出现次数
+        vector<int> counter(m + 1, 0);
+        for (int num : nums) {
+            counter[num]++;
+        }
+        // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
+        // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
+        for (int i = 0; i < m; i++) {
+            counter[i + 1] += counter[i];
+        }
+        // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
+        // 初始化数组 res 用于记录结果
+        int n = nums.size();
+        vector<int> res(n);
+        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
+            int num = nums[i];
+            res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
+            counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
+        }
+        // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
+        nums = res;
+    }
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="counting_sort.py"
-    [class]{}-[func]{counting_sort}
+    def counting_sort(nums: List[int]) -> None:
+        """ 计数排序 """
+        # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
+        # 1. 统计数组最大元素 m
+        m = max(nums)
+        # 2. 统计各数字的出现次数
+        # counter[num] 代表 num 的出现次数
+        counter = [0] * (m + 1)
+        for num in nums:
+            counter[num] += 1
+        # 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
+        # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
+        for i in range(m):
+            counter[i + 1] += counter[i]
+        # 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
+        # 初始化数组 res 用于记录结果
+        n = len(nums)
+        res = [0] * n
+        for i in range(n - 1, -1, -1):
+            num = nums[i]
+            res[counter[num] - 1] = num  # 将 num 放置到对应索引处
+            counter[num] -= 1  # 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
+        # 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
+        for i in range(n):
+            nums[i] = res[i]
     ```
 
 === "Go"