From 89b4c200a5aabce0c24db8ffa49834ef075d3895 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Tue, 21 Mar 2023 22:16:18 +0800 Subject: [PATCH] build --- chapter_computational_complexity/summary.md | 19 ++-- chapter_graph/graph.md | 2 +- chapter_sorting/counting_sort.md | 100 +++++++++++++++++++- 3 files changed, 106 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/chapter_computational_complexity/summary.md b/chapter_computational_complexity/summary.md index 6f14b0182..bd380cfce 100644 --- a/chapter_computational_complexity/summary.md +++ b/chapter_computational_complexity/summary.md @@ -6,23 +6,22 @@ comments: true ### 算法效率评估 -- 「时间效率」和「空间效率」是算法性能的两个重要的评价维度。 -- 我们可以通过「实际测试」来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。 -- 「复杂度分析」克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。 +- 时间效率和空间效率是算法性能的两个重要的评价维度。 +- 我们可以通过实际测试来评估算法效率，但难以排除测试环境的干扰，并且非常耗费计算资源。 +- 复杂度分析克服了实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且可以体现不同数据大小下的算法效率。 ### 时间复杂度 -- 「时间复杂度」统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。 -- 「最差时间复杂度」使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。 +- 时间复杂度统计算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，比如在输入数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣性。 +- 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，即函数渐近上界，其反映当 $n$ 趋于正无穷时，$T(n)$ 处于何种增长级别。 - 推算时间复杂度分为两步，首先统计计算操作数量，再判断渐近上界。 - 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n \log n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ , $O(n!)$ 。 -- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为「最差时间复杂度」和「最佳时间复杂度」，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。 -- 「平均时间复杂度」可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。 +- 某些算法的时间复杂度不是恒定的，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差时间复杂度和最佳时间复杂度，后者几乎不用，因为输入数据需要满足苛刻的条件才能达到最佳情况。 +- 平均时间复杂度可以反映在随机数据输入下的算法效率，最贴合实际使用情况下的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据的分布，以及综合后的数学期望。 ### 空间复杂度 -- 与时间复杂度的定义类似，「空间复杂度」统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。 - +- 与时间复杂度的定义类似，空间复杂度统计算法占用空间随着数据量变大时的增长趋势。 - 算法运行中相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间一般在递归函数中才会影响到空间复杂度。 -- 我们一般只关心「最差空间复杂度」，即统计算法在「最差输入数据」和「最差运行时间点」下的空间复杂度。 +- 我们一般只关心最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。 - 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$ , $O(\log n)$ , $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(2^n)$ 。 diff --git a/chapter_graph/graph.md b/chapter_graph/graph.md index 3b9562e52..053f63fd3 100644 --- a/chapter_graph/graph.md +++ b/chapter_graph/graph.md @@ -49,7 +49,7 @@ $$ ## 9.1.2.   图常用术语 - 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。例如，上图中顶点 1 的邻接顶点为顶点 2, 3, 5 。 -- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中 1, 5, 2, 4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。 +- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。例如，上图中边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一个路径。 - 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。 ## 9.1.3.   图的表示 diff --git a/chapter_sorting/counting_sort.md b/chapter_sorting/counting_sort.md index 9a32da259..671ce9d7c 100644 --- a/chapter_sorting/counting_sort.md +++ b/chapter_sorting/counting_sort.md @@ -55,13 +55,51 @@ comments: true === "C++" ```cpp title="counting_sort.cpp" - [class]{}-[func]{countingSortNaive} + /* 计数排序 */ + // 简单实现，无法用于排序对象 + void countingSortNaive(vector& nums) { + // 1. 统计数组最大元素 m + int m = 0; + for (int num : nums) { + m = max(m, num); + } + // 2. 统计各数字的出现次数 + // counter[num] 代表 num 的出现次数 + vector counter(m + 1, 0); + for (int num : nums) { + counter[num]++; + } + // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums + int i = 0; + for (int num = 0; num < m + 1; num++) { + for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) { + nums[i] = num; + } + } + } ``` === "Python" ```python title="counting_sort.py" - [class]{}-[func]{counting_sort_naive} + def counting_sort_naive(nums: List[int]) -> None: + """ 计数排序 """ + # 简单实现，无法用于排序对象 + # 1. 统计数组最大元素 m + m = 0 + for num in nums: + m = max(m, num) + # 2. 统计各数字的出现次数 + # counter[num] 代表 num 的出现次数 + counter = [0] * (m + 1) + for num in nums: + counter[num] += 1 + # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums + i = 0 + for num in range(m + 1): + for _ in range(counter[num]): + nums[i] = num + i += 1 ``` === "Go" @@ -213,13 +251,67 @@ $$ === "C++" ```cpp title="counting_sort.cpp" - [class]{}-[func]{countingSort} + /* 计数排序 */ + // 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序 + void countingSort(vector& nums) { + // 1. 统计数组最大元素 m + int m = 0; + for (int num : nums) { + m = max(m, num); + } + // 2. 统计各数字的出现次数 + // counter[num] 代表 num 的出现次数 + vector counter(m + 1, 0); + for (int num : nums) { + counter[num]++; + } + // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引” + // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引 + for (int i = 0; i < m; i++) { + counter[i + 1] += counter[i]; + } + // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res + // 初始化数组 res 用于记录结果 + int n = nums.size(); + vector res(n); + for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { + int num = nums[i]; + res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处 + counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引 + } + // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums + nums = res; + } ``` === "Python" ```python title="counting_sort.py" - [class]{}-[func]{counting_sort} + def counting_sort(nums: List[int]) -> None: + """ 计数排序 """ + # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序 + # 1. 统计数组最大元素 m + m = max(nums) + # 2. 统计各数字的出现次数 + # counter[num] 代表 num 的出现次数 + counter = [0] * (m + 1) + for num in nums: + counter[num] += 1 + # 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引” + # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引 + for i in range(m): + counter[i + 1] += counter[i] + # 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res + # 初始化数组 res 用于记录结果 + n = len(nums) + res = [0] * n + for i in range(n - 1, -1, -1): + num = nums[i] + res[counter[num] - 1] = num # 将 num 放置到对应索引处 + counter[num] -= 1 # 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引 + # 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums + for i in range(n): + nums[i] = res[i] ``` === "Go"