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krahets 2023-07-12 03:52:33 +08:00
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由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来,**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**,这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请通过以下动画来理解为什么要改为正序遍历。 由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来,**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**,这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请通过以下动画来理解为什么要改为正序遍历。
=== "<1>" === "<1>"
![unbounded_knapsack_dp_comp_step1](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_dp_comp_step1.png) ![完全背包的状态压缩后的动态规划过程](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_dp_comp_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![unbounded_knapsack_dp_comp_step2](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_dp_comp_step2.png) ![unbounded_knapsack_dp_comp_step2](unbounded_knapsack_problem.assets/unbounded_knapsack_dp_comp_step2.png)
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下图展示了零钱兑换的动态规划过程。 下图展示了零钱兑换的动态规划过程。
=== "<1>" === "<1>"
![coin_change_dp_step1](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_dp_step1.png) ![零钱兑换问题的动态规划过程](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_dp_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![coin_change_dp_step2](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_dp_step2.png) ![coin_change_dp_step2](unbounded_knapsack_problem.assets/coin_change_dp_step2.png)

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在正式探讨算法之前,有一个有趣的事实值得分享:**你已经在不知不觉中学会了许多算法,并习惯将它们应用到日常生活中了**。下面,我将举几个具体例子来证实这一点。 在正式探讨算法之前,有一个有趣的事实值得分享:**你已经在不知不觉中学会了许多算法,并习惯将它们应用到日常生活中了**。下面,我将举几个具体例子来证实这一点。
**例一:拼装积木**。一套积木,除了包含许多零件之外,还附有详细的组装说明书。我们按照说明书一步步操作,就能组装出精美的积木模型。 **例一:查阅字典**。在字典里,每个汉字都对应一个拼音,而字典是按照拼音的英文字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 $r$ 的字,通常会这样操作:
从数据结构与算法的角度来看,积木的各种形状和连接方式代表数据结构,而组装说明书上的一系列步骤则是算法。 1. 翻开字典约一半的页数,查看该页首字母是什么,假设首字母为 $m$ 。
2. 由于在英文字母表中 $r$ 位于 $m$ 之后,所以排除字典前半部分,查找范围缩小到后半部分。
![拼装积木](algorithms_are_everywhere.assets/assembling_blocks.jpg)
**例二:查阅字典**。在字典里,每个汉字都对应一个拼音,而字典是按照拼音的英文字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 $r$ 的字,通常会这样操作:
1. 翻开字典约一半的页数,查看该页首字母是什么(假设为 $m$
2. 由于在英文字母表中 $r$ 位于 $m$ 之后,所以排除字典前半部分,查找范围缩小到后半部分;
3. 不断重复步骤 1-2 ,直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。 3. 不断重复步骤 1-2 ,直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。
=== "<1>" === "<1>"
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查阅字典这个小学生必备技能,实际上就是著名的「二分查找」。从数据结构的角度,我们可以把字典视为一个已排序的「数组」;从算法的角度,我们可以将上述查字典的一系列操作看作是「二分查找」算法。 查阅字典这个小学生必备技能,实际上就是著名的「二分查找」。从数据结构的角度,我们可以把字典视为一个已排序的「数组」;从算法的角度,我们可以将上述查字典的一系列操作看作是「二分查找」算法。
**例二:整理扑克**。我们在打斗地主时,每局都需要整理扑克牌,使其从小到大排列,实现流程如下:
1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分,并假设初始状态下最左 1 张扑克牌已经有序。
2. 在无序区间抽出一张扑克牌,插入至有序区间的正确位置;完成后最左 2 张扑克已经有序。
3. 在无序区间抽出一张扑克牌,插入至有序区间的正确位置;完成后最左 3 张扑克已经有序。
4. 不断循环以上操作,直至所有扑克牌都有序后终止。
以上整理扑克牌的方法本质上就是「插入排序」,它在处理小型数据集时非常高效,因此插入排序常作为编程语言的排序库函数的重要组成部分。
![扑克排序步骤](algorithms_are_everywhere.assets/playing_cards_sorting.png)
**例三:货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品,给收银员付了 $100$ 元,则收银员需要给我们找 $31$ 元。他会很自然地完成以下思考: **例三:货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品,给收银员付了 $100$ 元,则收银员需要给我们找 $31$ 元。他会很自然地完成以下思考:
1. 可选项是比 $31$ 元面值更小的货币,包括 $1$ , $5$ , $10$ , $20$ 元。 1. 可选项是比 $31$ 元面值更小的货币,包括 $1$ , $5$ , $10$ , $20$ 元。
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在以上步骤中,我们每一步都采取当前看来最好的选择(尽可能用大面额的货币),最终得到了可行的找零方案。从数据结构与算法的角度看,这种方法本质上是「贪心算法」。 在以上步骤中,我们每一步都采取当前看来最好的选择(尽可能用大面额的货币),最终得到了可行的找零方案。从数据结构与算法的角度看,这种方法本质上是「贪心算法」。
![货币找零](algorithms_are_everywhere.assets/greedy_change.png) ![货币找零过程](algorithms_are_everywhere.assets/greedy_change.png)
小到烹饪一道菜,大到星际航行,几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使我们能够通过编程将数据结构存储在内存中,同时编写代码调用 CPU 和 GPU 执行算法。这样一来,我们就能把生活中的问题转移到计算机上,以更高效的方式解决各种复杂问题。 小到烹饪一道菜,大到星际航行,几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使我们能够通过编程将数据结构存储在内存中,同时编写代码调用 CPU 和 GPU 执行算法。这样一来,我们就能把生活中的问题转移到计算机上,以更高效的方式解决各种复杂问题。

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- 算法在日常生活中无处不在,并不是遥不可及的高深知识。实际上,我们已经在不知不觉中学会了许多算法,用以解决生活中的大小问题。 - 算法在日常生活中无处不在,并不是遥不可及的高深知识。实际上,我们已经在不知不觉中学会了许多算法,用以解决生活中的大小问题。
- 查阅字典的原理与二分查找算法相一致。二分查找体现了分而治之的重要算法思想。 - 查阅字典的原理与二分查找算法相一致。二分查找体现了分而治之的重要算法思想。
- 整理扑克的过程与插入排序算法非常类似。插入排序适合排序小型数据集。
- 货币找零的步骤本质上是贪心算法,每一步都采取当前看来的最好选择。
- 算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤,而数据结构是计算机中组织和存储数据的方式。 - 算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤,而数据结构是计算机中组织和存储数据的方式。
- 数据结构与算法紧密相连。数据结构是算法的基石,而算法则是发挥数据结构作用的舞台。 - 数据结构与算法紧密相连。数据结构是算法的基石,而算法则是发挥数据结构作用的舞台。
- 乐高积木对应于数据,积木形状和连接方式代表数据结构,拼装积木的步骤则对应算法。 - 乐高积木对应于数据,积木形状和连接方式代表数据结构,拼装积木的步骤则对应算法。

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![数据结构与算法的关系](what_is_dsa.assets/relationship_between_data_structure_and_algorithm.png) ![数据结构与算法的关系](what_is_dsa.assets/relationship_between_data_structure_and_algorithm.png)
类比「LEGO 乐高」和「数据结构与算法」,则对应关系如下表所示。 我们可以把数据结构与算法类比为拼装积木。一套积木,除了包含许多零件之外,还附有详细的组装说明书。我们按照说明书一步步操作,就能组装出精美的积木模型。
![拼装积木](what_is_dsa.assets/assembling_blocks.jpg)
两者的详细对应关系如下表所示。
<div class="center-table" markdown> <div class="center-table" markdown>
| 数据结构与算法 | LEGO 乐高 | | 数据结构与算法 | LEGO 乐高 |
| -------------- | ------------------------------- | | -------------- | ---------------------------------------- |
| 输入数据 | 未拼装的积木 | | 输入数据 | 未拼装的积木 |
| 数据结构 | 积木组织形式,包括形状、大小、连接方式等 | | 数据结构 | 积木组织形式,包括形状、大小、连接方式等 |
| 算法 | 把积木拼成目标形态的一系列操作步骤 | | 算法 | 把积木拼成目标形态的一系列操作步骤 |
| 输出数据 | 积木模型 | | 输出数据 | 积木模型 |
</div> </div>