Add the section of binary search insertion. (#671)

Refactor the section of binary search edge.
Finetune the figures of binary search.
This commit is contained in:
Yudong Jin 2023-08-04 05:16:56 +08:00 committed by GitHub
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commit 71074d88f6
No known key found for this signature in database
GPG key ID: 4AEE18F83AFDEB23
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@ -1,59 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.c
* Created Time: 2023-05-31
* Author: Gonglja (glj0@outlook.com)
*/
#include "../utils/common.h"
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int *nums, int size, int target) {
int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == size || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int *nums, int size, int target) {
int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return j;
}
/* Driver Code */
int main() {
int target = 6;
int nums[] = {1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15};
int size = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, size, target);
printf("数组中最左一个元素 6 的索引 = %d\n", indexLeft);
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, size, target);
printf("数组中最右一个元素 6 的索引 = %d\n", indexRight);
return 0;
}

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@ -1,3 +1,4 @@
add_executable(binary_search binary_search.cpp)
add_executable(binary_search_insertion binary_search_insertion.cpp)
add_executable(binary_search_edge binary_search_edge.cpp)
add_executable(two_sum two_sum.cpp)

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@ -1,57 +1,66 @@
/**
* File: binary_search_edge.cpp
* Created Time: 2023-05-21
* Created Time: 2023-08-04
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
#include "../utils/common.hpp"
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
int binarySearchInsertion(const vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.size() || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
// 返回插入点 i
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
// 等价于查找 target 的插入点
int i = binarySearchInsertion(nums, target);
// 未找到 target ,返回 -1
if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
return -1;
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
// 找到 target ,返回索引 i
return i;
}
/* 二分查找最右一个 target */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
// 转化为查找最左一个 target + 1
int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j 指向最右一个 target i 指向首个大于 target 的元素
int j = i - 1;
// 未找到 target ,返回 -1
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
// 找到 target ,返回索引 j
return j;
}
/* Driver Code */
int main() {
int target = 6;
// 包含重复元素的数组
vector<int> nums = {1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15};
cout << "\n数组 nums = ";
printVector(nums);
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
cout << "数组中最左一个元素 6 的索引 = " << indexLeft << endl;
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
cout << "数组中最右一个元素 6 的索引 = " << indexRight << endl;
// 二分查找左边界和右边界
for (int target : {6, 7}) {
int index = binarySearchLeftEdge(nums, target);
cout << "最左一个元素 " << target << " 的索引为 " << index << endl;
index = binarySearchRightEdge(nums, target);
cout << "最右一个元素 " << target << " 的索引为 " << index << endl;
}
return 0;
}

View file

@ -0,0 +1,66 @@
/**
* File: binary_search_edge.cpp
* Created Time: 2023-08-04
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
#include "../utils/common.hpp"
/* 二分查找插入点(无重复元素) */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ,返回插入点 m
}
}
// 未找到 target ,返回插入点 i
return i;
}
/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入点 i
return i;
}
/* Driver Code */
int main() {
// 无重复元素的数组
vector<int> nums = {1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35};
cout << "\n数组 nums = ";
printVector(nums);
// 二分查找插入点
for (int target : {6, 9}) {
int index = binarySearchInsertionSimple(nums, target);
cout << "元素 " << target << " 的插入点的索引为 " << index << endl;
}
// 包含重复元素的数组
nums = {1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15};
cout << "\n数组 nums = ";
printVector(nums);
// 二分查找插入点
for (int target : {2, 6, 20}) {
int index = binarySearchInsertion(nums, target);
cout << "元素 " << target << " 的插入点的索引为 " << index << endl;
}
return 0;
}

View file

@ -1,57 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.cs
* Created Time: 2023-06-01
* Author: hpstory (hpstory1024@163.com)
*/
namespace hello_algo.chapter_searching;
public class binary_search_edge {
/* 二分查找最左一个元素 */
public static int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.Length || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
public static int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
return j;
}
[Test]
public void Test() {
int target = 6;
int[] nums = { 1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15 };
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
Console.WriteLine("数组中最左一个元素 6 的索引 = " + indexLeft);
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
Console.WriteLine("数组中最右一个元素 6 的索引 = " + indexRight);
}
}

View file

@ -1,50 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.dart
* Created Time: 2023-06-01
* Author: liuyuxin (gvenusleo@gmail.com)
*/
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target [i, m-1]
else
j = m - 1; // target [i, m-1]
}
if (i == nums.length || nums[i] != target) return -1; // -1
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target [i, m-1]
else
i = m + 1; // target [m+1, j]
}
if (j < 0 || nums[j] != target) return -1; // -1
return j;
}
/* Driver Code */
void main() {
int target = 6;
List<int> nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15];
//
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
print("数组中最左一个元素 6 的索引 = $indexLeft");
//
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
print("数组中最右一个元素 6 的索引 = $indexRight");
}

View file

@ -1,55 +0,0 @@
// File: binary_search_edge.go
// Created Time: 2023-05-29
// Author: Reanon (793584285@qq.com)
package chapter_searching
/* 二分查找最左一个元素 */
func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 计算中点索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
}
}
if i == len(nums) || nums[i] != target {
// 未找到目标元素,返回 -1
return -1
}
return i
}
/* 二分查找最右一个元素 */
func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 计算中点索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
}
}
if j < 0 || nums[j] != target {
// 未找到目标元素,返回 -1
return -1
}
return j
}

View file

@ -22,15 +22,3 @@ func TestBinarySearch(t *testing.T) {
t.Errorf("目标元素 6 的索引 = %d, 应该为 %d", actual, expected)
}
}
func TestBinarySearchEdge(t *testing.T) {
target := 6
nums := []int{1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15}
// 二分查找最左一个元素
indexLeft := binarySearchLeftEdge(nums, target)
fmt.Println("数组中最左一个元素 6 的索引 = ", indexLeft)
// 二分查找最右一个元素
indexRight := binarySearchRightEdge(nums, target)
fmt.Println("数组中最右一个元素 6 的索引 = ", indexRight)
}

View file

@ -1,56 +1,49 @@
/**
* File: binary_search_edge.java
* Created Time: 2023-05-21
* Created Time: 2023-08-04
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_searching;
public class binary_search_edge {
/* 二分查找最左一个元素 */
/* 二分查找最左一个 target */
static int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1]
// 等价于查找 target 的插入点
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
// 未找到 target 返回 -1
if (i == nums.length || nums[i] != target) {
return -1;
}
if (i == nums.length || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素返回 -1
// 找到 target 返回索引 i
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
/* 二分查找最右一个 target */
static int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j]
// 转化为查找最左一个 target + 1
int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
// j 指向最右一个 target i 指向首个大于 target 的元素
int j = i - 1;
// 未找到 target 返回 -1
if (j == -1 || nums[j] != target) {
return -1;
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素返回 -1
// 找到 target 返回索引 j
return j;
}
public static void main(String[] args) {
int target = 6;
// 包含重复元素的数组
int[] nums = { 1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15 };
System.out.println("\n数组 nums = " + java.util.Arrays.toString(nums));
// 二分查找最左一个元素
int indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums, target);
System.out.println("数组中最左一个元素 6 的索引 = " + indexLeft);
// 二分查找最右一个元素
int indexRight = binarySearchRightEdge(nums, target);
System.out.println("数组中最右一个元素 6 的索引 = " + indexRight);
// 二分查找左边界和右边界
for (int target : new int[] { 6, 7 }) {
int index = binarySearchLeftEdge(nums, target);
System.out.println("最左一个元素 " + target + " 的索引为 " + index);
index = binarySearchRightEdge(nums, target);
System.out.println("最右一个元素 " + target + " 的索引为 " + index);
}
}
}

View file

@ -0,0 +1,63 @@
/**
* File: binary_search_edge.java
* Created Time: 2023-08-04
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_searching;
class binary_search_insertion {
/* 二分查找插入点(无重复元素) */
static int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
} else {
return m; // 找到 target 返回插入点 m
}
}
// 未找到 target 返回插入点 i
return i;
}
/* 二分查找插入点(存在重复元素) */
static int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j]
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1]
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1]
}
}
// 返回插入点 i
return i;
}
public static void main(String[] args) {
// 无重复元素的数组
int[] nums = { 1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35 };
System.out.println("\n数组 nums = " + java.util.Arrays.toString(nums));
// 二分查找插入点
for (int target : new int[] { 6, 9 }) {
int index = binarySearchInsertionSimple(nums, target);
System.out.println("元素 " + target + " 的插入点的索引为 " + index);
}
// 包含重复元素的数组
nums = new int[] { 1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15 };
System.out.println("\n数组 nums = " + java.util.Arrays.toString(nums));
// 二分查找插入点
for (int target : new int[] { 2, 6, 20 }) {
int index = binarySearchInsertion(nums, target);
System.out.println("元素 " + target + " 的插入点的索引为 " + index);
}
}
}

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@ -1,57 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.js
* Created Time: 2023-06-04
* Author: Justin (xiefahit@gmail.com)
*/
/* 二分查找最左一个元素 */
function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
if (i === nums.length || nums[i] != target) {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
function binarySearchRightEdge(nums, target) {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
}
if (j < 0 || nums[j] != target) {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
return j;
}
/* Driver Code */
let target = 6;
const nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15];
// 二分查找最左一个元素
let index_left = binarySearchLeftEdge(nums, target);
console.log('数组中最左一个元素 6 的索引 = ', index_left);
// 二分查找最右一个元素
let index_right = binarySearchRightEdge(nums, target);
console.log('数组中最右一个元素 6 的索引 = ', index_right);

View file

@ -1,51 +1,48 @@
"""
File: binary_search_edge.py
Created Time: 2023-05-18
Created Time: 2023-08-04
Author: Krahets (krahets@163.com)
"""
import sys, os.path as osp
sys.path.append(osp.dirname(osp.dirname(osp.abspath(__file__))))
from binary_search_insertion import binary_search_insertion
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最左一个元素"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
"""二分查找最左一个 target"""
# 等价于查找 target 的插入点
i = binary_search_insertion(nums, target)
# 未找到 target ,返回 -1
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1 # 未找到目标元素,返回 -1
return -1
# 找到 target ,返回索引 i
return i
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最右一个元素"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
i = m + 1 # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
if j < 0 or nums[j] != target:
return -1 # 未找到目标元素,返回 -1
"""二分查找最右一个 target"""
# 转化为查找最左一个 target + 1
i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
# j 指向最右一个 target i 指向首个大于 target 的元素
j = i - 1
# 未找到 target ,返回 -1
if j == -1 or nums[j] != target:
return -1
# 找到 target ,返回索引 j
return j
"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
target = 6
# 包含重复元素的数组
nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15]
print(f"\n数组 nums = {nums}")
# 二分查找最左一个元素
index_left = binary_search_left_edge(nums, target)
print("数组中最左一个元素 6 的索引 = ", index_left)
# 二分查找最右一个元素
index_right = binary_search_right_edge(nums, target)
print("数组中最右一个元素 6 的索引 = ", index_right)
# 二分查找左边界和右边界
for target in [6, 7]:
index = binary_search_left_edge(nums, target)
print(f"最左一个元素 {target} 的索引为 {index}")
index = binary_search_right_edge(nums, target)
print(f"最右一个元素 {target} 的索引为 {index}")

View file

@ -0,0 +1,54 @@
"""
File: binary_search_insertion.py
Created Time: 2023-08-04
Author: Krahets (krahets@163.com)
"""
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找插入点(无重复元素)"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
return m # 找到 target ,返回插入点 m
# 未找到 target ,返回插入点 i
return i
def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找插入点(存在重复元素)"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
# 返回插入点 i
return i
"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":
# 无重复元素的数组
nums = [1, 3, 6, 8, 12, 15, 23, 26, 31, 35]
print(f"\n数组 nums = {nums}")
# 二分查找插入点
for target in [6, 9]:
index = binary_search_insertion_simple(nums, target)
print(f"元素 {target} 的插入点的索引为 {index}")
# 包含重复元素的数组
nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15]
print(f"\n数组 nums = {nums}")
# 二分查找插入点
for target in [2, 6, 20]:
index = binary_search_insertion(nums, target)
print(f"元素 {target} 的插入点的索引为 {index}")

View file

@ -1,59 +0,0 @@
/*
* File: binary_search_edge.rs
* Created Time: 2023-05-31
* Author: WSL0809 (wslzzy@outlook.com)
*/
/* 二分查找最左一个元素 */
fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
i
}
/* 二分查找最右一个元素 */
fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
}
if j < 0 || nums[j as usize] != target {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
j
}
/* Driver Code */
pub fn main() {
let target = 6;
let nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15];
// 二分查找最左一个元素
let index_left = binary_search_left_edge(&nums, target);
println!("数组中最左一个元素 6 的索引 = {}", index_left);
// 二分查找最右一个元素
let index_right = binary_search_right_edge(&nums, target);
println!("数组中最右一个元素 6 的索引 = {}", index_right);
}

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@ -1,64 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.swift
* Created Time: 2023-05-28
* Author: nuomi1 (nuomi1@qq.com)
*/
/* */
func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// [0, n-1]
var i = 0
var j = nums.count - 1
while i <= j {
let m = i + (j - 1) / 2 // m
if nums[m] < target {
i = m + 1 // target [m+1, j]
} else if nums[m] > target {
j = m - 1 // target [i, m-1]
} else {
j = m - 1 // target [i, m-1]
}
}
if i == nums.count || nums[i] != target {
return -1 // -1
}
return i
}
/* */
func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// [0, n-1]
var i = 0
var j = nums.count - 1
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2 // m
if nums[m] < target {
i = m + 1 // target [m+1, j]
} else if nums[m] > target {
j = m - 1 // target [i, m-1]
} else {
i = m + 1 // target [m+1, j]
}
}
if j < 0 || nums[j] != target {
return -1 // -1
}
return j
}
@main
enum BinarySearchEdge {
/* Driver Code */
static func main() {
let target = 6
let nums = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15]
//
let indexLeft = binarySearchLeftEdge(nums: nums, target: target)
print("数组中最左一个元素 6 的索引 = \(indexLeft)")
//
let indexRight = binarySearchRightEdge(nums: nums, target: target)
print("数组中最右一个元素 6 的索引 = \(indexRight)")
}
}

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@ -1,55 +0,0 @@
/**
* File: binary_search_edge.ts
* Created Time: 2023-06-04
* Author: Justin (xiefahit@gmail.com)
*/
/* 二分查找最左一个元素 */
function binarySearchLeftEdge(nums: number[], target: number): number {
let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
if (i === nums.length || nums[i] != target) {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
return i;
}
/* 二分查找最右一个元素 */
function binarySearchRightEdge(nums: number[], target: number): number {
let i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
}
if (j < 0 || nums[j] != target) {
return -1; // 未找到目标元素,返回 -1
}
return j;
}
/* Driver Code */
let target: number = 6;
const nums: number[] = [1, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 12, 15];
// 二分查找最左一个元素
let index_left: number = binarySearchLeftEdge(nums, target);
console.log("数组中最左一个元素 6 的索引 = ", index_left);
// 二分查找最右一个元素
let index_right: number = binarySearchRightEdge(nums, target);
console.log("数组中最右一个元素 6 的索引 = ", index_right);

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@ -6,7 +6,9 @@
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ,元素按从小到大的顺序排列,数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 $-1$ 。
对于上述问题,我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。其中,中括号表示“闭区间”,即包含边界值本身。
![二分查找示例数据](binary_search.assets/binary_search_example.png)
对于上述问题,我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意,中括号表示闭区间,其包含边界值本身。
接下来,循环执行以下两个步骤:
@ -18,9 +20,6 @@
若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空。此时返回 $-1$ 。
=== "<0>"
![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)
=== "<1>"
![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)

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@ -1,56 +1,19 @@
# 二分查找边界
在上一节中,题目规定数组中所有元素都是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现,上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引,**而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素**。
## 查找左边界
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ,数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素,则返回 $-1$ 。
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ,数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素,则返回 $-1$ 。
## 线性方法
回忆二分查找插入点的方法,搜索完成后,$i$ 指向最左一个 `target` **因此查找插入点本质上是在查找最左一个 `target` 的索引**。
为了查找数组中最左边的 `target` ,我们可以分为两步
考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意,数组中可能不包含 `target` ,此时有两种可能
1. 进行二分查找,定位到任意一个 `target` 的索引,记为 $k$ 。
2. 以索引 $k$ 为起始点,向左进行线性遍历,找到最左边的 `target` 返回即可。
1. 插入点的索引 $i$ 越界;
2. 元素 `nums[i]``target` 不相等;
![线性查找最左边的元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png)
这个方法虽然有效,但由于包含线性查找,时间复杂度为 $O(n)$ ,当存在很多重复的 `target` 时效率较低。
## 二分方法
考虑仅使用二分查找解决该问题。整体算法流程不变,先计算中点索引 $m$ ,再判断 `target``nums[m]` 大小关系:
- 当 `nums[m] < target``nums[m] > target` 时,说明还没有找到 `target` ,因此采取与上节代码相同的缩小区间操作,**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
- 当 `nums[m] == target` 时,说明“小于 `target` 的元素”在区间 $[i, m - 1]$ 中,因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间,**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
二分查找完成后,**$i$ 指向最左边的 `target` $j$ 指向首个小于 `target` 的元素**,因此返回索引 $i$ 即可。
=== "<1>"
![二分查找最左边元素的步骤](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png)
=== "<2>"
![binary_search_left_edge_step2](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png)
=== "<3>"
![binary_search_left_edge_step3](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step3.png)
=== "<4>"
![binary_search_left_edge_step4](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step4.png)
=== "<5>"
![binary_search_left_edge_step5](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step5.png)
=== "<6>"
![binary_search_left_edge_step6](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step6.png)
=== "<7>"
![binary_search_left_edge_step7](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step7.png)
=== "<8>"
![binary_search_left_edge_step8](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step8.png)
注意,数组可能不包含目标元素 `target` 。因此在函数返回前,我们需要先判断 `nums[i]``target` 是否相等,以及索引 $i$ 是否越界。
当遇到以上两种情况时,直接返回 $-1$ 即可。
=== "Java"
@ -126,9 +89,19 @@
## 查找右边界
类似地,我们也可以二分查找最右边的 `target` 。当 `nums[m] == target` 时,说明大于 `target` 的元素在区间 $[m + 1, j]$ 中,因此执行 `i = m + 1` **使得指针 $i$ 向大于 `target` 的元素靠近**
那么如何查找最右一个 `target` 呢?最直接的方式是修改代码,替换在 `nums[m] == target` 情况下的指针收缩操作。代码在此省略,有兴趣的同学可以自行实现
完成二分后,**$i$ 指向首个大于 `target` 的元素,$j$ 指向最右边的 `target`** ,因此返回索引 $j$ 即可。
下面我们介绍两种更加取巧的方法。
### 复用查找左边界
实际上,我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素,具体方法为:**将查找最右一个 `target` 转化为查找最左一个 `target + 1`**。
查找完成后,指针 $i$ 指向最左一个 `target + 1`(如果存在),而 $j$ 指向最右一个 `target` **因此返回 $j$ 即可**。
![将查找右边界转化为查找左边界](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png)
请注意,返回的插入点是 $i$ ,因此需要将其减 $1$ ,从而获得 $j$ 。
=== "Java"
@ -202,10 +175,18 @@
[class]{}-[func]{binary_search_right_edge}
```
观察下图,搜索最右边元素时指针 $j$ 的作用与搜索最左边元素时指针 $i$ 的作用一致,反之亦然。也就是说,**搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的**。
### 转化为查找元素
![查找最左边和最右边元素的对称性](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)
我们知道,当数组不包含 `target` 时,最后 $i$ , $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。
!!! tip
根据上述结论,我们可以构造一个数组中不存在的元素,用于查找左右边界:
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
- 查找最左一个 `target` :可以转化为查找 `target - 0.5` ,并返回指针 $i$ 。
- 查找最右一个 `target` :可以转化为查找 `target + 0.5` ,并返回指针 $j$ 。
![将查找边界转化为查找元素](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png)
代码在此省略,值得注意的有:
- 给定数组不包含小数,这意味着我们无需关心如何处理相等的情况。
- 因为该方法引入了小数,所以需要将函数中的变量 `target` 改为浮点数类型。

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After

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 46 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 52 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 47 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 56 KiB

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Width:  |  Height:  |  Size: 56 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 47 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 55 KiB

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After

Width:  |  Height:  |  Size: 45 KiB

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@ -0,0 +1,227 @@
# 二分查找插入点
二分查找不仅可用于搜索目标元素,还具有许多变种问题,比如搜索目标元素的插入位置。
## 无重复元素的情况
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ,数组不存在重复元素。现将 `target` 插入到数组 `nums` 中,并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ,则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。
![二分查找插入点示例数据](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png)
如果想要复用上节的二分查找代码,则需要回答以下两个问题。
**问题一**:当数组中包含 `target` 时,插入点的索引是否是该元素的索引?
题目要求将 `target` 插入到相等元素的左边,这意味着新插入的 `target` 替换了原来 `target` 的位置。也就是说,**当数组包含 `target` 时,插入点的索引就是该 `target` 的索引**。
**问题二**:当数组中不存在 `target` 时,插入点是哪个元素的索引?
进一步思考二分查找过程:当 `nums[m] < target` 时 $i$ 移动,这意味着指针 $i$ 在向大于等于 `target` 的元素靠近。同理,指针 $j$ 始终在向小于等于 `target` 的元素靠近。
因此二分结束时一定有:$i$ 指向首个大于 `target` 的元素,$j$ 指向首个小于 `target` 的元素。**易得当数组不包含 `target` 时,插入索引为 $i$** 。
=== "Java"
```java title="binary_search_insertion.java"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_insertion.py"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_insertion.go"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_insertion.js"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_insertion.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "C"
```c title="binary_search_insertion.c"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_insertion.cs"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_insertion.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_insertion.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_insertion.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```
## 存在重复元素的情况
!!! question
在上一题的基础上,规定数组可能包含重复元素,其余不变。
假设数组中存在多个 `target` ,则普通二分查找只能返回其中一个 `target` 的索引,**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 `target`**。
题目要求将目标元素插入到最左边,**所以我们需要查找数组中最左一个 `target` 的索引**。初步考虑通过以下两步实现:
1. 执行二分查找,得到任意一个 `target` 的索引,记为 $k$ 。
2. 从索引 $k$ 开始,向左进行线性遍历,当找到最左边的 `target` 时返回。
![线性查找重复元素的插入点](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_naive.png)
此方法虽然可用,但其包含线性查找,因此时间复杂度为 $O(n)$ 。当数组中存在很多重复的 `target` 时,该方法效率很低。
现考虑修改二分查找代码。整体流程不变,每轮先计算中点索引 $m$ ,再判断 `target``nums[m]` 大小关系:
1. 当 `nums[m] < target``nums[m] > target` 时,说明还没有找到 `target` ,因此采用普通二分查找的缩小区间操作,**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
2. 当 `nums[m] == target` 时,说明小于 `target` 的元素在区间 $[i, m - 1]$ 中,因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间,**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
循环完成后,$i$ 指向最左边的 `target` $j$ 指向首个小于 `target` 的元素,**因此索引 $i$ 就是插入点**。
=== "<1>"
![二分查找重复元素的插入点的步骤](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step1.png)
=== "<2>"
![binary_search_insertion_step2](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step2.png)
=== "<3>"
![binary_search_insertion_step3](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step3.png)
=== "<4>"
![binary_search_insertion_step4](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step4.png)
=== "<5>"
![binary_search_insertion_step5](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step5.png)
=== "<6>"
![binary_search_insertion_step6](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step6.png)
=== "<7>"
![binary_search_insertion_step7](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step7.png)
=== "<8>"
![binary_search_insertion_step8](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step8.png)
观察以下代码,判断分支 `nums[m] > target``nums[m] == target` 的操作相同,因此两者可以合并。
即便如此,我们仍然可以将判断条件保持展开,因为其逻辑更加清晰、可读性更好。
=== "Java"
```java title="binary_search_insertion.java"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_insertion.py"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_insertion.go"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_insertion.js"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_insertion.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "C"
```c title="binary_search_insertion.c"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_insertion.cs"
[class]{binary_search_insertion}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_insertion.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_insertion.dart"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_insertion.rs"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```
!!! tip
本节的代码都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。
总的来看,二分查找无非就是给指针 $i$ , $j$ 分别设定搜索目标,目标可能是一个具体的元素(例如 `target` ),也可能是一个元素范围(例如小于 `target` 的元素)。
在不断的循环二分中,指针 $i$ , $j$ 都逐渐逼近预先设定的目标。最终,它们或是成功找到答案,或是越过边界后停止。

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@ -207,10 +207,13 @@ nav:
# [icon: material/text-search]
- chapter_searching/index.md
- 10.1. &nbsp; 二分查找: chapter_searching/binary_search.md
- 10.2. &nbsp; 二分查找边界: chapter_searching/binary_search_edge.md
- 10.3. &nbsp; 哈希优化策略: chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
- 10.4. &nbsp; 重识搜索算法: chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md
- 10.5. &nbsp; 小结: chapter_searching/summary.md
# [status: new]
- 10.2. &nbsp; 二分查找插入点: chapter_searching/binary_search_insertion.md
# [status: new]
- 10.3. &nbsp; 二分查找边界: chapter_searching/binary_search_edge.md
- 10.4. &nbsp; 哈希优化策略: chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
- 10.5. &nbsp; 重识搜索算法: chapter_searching/searching_algorithm_revisited.md
- 10.6. &nbsp; 小结: chapter_searching/summary.md
- 11. &nbsp; 排序:
# [icon: material/sort-ascending]
- chapter_sorting/index.md