build

chapter_heap/build_heap.md

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 最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。
 
+设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，在依次入堆时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
 ### 基于堆化操作实现
 
-然而，**存在一种更加高效的建堆方法**。设元素数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
+有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
 
 === "Java"
 
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 ## 8.2.2.   复杂度分析
 
-对于第一种建堆方法，元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 $O(n)$ 呢？我们来展开推算一下。
-
-那么，第二种建堆方法的时间复杂度是多少呢？我们来展开推算一下。
 
 - 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
 - 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
 
-将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
+将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
 
-下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
+下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。
-
-$$
-T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
-$$
 
 ![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
 
 <p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
 
+因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到 **所有结点的堆化的迭代次数总和**。
+
+$$
+T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
+$$
+
 化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
 
 $$

chapter_sorting/bucket_sort.md

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+## 拓展到桶排序
+
+如果我们把上述 `bucket` 中的每个索引想象成一个桶，那么可以将计数排序理解为把 $n$ 个元素分配到对应的桶中，再根据桶与桶之间天然的有序性来实现排序。
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+以上解读便是「桶排序 Bucket Sort」的核心思想。具体地，桶排序考虑将 $n$ 个元素根据大小范围均匀地分配到 $k$ 个桶中，由于桶之间是有序的，**因此仅需在每个桶内部执行排序**，最终按照桶之间的大小关系将元素依次排列，即可得到排序结果。
+
+假设使用「快速排序」来排序各个桶内的元素，每个桶内元素数量为 $\frac{n}{k}$ ，则排序单个桶使用 $O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})$ 时间，排序所有桶使用 $O(n \log\frac{n}{k})$ 时间。**当桶数量 $k$ 接近 $n$ 时，时间复杂度则趋向于 $O(n)$** 。
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+（图）
+
+理论上桶排序的时间复杂度是 $O(n)$ ，**但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中**，而这是不太容易做到的。假设我们要把淘宝中的 $100$ 万件商品根据价格范围平均分配到 $100$ 个桶中，由于商品价格不是均匀分布的，比如 $1$ ~ $100$ 元的商品非常多、$1$ 万元以上的商品非常少等，因此难以简单地设定各个桶的价格分界线。解决方案有：
+
+- 先初步设置一个分界线，将元素分配完后，**把元素较多的桶继续划分为多个桶**，直至每个桶内元素数量合理为止；该做法一般使用递归实现；
+- 如果我们提前知道商品价格的概率分布，**则可以根据已知分布来设置每个桶的价格分界线**；值得说明的是，数据分布不一定需要 case-by-case 地统计，有时可以采用一些常见分布来近似，例如自然界的正态分布；
+
+（图）

chapter_sorting/quick_sort.md

@@ -294,7 +294,7 @@ comments: true
 
     举个例子，给定数组 `[0, 0, 0, 0, 1]` ，如果先“从左向右查找”，哨兵划分后数组为 `[1, 0, 0, 0, 0]` ，这个结果是不对的。
 
-    再往深想一步，如果我们选择 `nums[right]` 为基准数，那么正好反过来，必须先“从左往右查找”。
+    再深想一步，如果我们选择 `nums[right]` 为基准数，那么正好反过来，必须先“从左往右查找”。
 
 ## 11.4.1.   算法流程