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krahets 2023-04-17 21:01:06 +08:00
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@ -2,15 +2,13 @@
如果我们想要根据输入列表生成一个堆,这个过程被称为「建堆」。
## 两种建堆方法
### 借助入堆方法实现
## 借助入堆方法实现
最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现,首先创建一个空堆,然后将列表元素依次添加到堆中。
设元素数量为 $n$ ,则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时,堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ,因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
### 基于堆化操作实现
## 基于堆化操作实现
有趣的是,存在一种更高效的建堆方法,其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中,**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然,**我们不需要对叶节点执行堆化操作**,因为它们没有子节点。

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@ -0,0 +1,120 @@
# 二叉树数组表示
在链表表示下,二叉树的存储单元为节点 `TreeNode` ,节点之间通过指针相连接。在上节中,我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么,能否用「数组」来表示二叉树呢?答案是肯定的。
## 表示完美二叉树
先分析一个简单案例,给定一个完美二叉树,我们将节点按照层序遍历的顺序编号(从 $0$ 开始),此时每个节点都对应唯一的索引。
根据层序遍历的特性,我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”:**若节点的索引为 $i$ ,则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ,右子节点索引为 $2i + 2$** 。
![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
**映射公式的作用相当于链表中的指针**。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中,那么对于数组中的任意节点,我们都可以通过映射公式来访问其子节点。
## 表示任意二叉树
然而,完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层,通常存在许多 $\text{null}$ ,而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭该序列来推测 $\text{null}$ 的数量和分布位置,**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。显然在这种情况下,上述的数组表示方法已经失效。
![层序遍历序列对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
为了解决此问题,**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{null}$**。如下图所示,这样处理后,层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
=== "Java"
```java title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ,就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ,使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
```
=== "Python"
```python title=""
# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
```
=== "Go"
```go title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ,就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ,就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
## 优势与局限性
二叉树的数组表示存在以下优点:
- 数组存储在连续的内存空间中,缓存友好,访问与遍历速度较快;
- 不需要存储指针,比较节省空间;
- 允许随机访问节点;
然而,数组表示也具有一些局限性:
- 数组存储需要连续内存空间,因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现,效率较低;
- 当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时,数组中包含的节点数据比重较低,空间利用率较低。
**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义,$\text{null}$ 只出现在最底层且靠右的位置,**这意味着所有 $\text{null}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。因此,在使用数组表示完全二叉树时,可以省略存储所有 $\text{null}$ 。
![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)

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@ -463,104 +463,3 @@
| 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
</div>
## 二叉树表示方式 *
我们通常使用二叉树的「链表表示」,即存储单位为节点 `TreeNode` ,节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
那么,能否用「数组」来表示二叉树呢?答案是肯定的。先来分析一个简单案例,给定一个「完美二叉树」,将节点按照层序遍历的顺序编号(从 0 开始),那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”:**若节点的索引为 $i$ ,则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ,右子节点索引为 $2i + 2$** 。
**本质上,映射公式的作用相当于链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点,我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此,我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中,利用以上映射公式来表示二叉树。
![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)
然而,完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层,通常存在许多 $\text{null}$ ,而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置,**这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然,在这种情况下,我们无法使用数组来存储二叉树。
![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)
为了解决这个问题,我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树,**并在序列中使用特殊符号来显式地表示 $\text{null}$**。如下图所示,这样处理后,层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
=== "Java"
```java title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ,就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ,使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
```
=== "Python"
```python title=""
# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
```
=== "Go"
```go title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ,就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ,就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾「完全二叉树」的定义,$\text{null}$ 只出现在最底层,并且最底层的节点尽量靠左。这意味着,**所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾**。由于我们事先知道了所有 $\text{null}$ 的位置,因此在使用数组表示完全二叉树时,可以省略存储它们。
![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)
数组表示具有两个显著优点:首先,它不需要存储指针,从而节省了空间;其次,它允许随机访问节点。然而,当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时,数组中包含的节点数据比重较低,导致有效空间利用率降低。

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@ -160,9 +160,10 @@ nav:
- 8. &nbsp; &nbsp; 树:
- 8.1. &nbsp; 二叉树: chapter_tree/binary_tree.md
- 8.2. &nbsp; 二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md
- 8.3. &nbsp; 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
- 8.4. &nbsp; AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
- 8.5. &nbsp; 小结: chapter_tree/summary.md
- 8.3. &nbsp; 二叉树数组表示: chapter_tree/array_representation_of_tree.md
- 8.4. &nbsp; 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
- 8.5. &nbsp; AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
- 8.6. &nbsp; 小结: chapter_tree/summary.md
- 9. &nbsp; &nbsp; 堆:
- 9.1. &nbsp; 堆: chapter_heap/heap.md
- 9.2. &nbsp; 建堆操作 *: chapter_heap/build_heap.md