diff --git a/docs/chapter_heap/build_heap.md b/docs/chapter_heap/build_heap.md index 6e83d817f..11bc0d643 100644 --- a/docs/chapter_heap/build_heap.md +++ b/docs/chapter_heap/build_heap.md @@ -2,15 +2,13 @@ 如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。 -## 两种建堆方法 - -### 借助入堆方法实现 +## 借助入堆方法实现 最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。 设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 -### 基于堆化操作实现 +## 基于堆化操作实现 有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。 diff --git a/docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md b/docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md new file mode 100644 index 000000000..80657f498 --- /dev/null +++ b/docs/chapter_tree/array_representation_of_tree.md @@ -0,0 +1,120 @@ +# 二叉树数组表示 + +在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。 + +那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。 + +## 表示完美二叉树 + +先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 $0$ 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。 + +根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。 + +![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png) + +**映射公式的作用相当于链表中的指针**。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。 + +## 表示任意二叉树 + +然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{null}$ ，而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭该序列来推测 $\text{null}$ 的数量和分布位置，**这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列**。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。 + +![层序遍历序列对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png) + +为了解决此问题，**我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 $\text{null}$**。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。 + +=== "Java" + + ```java title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位 + Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位 + // 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX + vector tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 }; + ``` + +=== "Python" + + ```python title="" + # 二叉树的数组表示 + # 直接使用 None 来表示空位 + tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15] + ``` + +=== "Go" + + ```go title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位 + tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15} + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 直接使用 null 来表示空位 + let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 直接使用 null 来表示空位 + let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; + ``` + +=== "C" + + ```c title="" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位 + int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="" + /* 二叉树的数组表示 */ + // 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位 + let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15] + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="" + + ``` + +![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png) + +## 优势与局限性 + +二叉树的数组表示存在以下优点： + +- 数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快； +- 不需要存储指针，比较节省空间； +- 允许随机访问节点； + +然而，数组表示也具有一些局限性： + +- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。 +- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低； +- 当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。 + +**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾完全二叉树的定义，$\text{null}$ 只出现在最底层且靠右的位置，**这意味着所有 $\text{null}$ 一定出现在层序遍历序列的末尾**。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{null}$ 。 + +![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png) diff --git a/docs/chapter_tree/binary_tree.md b/docs/chapter_tree/binary_tree.md index e5c233ed6..5c894105b 100644 --- a/docs/chapter_tree/binary_tree.md +++ b/docs/chapter_tree/binary_tree.md @@ -463,104 +463,3 @@ | 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ | - -## 二叉树表示方式 * - -我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。 - -那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。 - -**本质上，映射公式的作用相当于链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此，我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中，利用以上映射公式来表示二叉树。 - -![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png) - -然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{null}$ ，而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置，**这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，在这种情况下，我们无法使用数组来存储二叉树。 - -![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png) - -为了解决这个问题，我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**并在序列中使用特殊符号来显式地表示 $\text{null}$**。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。 - -=== "Java" - - ```java title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位 - Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; - ``` - -=== "C++" - - ```cpp title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位 - // 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX - vector tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 }; - ``` - -=== "Python" - - ```python title="" - # 二叉树的数组表示 - # 直接使用 None 来表示空位 - tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15] - ``` - -=== "Go" - - ```go title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位 - tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15} - ``` - -=== "JavaScript" - - ```javascript title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 直接使用 null 来表示空位 - let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; - ``` - -=== "TypeScript" - - ```typescript title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 直接使用 null 来表示空位 - let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; - ``` - -=== "C" - - ```c title="" - - ``` - -=== "C#" - - ```csharp title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位 - int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; - ``` - -=== "Swift" - - ```swift title="" - /* 二叉树的数组表示 */ - // 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位 - let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15] - ``` - -=== "Zig" - - ```zig title="" - - ``` - -![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png) - -**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾「完全二叉树」的定义，$\text{null}$ 只出现在最底层，并且最底层的节点尽量靠左。这意味着，**所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾**。由于我们事先知道了所有 $\text{null}$ 的位置，因此在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储它们。 - -![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png) - -数组表示具有两个显著优点：首先，它不需要存储指针，从而节省了空间；其次，它允许随机访问节点。然而，当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，导致有效空间利用率降低。 diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index ec619f982..352754385 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -160,9 +160,10 @@ nav: - 8.     树: - 8.1.   二叉树: chapter_tree/binary_tree.md - 8.2.   二叉树遍历: chapter_tree/binary_tree_traversal.md - - 8.3.   二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md - - 8.4.   AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md - - 8.5.   小结: chapter_tree/summary.md + - 8.3.   二叉树数组表示: chapter_tree/array_representation_of_tree.md + - 8.4.   二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md + - 8.5.   AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md + - 8.6.   小结: chapter_tree/summary.md - 9.     堆: - 9.1.   堆: chapter_heap/heap.md - 9.2.   建堆操作 *: chapter_heap/build_heap.md