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krahets 2023-02-26 01:51:44 +08:00
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commit 1a6a6b0342
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183
chapter_array_and_linkedlist/array.md
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@ -405,15 +405,9 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
} }
``` ```
**数组中插入或删除元素效率低下**。假设我们想要在数组中间某位置插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。删除元素也是类似，需要把此索引之后的元素都向前移动一位。总体看有以下缺点： **数组中插入或删除元素效率低下**。如果我们想要在数组中间插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。
- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ，其中 $N$ 为数组长度。 ![array_insert_element](array.assets/array_insert_element.png)
- **丢失元素**：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。
- **内存浪费**：我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。
![array_insert_remove_element](array.assets/array_insert_remove_element.png)
<p align="center"> Fig. 在数组中插入与删除元素 </p>
=== "Java" === "Java"
@ -427,14 +421,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num; nums[index] = num;
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int[] nums, int index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
``` ```
=== "C++" === "C++"
@ -449,14 +435,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num; nums[index] = num;
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int* nums, int size, int index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < size - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
``` ```
=== "Python" === "Python"
@ -469,12 +447,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
nums[i] = nums[i - 1] nums[i] = nums[i - 1]
# 将 num 赋给 index 处元素 # 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num nums[index] = num
""" 删除索引 index 处元素 """
def remove(nums, index):
# 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for i in range(index, len(nums) - 1):
nums[i] = nums[i + 1]
``` ```
=== "Go" === "Go"
@ -489,14 +461,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num nums[index] = num
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
func remove(nums []int, index int) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for i := index; i < len(nums)-1; i++ {
nums[i] = nums[i+1]
}
}
``` ```
=== "JavaScript" === "JavaScript"
@ -511,14 +475,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num; nums[index] = num;
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums, index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
``` ```
=== "TypeScript" === "TypeScript"
@ -533,22 +489,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num; nums[index] = num;
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums: number[], index: number): void {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
``` ```
=== "C" === "C"
```c title="array.c" ```c title="array.c"
[class]{}-[func]{insert} [class]{}-[func]{insert}
[class]{}-[func]{removeItem}
``` ```
=== "C#" === "C#"
@ -565,16 +511,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num; nums[index] = num;
} }
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int[] nums, int index)
{
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++)
{
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
``` ```
=== "Swift" === "Swift"
@ -589,7 +525,105 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
// 将 num 赋给 index 处元素 // 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num nums[index] = num
} }
```
删除元素也是类似，如果我们想要删除索引 $i$ 处的元素，则需要把索引 $i$ 之后的元素都向前移动一位。值得注意的是，删除元素后，原先末尾的元素变得“无意义”了，我们无需特意去修改它。
![array_remove_element](array.assets/array_remove_element.png)
=== "Java"
```java title="array.java"
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int[] nums, int index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
=== "C++"
```cpp title="array.cpp"
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int* nums, int size, int index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < size - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
=== "Python"
```python title="array.py"
""" 删除索引 index 处元素 """
def remove(nums, index):
# 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for i in range(index, len(nums) - 1):
nums[i] = nums[i + 1]
```
=== "Go"
```go title="array.go"
/* 删除索引 index 处元素 */
func remove(nums []int, index int) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for i := index; i < len(nums)-1; i++ {
nums[i] = nums[i+1]
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="array.js"
/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums, index) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="array.ts"
/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums: number[], index: number): void {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
=== "C"
```c title="array.c"
[class]{}-[func]{removeItem}
```
=== "C#"
```csharp title="array.cs"
/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int[] nums, int index)
{
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++)
{
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="array.swift"
/* 删除索引 index 处元素 */ /* 删除索引 index 处元素 */
func remove(nums: inout [Int], index: Int) { func remove(nums: inout [Int], index: Int) {
let count = nums.count let count = nums.count
@ -603,17 +637,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
=== "Zig" === "Zig"
```zig title="array.zig" ```zig title="array.zig"
// 在数组的索引 index 处插入元素 num
fn insert(nums: []i32, num: i32, index: usize) void {
// 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
var i = nums.len - 1;
while (i > index) : (i -= 1) {
nums[i] = nums[i - 1];
}
// 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num;
}
// 删除索引 index 处元素 // 删除索引 index 处元素
fn remove(nums: []i32, index: usize) void { fn remove(nums: []i32, index: usize) void {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
@ -624,6 +647,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
} }
``` ```
总结来看，数组的插入与删除操作有以下缺点：
- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ，其中 $N$ 为数组长度。
- **丢失元素**：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。
- **内存浪费**：我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。
## 4.1.3. &nbsp; 数组常用操作 ## 4.1.3. &nbsp; 数组常用操作
**数组遍历**。以下介绍两种常用的遍历方法。 **数组遍历**。以下介绍两种常用的遍历方法。

166
chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md
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@ -316,11 +316,9 @@ comments: true
## 4.2.1. &nbsp; 链表优点 ## 4.2.1. &nbsp; 链表优点
**在链表中，插入与删除结点的操作效率高**。例如，如果想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ，相比数组的插入操作高效很多。在链表中删除某个结点也很方便，只需要改变一个结点指针即可。 **在链表中，插入与删除结点的操作效率高**。比如，如果我们想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ，我们只需要改变两个结点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ，相比数组的插入操作高效很多。
![linkedlist_insert_remove_node](linked_list.assets/linkedlist_insert_remove_node.png) ![linkedlist_insert_node](linked_list.assets/linkedlist_insert_node.png)
<p align="center"> Fig. 在链表中插入与删除结点 </p>
=== "Java" === "Java"
@ -331,7 +329,109 @@ comments: true
n0.next = P; n0.next = P;
P.next = n1; P.next = n1;
} }
```
=== "C++"
```cpp title="linked_list.cpp"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
void insert(ListNode* n0, ListNode* P) {
ListNode* n1 = n0->next;
n0->next = P;
P->next = n1;
}
```
=== "Python"
```python title="linked_list.py"
""" 在链表的结点 n0 之后插入结点 P """
def insert(n0, P):
n1 = n0.next
n0.next = P
P.next = n1
```
=== "Go"
```go title="linked_list.go"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
func insertNode(n0 *ListNode, P *ListNode) {
n1 := n0.Next
n0.Next = P
P.Next = n1
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
function insert(n0, P) {
const n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void {
const n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
```
=== "C"
```c title="linked_list.c"
[class]{}-[func]{insertNode}
```
=== "C#"
```csharp title="linked_list.cs"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
void insert(ListNode n0, ListNode P)
{
ListNode? n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
```
=== "Swift"
```swift title="linked_list.swift"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
func insert(n0: ListNode, P: ListNode) {
let n1 = n0.next
n0.next = P
P.next = n1
}
```
=== "Zig"
```zig title="linked_list.zig"
// 在链表的结点 n0 之后插入结点 P
fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void {
var n1 = n0.?.next;
n0.?.next = P;
P.?.next = n1;
}
```
在链表中删除结点也很方便，只需要改变一个结点指针即可。如下图所示，虽然在完成删除后结点 `P` 仍然指向 `n2` ，但实际上 `P` 已经不属于此链表了，因为遍历此链表是无法访问到 `P` 的。
![linkedlist_remove_node](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
=== "Java"
```java title="linked_list.java"
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
void remove(ListNode n0) { void remove(ListNode n0) {
if (n0.next == null) if (n0.next == null)
@ -346,13 +446,6 @@ comments: true
=== "C++" === "C++"
```cpp title="linked_list.cpp" ```cpp title="linked_list.cpp"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
void insert(ListNode* n0, ListNode* P) {
ListNode* n1 = n0->next;
n0->next = P;
P->next = n1;
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
void remove(ListNode* n0) { void remove(ListNode* n0) {
if (n0->next == nullptr) if (n0->next == nullptr)
@ -369,12 +462,6 @@ comments: true
=== "Python" === "Python"
```python title="linked_list.py" ```python title="linked_list.py"
""" 在链表的结点 n0 之后插入结点 P """
def insert(n0, P):
n1 = n0.next
n0.next = P
P.next = n1
""" 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 """ """ 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 """
def remove(n0): def remove(n0):
if not n0.next: if not n0.next:
@ -388,13 +475,6 @@ comments: true
=== "Go" === "Go"
```go title="linked_list.go" ```go title="linked_list.go"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
func insertNode(n0 *ListNode, P *ListNode) {
n1 := n0.Next
n0.Next = P
P.Next = n1
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
func removeNode(n0 *ListNode) { func removeNode(n0 *ListNode) {
if n0.Next == nil { if n0.Next == nil {
@ -410,13 +490,6 @@ comments: true
=== "JavaScript" === "JavaScript"
```javascript title="linked_list.js" ```javascript title="linked_list.js"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
function insert(n0, P) {
const n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
function remove(n0) { function remove(n0) {
if (!n0.next) if (!n0.next)
@ -431,13 +504,6 @@ comments: true
=== "TypeScript" === "TypeScript"
```typescript title="linked_list.ts" ```typescript title="linked_list.ts"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void {
const n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
function remove(n0: ListNode): void { function remove(n0: ListNode): void {
if (!n0.next) { if (!n0.next) {
@ -453,22 +519,12 @@ comments: true
=== "C" === "C"
```c title="linked_list.c" ```c title="linked_list.c"
[class]{}-[func]{insertNode}
[class]{}-[func]{removeNode} [class]{}-[func]{removeNode}
``` ```
=== "C#" === "C#"
```csharp title="linked_list.cs" ```csharp title="linked_list.cs"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
void insert(ListNode n0, ListNode P)
{
ListNode? n1 = n0.next;
n0.next = P;
P.next = n1;
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
void remove(ListNode n0) void remove(ListNode n0)
{ {
@ -484,13 +540,6 @@ comments: true
=== "Swift" === "Swift"
```swift title="linked_list.swift" ```swift title="linked_list.swift"
/* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */
func insert(n0: ListNode, P: ListNode) {
let n1 = n0.next
n0.next = P
P.next = n1
}
/* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */
func remove(n0: ListNode) { func remove(n0: ListNode) {
if n0.next == nil { if n0.next == nil {
@ -507,13 +556,6 @@ comments: true
=== "Zig" === "Zig"
```zig title="linked_list.zig" ```zig title="linked_list.zig"
// 在链表的结点 n0 之后插入结点 P
fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void {
var n1 = n0.?.next;
n0.?.next = P;
P.?.next = n1;
}
// 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 // 删除链表的结点 n0 之后的首个结点
fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void { fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void {
if (n0.?.next == null) return; if (n0.?.next == null) return;

2
chapter_computational_complexity/time_complexity.md
View file

@ -369,7 +369,7 @@ $$
``` ```
![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png) ![time_complexity_simple_example](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
<p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p> <p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>

2
chapter_data_structure/data_and_memory.md
View file

@ -80,7 +80,7 @@ $$
\end{aligned} \end{aligned}
$$ $$
![IEEE-754-float](data_and_memory.assets/IEEE-754-float.png) ![ieee_754_float](data_and_memory.assets/ieee_754_float.png)
以上图为例，$\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，易得 以上图为例，$\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，易得

2
chapter_heap/heap.md
View file

@ -1427,7 +1427,7 @@ $$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
$$ $$
![heapify_count](heap.assets/heapify_count.png) ![heapify_operations_count](heap.assets/heapify_operations_count.png)
化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得 化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得

2
chapter_preface/about_the_book.md
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@ -36,7 +36,7 @@ comments: true
本书主要内容分为复杂度分析、数据结构、算法三个部分。 本书主要内容分为复杂度分析、数据结构、算法三个部分。
![mindmap](about_the_book.assets/mindmap.png) ![hello_algo_mindmap](about_the_book.assets/hello_algo_mindmap.png)
<p align="center"> Fig. 知识点思维导图 </p> <p align="center"> Fig. 知识点思维导图 </p>

2
chapter_sorting/bubble_sort.md
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@ -43,7 +43,7 @@ comments: true
2. 同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。 2. 同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。
3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**。 3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**。
![bubble_sort](bubble_sort.assets/bubble_sort.png) ![bubble_sort_overview](bubble_sort.assets/bubble_sort_overview.png)
<p align="center"> Fig. 冒泡排序流程 </p> <p align="center"> Fig. 冒泡排序流程 </p>

2
chapter_sorting/insertion_sort.md
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@ -20,7 +20,7 @@ comments: true
2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**数组前 3 个元素已完成排序**。 2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**数组前 3 个元素已完成排序**。
3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**所有元素已完成排序**。 3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**所有元素已完成排序**。
![insertion_sort](insertion_sort.assets/insertion_sort.png) ![insertion_sort_overview](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png)
<p align="center"> Fig. 插入排序流程 </p> <p align="center"> Fig. 插入排序流程 </p>

2
chapter_sorting/merge_sort.md
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@ -9,7 +9,7 @@ comments: true
1. **划分阶段**：通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； 1. **划分阶段**：通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
2. **合并阶段**：划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； 2. **合并阶段**：划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；
![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png) ![merge_sort_overview](merge_sort.assets/merge_sort_overview.png)
<p align="center"> Fig. 归并排序两阶段：划分与合并 </p> <p align="center"> Fig. 归并排序两阶段：划分与合并 </p>

2
chapter_sorting/quick_sort.md
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@ -296,7 +296,7 @@ comments: true
观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。 观察发现，快速排序和「二分查找」的原理类似，都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。
![quick_sort](quick_sort.assets/quick_sort.png) ![quick_sort_overview](quick_sort.assets/quick_sort_overview.png)
<p align="center"> Fig. 快速排序流程 </p> <p align="center"> Fig. 快速排序流程 </p>

24
chapter_tree/avl_tree.md
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@ -8,11 +8,11 @@ comments: true
如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。 如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png) ![avltree_degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。 再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png) ![avltree_degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
@ -455,20 +455,20 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子结点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。 如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子结点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
=== "<1>" === "<1>"
![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png) ![avltree_right_rotate_step1](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png) ![avltree_right_rotate_step2](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step2.png)
=== "<3>" === "<3>"
![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png) ![avltree_right_rotate_step3](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step3.png)
=== "<4>" === "<4>"
![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png) ![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png)
进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。 进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png) ![avltree_right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。 “向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
@ -644,11 +644,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。 类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。
![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png) ![avltree_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。 同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png) ![avltree_left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。 观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
@ -824,19 +824,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。 对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png) ![avltree_left_right_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png)
### Case 4 - 先右后左 ### Case 4 - 先右后左
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。 同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png) ![avltree_right_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png)
### 旋转的选择 ### 旋转的选择
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。 下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。
![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png) ![avltree_rotation_cases](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。 具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。

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chapter_tree/binary_search_tree.md
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@ -22,16 +22,16 @@ comments: true
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可； - 若 `cur.val = num` ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
=== "<1>" === "<1>"
![bst_search_1](binary_search_tree.assets/bst_search_1.png) ![bst_search_step1](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![bst_search_2](binary_search_tree.assets/bst_search_2.png) ![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)
=== "<3>" === "<3>"
![bst_search_3](binary_search_tree.assets/bst_search_3.png) ![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png)
=== "<4>" === "<4>"
![bst_search_4](binary_search_tree.assets/bst_search_4.png) ![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。 二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
@ -562,16 +562,16 @@ comments: true
3. 使用 `nex` 替换待删除结点； 3. 使用 `nex` 替换待删除结点；
=== "<1>" === "<1>"
![bst_remove_case3_1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_1.png) ![bst_remove_case3_step1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![bst_remove_case3_2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_2.png) ![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)
=== "<3>" === "<3>"
![bst_remove_case3_3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_3.png) ![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png)
=== "<4>" === "<4>"
![bst_remove_case3_4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_4.png) ![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)
删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。 删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。