diff --git a/chapter_array_and_linkedlist/array.md b/chapter_array_and_linkedlist/array.md index cf75c4e53..6c46ccb6a 100755 --- a/chapter_array_and_linkedlist/array.md +++ b/chapter_array_and_linkedlist/array.md @@ -405,15 +405,9 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex } ``` -**数组中插入或删除元素效率低下**。假设我们想要在数组中间某位置插入一个元素,由于数组元素在内存中是“紧挨着的”,它们之间没有空间再放任何数据。因此,我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位,然后再把元素赋值给该索引。删除元素也是类似,需要把此索引之后的元素都向前移动一位。总体看有以下缺点: +**数组中插入或删除元素效率低下**。如果我们想要在数组中间插入一个元素,由于数组元素在内存中是“紧挨着的”,它们之间没有空间再放任何数据。因此,我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位,然后再把元素赋值给该索引。 -- **时间复杂度高**:数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ,其中 $N$ 为数组长度。 -- **丢失元素**:由于数组的长度不可变,因此在插入元素后,超出数组长度范围的元素会被丢失。 -- **内存浪费**:我们一般会初始化一个比较长的数组,只用前面一部分,这样在插入数据时,丢失的末尾元素都是我们不关心的,但这样做同时也会造成内存空间的浪费。 - -![array_insert_remove_element](array.assets/array_insert_remove_element.png) - -

Fig. 在数组中插入与删除元素

+![array_insert_element](array.assets/array_insert_element.png) === "Java" @@ -427,14 +421,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num; } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - void remove(int[] nums, int index) { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) { - nums[i] = nums[i + 1]; - } - } ``` === "C++" @@ -449,14 +435,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num; } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - void remove(int* nums, int size, int index) { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for (int i = index; i < size - 1; i++) { - nums[i] = nums[i + 1]; - } - } ``` === "Python" @@ -469,12 +447,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex nums[i] = nums[i - 1] # 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num - - """ 删除索引 index 处元素 """ - def remove(nums, index): - # 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for i in range(index, len(nums) - 1): - nums[i] = nums[i + 1] ``` === "Go" @@ -489,14 +461,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - func remove(nums []int, index int) { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for i := index; i < len(nums)-1; i++ { - nums[i] = nums[i+1] - } - } ``` === "JavaScript" @@ -511,14 +475,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num; } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - function remove(nums, index) { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) { - nums[i] = nums[i + 1]; - } - } ``` === "TypeScript" @@ -533,22 +489,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num; } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - function remove(nums: number[], index: number): void { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) { - nums[i] = nums[i + 1]; - } - } ``` === "C" ```c title="array.c" [class]{}-[func]{insert} - - [class]{}-[func]{removeItem} ``` === "C#" @@ -565,16 +511,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num; } - - /* 删除索引 index 处元素 */ - void remove(int[] nums, int index) - { - // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 - for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++) - { - nums[i] = nums[i + 1]; - } - } ``` === "Swift" @@ -589,7 +525,105 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex // 将 num 赋给 index 处元素 nums[index] = num } + ``` +删除元素也是类似,如果我们想要删除索引 $i$ 处的元素,则需要把索引 $i$ 之后的元素都向前移动一位。值得注意的是,删除元素后,原先末尾的元素变得“无意义”了,我们无需特意去修改它。 + +![array_remove_element](array.assets/array_remove_element.png) + +=== "Java" + + ```java title="array.java" + /* 删除索引 index 处元素 */ + void remove(int[] nums, int index) { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) { + nums[i] = nums[i + 1]; + } + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="array.cpp" + /* 删除索引 index 处元素 */ + void remove(int* nums, int size, int index) { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for (int i = index; i < size - 1; i++) { + nums[i] = nums[i + 1]; + } + } + ``` + +=== "Python" + + ```python title="array.py" + """ 删除索引 index 处元素 """ + def remove(nums, index): + # 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for i in range(index, len(nums) - 1): + nums[i] = nums[i + 1] + ``` + +=== "Go" + + ```go title="array.go" + /* 删除索引 index 处元素 */ + func remove(nums []int, index int) { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for i := index; i < len(nums)-1; i++ { + nums[i] = nums[i+1] + } + } + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="array.js" + /* 删除索引 index 处元素 */ + function remove(nums, index) { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) { + nums[i] = nums[i + 1]; + } + } + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="array.ts" + /* 删除索引 index 处元素 */ + function remove(nums: number[], index: number): void { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) { + nums[i] = nums[i + 1]; + } + } + ``` + +=== "C" + + ```c title="array.c" + [class]{}-[func]{removeItem} + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="array.cs" + /* 删除索引 index 处元素 */ + void remove(int[] nums, int index) + { + // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 + for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++) + { + nums[i] = nums[i + 1]; + } + } + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="array.swift" /* 删除索引 index 处元素 */ func remove(nums: inout [Int], index: Int) { let count = nums.count @@ -603,17 +637,6 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex === "Zig" ```zig title="array.zig" - // 在数组的索引 index 处插入元素 num - fn insert(nums: []i32, num: i32, index: usize) void { - // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位 - var i = nums.len - 1; - while (i > index) : (i -= 1) { - nums[i] = nums[i - 1]; - } - // 将 num 赋给 index 处元素 - nums[index] = num; - } - // 删除索引 index 处元素 fn remove(nums: []i32, index: usize) void { // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位 @@ -624,6 +647,12 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex } ``` +总结来看,数组的插入与删除操作有以下缺点: + +- **时间复杂度高**:数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(N)$ ,其中 $N$ 为数组长度。 +- **丢失元素**:由于数组的长度不可变,因此在插入元素后,超出数组长度范围的元素会被丢失。 +- **内存浪费**:我们一般会初始化一个比较长的数组,只用前面一部分,这样在插入数据时,丢失的末尾元素都是我们不关心的,但这样做同时也会造成内存空间的浪费。 + ## 4.1.3.   数组常用操作 **数组遍历**。以下介绍两种常用的遍历方法。 diff --git a/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md b/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md index 533701130..12a7b425b 100755 --- a/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md +++ b/chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md @@ -316,11 +316,9 @@ comments: true ## 4.2.1.   链表优点 -**在链表中,插入与删除结点的操作效率高**。例如,如果想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ,我们只需要改变两个结点指针即可,时间复杂度为 $O(1)$ ,相比数组的插入操作高效很多。在链表中删除某个结点也很方便,只需要改变一个结点指针即可。 +**在链表中,插入与删除结点的操作效率高**。比如,如果我们想在链表中间的两个结点 `A` , `B` 之间插入一个新结点 `P` ,我们只需要改变两个结点指针即可,时间复杂度为 $O(1)$ ,相比数组的插入操作高效很多。 -![linkedlist_insert_remove_node](linked_list.assets/linkedlist_insert_remove_node.png) - -

Fig. 在链表中插入与删除结点

+![linkedlist_insert_node](linked_list.assets/linkedlist_insert_node.png) === "Java" @@ -331,7 +329,109 @@ comments: true n0.next = P; P.next = n1; } + ``` +=== "C++" + + ```cpp title="linked_list.cpp" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + void insert(ListNode* n0, ListNode* P) { + ListNode* n1 = n0->next; + n0->next = P; + P->next = n1; + } + ``` + +=== "Python" + + ```python title="linked_list.py" + """ 在链表的结点 n0 之后插入结点 P """ + def insert(n0, P): + n1 = n0.next + n0.next = P + P.next = n1 + ``` + +=== "Go" + + ```go title="linked_list.go" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + func insertNode(n0 *ListNode, P *ListNode) { + n1 := n0.Next + n0.Next = P + P.Next = n1 + } + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="linked_list.js" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + function insert(n0, P) { + const n1 = n0.next; + n0.next = P; + P.next = n1; + } + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="linked_list.ts" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void { + const n1 = n0.next; + n0.next = P; + P.next = n1; + } + ``` + +=== "C" + + ```c title="linked_list.c" + [class]{}-[func]{insertNode} + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="linked_list.cs" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + void insert(ListNode n0, ListNode P) + { + ListNode? n1 = n0.next; + n0.next = P; + P.next = n1; + } + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="linked_list.swift" + /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ + func insert(n0: ListNode, P: ListNode) { + let n1 = n0.next + n0.next = P + P.next = n1 + } + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="linked_list.zig" + // 在链表的结点 n0 之后插入结点 P + fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void { + var n1 = n0.?.next; + n0.?.next = P; + P.?.next = n1; + } + ``` + +在链表中删除结点也很方便,只需要改变一个结点指针即可。如下图所示,虽然在完成删除后结点 `P` 仍然指向 `n2` ,但实际上 `P` 已经不属于此链表了,因为遍历此链表是无法访问到 `P` 的。 + +![linkedlist_remove_node](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png) + +=== "Java" + + ```java title="linked_list.java" /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ void remove(ListNode n0) { if (n0.next == null) @@ -346,13 +446,6 @@ comments: true === "C++" ```cpp title="linked_list.cpp" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - void insert(ListNode* n0, ListNode* P) { - ListNode* n1 = n0->next; - n0->next = P; - P->next = n1; - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ void remove(ListNode* n0) { if (n0->next == nullptr) @@ -369,12 +462,6 @@ comments: true === "Python" ```python title="linked_list.py" - """ 在链表的结点 n0 之后插入结点 P """ - def insert(n0, P): - n1 = n0.next - n0.next = P - P.next = n1 - """ 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 """ def remove(n0): if not n0.next: @@ -388,13 +475,6 @@ comments: true === "Go" ```go title="linked_list.go" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - func insertNode(n0 *ListNode, P *ListNode) { - n1 := n0.Next - n0.Next = P - P.Next = n1 - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ func removeNode(n0 *ListNode) { if n0.Next == nil { @@ -410,13 +490,6 @@ comments: true === "JavaScript" ```javascript title="linked_list.js" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - function insert(n0, P) { - const n1 = n0.next; - n0.next = P; - P.next = n1; - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ function remove(n0) { if (!n0.next) @@ -431,13 +504,6 @@ comments: true === "TypeScript" ```typescript title="linked_list.ts" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - function insert(n0: ListNode, P: ListNode): void { - const n1 = n0.next; - n0.next = P; - P.next = n1; - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ function remove(n0: ListNode): void { if (!n0.next) { @@ -453,22 +519,12 @@ comments: true === "C" ```c title="linked_list.c" - [class]{}-[func]{insertNode} - [class]{}-[func]{removeNode} ``` === "C#" ```csharp title="linked_list.cs" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - void insert(ListNode n0, ListNode P) - { - ListNode? n1 = n0.next; - n0.next = P; - P.next = n1; - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ void remove(ListNode n0) { @@ -484,13 +540,6 @@ comments: true === "Swift" ```swift title="linked_list.swift" - /* 在链表的结点 n0 之后插入结点 P */ - func insert(n0: ListNode, P: ListNode) { - let n1 = n0.next - n0.next = P - P.next = n1 - } - /* 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 */ func remove(n0: ListNode) { if n0.next == nil { @@ -507,13 +556,6 @@ comments: true === "Zig" ```zig title="linked_list.zig" - // 在链表的结点 n0 之后插入结点 P - fn insert(n0: ?*inc.ListNode(i32), P: ?*inc.ListNode(i32)) void { - var n1 = n0.?.next; - n0.?.next = P; - P.?.next = n1; - } - // 删除链表的结点 n0 之后的首个结点 fn remove(n0: ?*inc.ListNode(i32)) void { if (n0.?.next == null) return; diff --git a/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/chapter_computational_complexity/time_complexity.md index f1485a602..26fb8fcd0 100755 --- a/chapter_computational_complexity/time_complexity.md +++ b/chapter_computational_complexity/time_complexity.md @@ -369,7 +369,7 @@ $$ ``` -![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png) +![time_complexity_simple_example](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)

Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势

diff --git a/chapter_data_structure/data_and_memory.md b/chapter_data_structure/data_and_memory.md index a3a0c2fdf..3e520ff83 100644 --- a/chapter_data_structure/data_and_memory.md +++ b/chapter_data_structure/data_and_memory.md @@ -80,7 +80,7 @@ $$ \end{aligned} $$ -![IEEE-754-float](data_and_memory.assets/IEEE-754-float.png) +![ieee_754_float](data_and_memory.assets/ieee_754_float.png) 以上图为例,$\mathrm{S} = 0$ , $\mathrm{E} = 124$ ,$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ,易得 diff --git a/chapter_heap/heap.md b/chapter_heap/heap.md index 7aee9075f..8554d8873 100644 --- a/chapter_heap/heap.md +++ b/chapter_heap/heap.md @@ -1427,7 +1427,7 @@ $$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 $$ -![heapify_count](heap.assets/heapify_count.png) +![heapify_operations_count](heap.assets/heapify_operations_count.png) 化简上式需要借助中学的数列知识,先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ,易得 diff --git a/chapter_preface/about_the_book.md b/chapter_preface/about_the_book.md index e9936f325..8042942e6 100644 --- a/chapter_preface/about_the_book.md +++ b/chapter_preface/about_the_book.md @@ -36,7 +36,7 @@ comments: true 本书主要内容分为复杂度分析、数据结构、算法三个部分。 -![mindmap](about_the_book.assets/mindmap.png) +![hello_algo_mindmap](about_the_book.assets/hello_algo_mindmap.png)

Fig. 知识点思维导图

diff --git a/chapter_sorting/bubble_sort.md b/chapter_sorting/bubble_sort.md index eb9e01df2..0b587e2d8 100755 --- a/chapter_sorting/bubble_sort.md +++ b/chapter_sorting/bubble_sort.md @@ -43,7 +43,7 @@ comments: true 2. 同理,对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」,可将第二大元素交换至正确位置,因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。 3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」,即可完成整个数组的排序**。 -![bubble_sort](bubble_sort.assets/bubble_sort.png) +![bubble_sort_overview](bubble_sort.assets/bubble_sort_overview.png)

Fig. 冒泡排序流程

diff --git a/chapter_sorting/insertion_sort.md b/chapter_sorting/insertion_sort.md index feb8c304c..2910c6d62 100755 --- a/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -20,7 +20,7 @@ comments: true 2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ,执行「插入操作」后,**数组前 3 个元素已完成排序**。 3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ,执行「插入操作」后,**所有元素已完成排序**。 -![insertion_sort](insertion_sort.assets/insertion_sort.png) +![insertion_sort_overview](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png)

Fig. 插入排序流程

diff --git a/chapter_sorting/merge_sort.md b/chapter_sorting/merge_sort.md index 3e7efadac..1ef291d1c 100755 --- a/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -9,7 +9,7 @@ comments: true 1. **划分阶段**:通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**,将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题; 2. **合并阶段**:划分到子数组长度为 1 时,开始向上合并,不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**,直至合并至原数组时完成排序; -![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png) +![merge_sort_overview](merge_sort.assets/merge_sort_overview.png)

Fig. 归并排序两阶段:划分与合并

diff --git a/chapter_sorting/quick_sort.md b/chapter_sorting/quick_sort.md index 69e4a2022..852c0d458 100755 --- a/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -296,7 +296,7 @@ comments: true 观察发现,快速排序和「二分查找」的原理类似,都是以对数阶的时间复杂度来缩小处理区间。 -![quick_sort](quick_sort.assets/quick_sort.png) +![quick_sort_overview](quick_sort.assets/quick_sort_overview.png)

Fig. 快速排序流程

diff --git a/chapter_tree/avl_tree.md b/chapter_tree/avl_tree.md index 232b0f819..acb3be377 100644 --- a/chapter_tree/avl_tree.md +++ b/chapter_tree/avl_tree.md @@ -8,11 +8,11 @@ comments: true 如下图所示,执行两步删除结点后,该二叉搜索树就会退化为链表。 -![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png) +![avltree_degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png) 再比如,在以下完美二叉树中插入两个结点后,树严重向左偏斜,查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。 -![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png) +![avltree_degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png) G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作,使得在不断添加与删除结点后,AVL 树仍然不会发生退化**,进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。 @@ -455,20 +455,20 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 **在不影 如下图所示(结点下方为「平衡因子」),从底至顶看,二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上,将该结点记为 `node` ,将其左子结点记为 `child` ,执行「右旋」操作。完成右旋后,该子树已经恢复平衡,并且仍然为二叉搜索树。 === "<1>" - ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png) + ![avltree_right_rotate_step1](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png) === "<2>" - ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png) + ![avltree_right_rotate_step2](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step2.png) === "<3>" - ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png) + ![avltree_right_rotate_step3](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step3.png) === "<4>" - ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png) + ![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png) 进而,如果结点 `child` 本身有右子结点(记为 `grandChild` ),则需要在「右旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。 -![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png) +![avltree_right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png) “向右旋转”是一种形象化的说法,实际需要通过修改结点指针实现,代码如下所示。 @@ -644,11 +644,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 **在不影 类似地,如果将取上述失衡二叉树的“镜像”,那么则需要「左旋」操作。 -![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png) +![avltree_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png) 同理,若结点 `child` 本身有左子结点(记为 `grandChild` ),则需要在「左旋」中添加一步:将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。 -![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png) +![avltree_left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png) 观察发现,**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的,两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性,我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地,只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ,即可得到「左旋」代码。 @@ -824,19 +824,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作,其可 **在不影 对于下图的失衡结点 3 ,**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**,此时需要「先左旋后右旋」,即先对 `child` 执行「左旋」,再对 `node` 执行「右旋」。 -![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png) +![avltree_left_right_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png) ### Case 4 - 先右后左 同理,取以上失衡二叉树的镜像,则需要「先右旋后左旋」,即先对 `child` 执行「右旋」,然后对 `node` 执行「左旋」。 -![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png) +![avltree_right_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png) ### 旋转的选择 下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应,分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。 -![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png) +![avltree_rotation_cases](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png) 具体地,在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。 diff --git a/chapter_tree/binary_search_tree.md b/chapter_tree/binary_search_tree.md index 40487f351..b2d6b58aa 100755 --- a/chapter_tree/binary_search_tree.md +++ b/chapter_tree/binary_search_tree.md @@ -22,16 +22,16 @@ comments: true - 若 `cur.val = num` ,说明找到目标结点,跳出循环并返回该结点即可; === "<1>" - ![bst_search_1](binary_search_tree.assets/bst_search_1.png) + ![bst_search_step1](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png) === "<2>" - ![bst_search_2](binary_search_tree.assets/bst_search_2.png) + ![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png) === "<3>" - ![bst_search_3](binary_search_tree.assets/bst_search_3.png) + ![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png) === "<4>" - ![bst_search_4](binary_search_tree.assets/bst_search_4.png) + ![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png) 二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙,也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度,当二叉树平衡时,使用 $O(\log n)$ 时间。 @@ -562,16 +562,16 @@ comments: true 3. 使用 `nex` 替换待删除结点; === "<1>" - ![bst_remove_case3_1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_1.png) + ![bst_remove_case3_step1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png) === "<2>" - ![bst_remove_case3_2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_2.png) + ![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png) === "<3>" - ![bst_remove_case3_3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_3.png) + ![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png) === "<4>" - ![bst_remove_case3_4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_4.png) + ![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png) 删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间,其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ,获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。