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# 二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含一个「值」和两个「指针」。

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        int val;         // 节点值
        TreeNode left;   // 左子节点指针
        TreeNode right;  // 右子节点指针
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 二叉树节点结构体 */
    struct TreeNode {
        int val;          // 节点值
        TreeNode *left;   // 左子节点指针
        TreeNode *right;  // 右子节点指针
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title=""
    class TreeNode:
        """二叉树节点类"""
        def __init__(self, val: int):
            self.val: int = val                   # 节点值
            self.left: Optional[TreeNode] = None  # 左子节点指针
            self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    /* 二叉树节点结构体 */
    type TreeNode struct {
        Val   int
        Left  *TreeNode
        Right *TreeNode
    }
    /* 节点初始化方法 */
    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
        return &TreeNode{
            Left:  nil,
            Right: nil,
            Val:   v,
        }
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title=""
    /* 二叉树节点类 */
    function TreeNode(val, left, right) {
        this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
        this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
        this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        val: number;
        left: TreeNode | null;
        right: TreeNode | null;
    
        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title=""
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        int val;          // 节点值
        TreeNode? left;   // 左子节点指针
        TreeNode? right;  // 右子节点指针
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        var val: Int // 节点值
        var left: TreeNode? // 左子节点指针
        var right: TreeNode? // 右子节点指针

        init(x: Int) {
            val = x
        }
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title=""

    ```

节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。

**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

## 二叉树常见术语

二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。

- 「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点；
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 $\text{null}$ ；
- 节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 ；
- 节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针；
- 二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量；
- 节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量；
- 节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量；

![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

!!! tip "高度与深度的定义"

    请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

## 二叉树基本操作

**初始化二叉树**。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 初始化二叉树
    # 初始化节点
    n1 = TreeNode(val=1)
    n2 = TreeNode(val=2)
    n3 = TreeNode(val=3)
    n4 = TreeNode(val=4)
    n5 = TreeNode(val=5)
    # 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    n1 := NewTreeNode(1)
    n2 := NewTreeNode(2)
    n3 := NewTreeNode(3)
    n4 := NewTreeNode(4)
    n5 := NewTreeNode(5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.Left = n2
    n1.Right = n3
    n2.Left = n4
    n2.Right = n5
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_tree.js"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"
    // 初始化节点
    let n1 = TreeNode(x: 1)
    let n2 = TreeNode(x: 2)
    let n3 = TreeNode(x: 3)
    let n4 = TreeNode(x: 4)
    let n5 = TreeNode(x: 5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

**插入与删除节点**。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。

![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode* P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除节点 P
    n1->left = n2;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 插入与删除节点
    p = TreeNode(0)
    # 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = p
    p.left = n2
    # 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 插入与删除节点 */
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    p := NewTreeNode(0)
    n1.Left = p
    p.Left = n2
    // 删除节点 P
    n1.Left = n2
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_tree.js"
    /* 插入与删除节点 */
    let P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 插入与删除节点 */
    const P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"
    let P = TreeNode(x: 0)
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P
    P.left = n2
    // 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

!!! note

    需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

## 常见二叉树类型

### 完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

!!! tip

    在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意区分。

![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)

### 完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)

### 完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)

### 平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)

## 二叉树的退化

当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。

- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势；
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；

![二叉树的最佳与最差结构](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。

<div class="center-table" markdown>

|                               | 完美二叉树 | 链表         |
| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
| 第 $i$ 层的节点数量    | $2^{i-1}$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的叶节点数量 | $2^h$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的节点总数 | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$     |
| 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$     |

</div>

## 二叉树表示方式 *

我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。

那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。

**本质上，映射公式的作用相当于链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此，我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中，利用以上映射公式来表示二叉树。

![完美二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)

然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 $\text{null}$ ，而层序遍历序列并不包含这些 $\text{null}$ 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置，**这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，在这种情况下，我们无法使用数组来存储二叉树。

![给定数组对应多种二叉树可能性](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)

为了解决这个问题，我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**并在序列中使用特殊符号来显式地表示 $\text{null}$**。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
    Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
    // 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
    vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
    ```

=== "Python"

    ```python title=""
    # 二叉树的数组表示
    # 直接使用 None 来表示空位
    tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
    tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 直接使用 null 来表示空位
    let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 直接使用 null 来表示空位
    let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
    ```

=== "C"

    ```c title=""
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
    int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
    let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]
    ```

=== "Zig"

    ```zig title=""

    ```

![任意类型二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)

**完全二叉树非常适合使用数组来表示**。回顾「完全二叉树」的定义，$\text{null}$ 只出现在最底层，并且最底层的节点尽量靠左。这意味着，**所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾**。由于我们事先知道了所有 $\text{null}$ 的位置，因此在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储它们。

![完全二叉树的数组表示](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)

数组表示具有两个显著优点：首先，它不需要存储指针，从而节省了空间；其次，它允许随机访问节点。然而，当二叉树中存在大量 $\text{null}$ 时，数组中包含的节点数据比重较低，导致有效空间利用率降低。