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# 二分查找

「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

我们先来求解一个简单的二分查找问题。

!!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。"

该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。

接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:

1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况：
    1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ；
    2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ；
    3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可；

**若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。

如下图所示，为了更清晰地表示区间，我们以折线图的形式表示数组。

=== "<0>"
    ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)

=== "<1>"
    ![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)

=== "<2>"
    ![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)

=== "<3>"
    ![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)

=== "<4>"
    ![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)

=== "<5>"
    ![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)

=== "<6>"
    ![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)

=== "<7>"
    ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)

值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。

=== "Java"

    ```java title="binary_search.java"
    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search.cpp"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search.py"
    [class]{}-[func]{binary_search}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search.go"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_search.js"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search.ts"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search.c"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search.cs"
    [class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search.swift"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search.zig"
    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。

空间复杂度为 $O(1)$  。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。

## 区间表示方法

除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。

=== "Java"

    ```java title="binary_search.java"
    [class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search.cpp"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search.py"
    [class]{}-[func]{binary_search_lcro}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search.go"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_search.js"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search.ts"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search.c"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search.cs"
    [class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search.swift"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search.zig"
    [class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
    ```

如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。

![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)

## 优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：

- **二分查找的时间效率高**。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- **二分查找无需额外空间**。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：

- **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
- **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- **小数据量下，线性查找性能更佳**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。