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# 归并排序

<u>归并排序（merge sort）</u>是一种基于分治策略的排序算法，包含下图所示的“划分”和“合并”阶段。

1. **划分阶段**：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2. **合并阶段**：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

![归并排序的划分与合并阶段](merge_sort.assets/merge_sort_overview.png)

## 算法流程

如下图所示，“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。

1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）。
2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

=== "<1>"
    ![归并排序步骤](merge_sort.assets/merge_sort_step1.png)

=== "<2>"
    ![merge_sort_step2](merge_sort.assets/merge_sort_step2.png)

=== "<3>"
    ![merge_sort_step3](merge_sort.assets/merge_sort_step3.png)

=== "<4>"
    ![merge_sort_step4](merge_sort.assets/merge_sort_step4.png)

=== "<5>"
    ![merge_sort_step5](merge_sort.assets/merge_sort_step5.png)

=== "<6>"
    ![merge_sort_step6](merge_sort.assets/merge_sort_step6.png)

=== "<7>"
    ![merge_sort_step7](merge_sort.assets/merge_sort_step7.png)

=== "<8>"
    ![merge_sort_step8](merge_sort.assets/merge_sort_step8.png)

=== "<9>"
    ![merge_sort_step9](merge_sort.assets/merge_sort_step9.png)

=== "<10>"
    ![merge_sort_step10](merge_sort.assets/merge_sort_step10.png)

观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。

- **后序遍历**：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
- **归并排序**：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。

归并排序的实现如以下代码所示。请注意，`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而 `tmp` 的对应区间为 `[0, right - left]` 。

```src
[file]{merge_sort}-[class]{}-[func]{merge_sort}
```

## 算法特性

- **时间复杂度为 $O(n \log n)$、非自适应排序**：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
- **空间复杂度为 $O(n)$、非原地排序**：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间。
- **稳定排序**：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

## 链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，**可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 $O(1)$** 。

- **划分阶段**：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
- **合并阶段**：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

具体实现细节比较复杂，有兴趣的读者可以查阅相关资料进行学习。