2023-07-16 04:24:04 +08:00
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# 构建二叉树问题
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!!! question
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给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ,请从中构建二叉树,返回二叉树的根节点。
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-21 21:54:51 +08:00
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### 判断是否为分治问题
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2023-08-27 22:49:47 +08:00
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原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树,其是一个典型的分治问题。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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- **问题可以被分解**:从分治的角度切入,我们可以将原问题划分为两个子问题:构建左子树、构建右子树,加上一步操作:初始化根节点。而对于每个子树(子问题),我们仍然可以复用以上划分方法,将其划分为更小的子树(子问题),直至达到最小子问题(空子树)时终止。
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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- **子问题是独立的**:左子树和右子树是相互独立的,它们之间没有交集。在构建左子树时,我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
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- **子问题的解可以合并**:一旦得到了左子树和右子树(子问题的解),我们就可以将它们链接到根节点上,得到原问题的解。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-21 21:54:51 +08:00
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### 如何划分子树
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2023-08-27 22:49:47 +08:00
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根据以上分析,这道题是可以使用分治来求解的,**但如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**?
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-08-27 22:49:47 +08:00
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根据定义,`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-08-22 13:51:25 +08:00
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- 前序遍历:`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ,例如上图的树对应 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
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- 中序遍历:`[ 左子树 | 根节点 | 右子树 ]` ,例如上图的树对应 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-08-27 22:49:47 +08:00
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以上图数据为例,我们可以通过下图所示的步骤得到划分结果。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-26 08:59:36 +08:00
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1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
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2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引,利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。
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3. 根据 `inorder` 划分结果,易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ,从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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### 基于变量描述子树区间
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2023-07-21 21:54:51 +08:00
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2023-08-27 22:49:47 +08:00
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根据以上划分方法,**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间,我们需要借助几个指针变量。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-26 08:59:36 +08:00
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- 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。
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- 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。
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- 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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如下表所示,通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引,以及子树在 `inorder` 中的索引区间。
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2023-08-20 23:28:30 +08:00
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2023-08-22 13:51:25 +08:00
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<p align="center"> 表 <id> 根节点和子树在前序和中序遍历中的索引 </p>
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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| | 根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 |
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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| ------ | -------------------------------- | ----------------------------- |
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| 当前树 | $i$ | $[l, r]$ |
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| 左子树 | $i + 1$ | $[l, m-1]$ |
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| 右子树 | $i + 1 + (m - l)$ | $[m+1, r]$ |
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请注意,右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”,建议配合下图理解。
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-07-21 21:54:51 +08:00
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### 代码实现
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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为了提升查询 $m$ 的效率,我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Python"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```python title="build_tree.py"
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[class]{}-[func]{dfs}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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[class]{}-[func]{build_tree}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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```
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=== "C++"
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```cpp title="build_tree.cpp"
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Java"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```java title="build_tree.java"
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[class]{build_tree}-[func]{dfs}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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[class]{build_tree}-[func]{buildTree}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="build_tree.cs"
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2023-10-15 21:18:09 +08:00
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[class]{build_tree}-[func]{DFS}
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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2023-10-08 01:33:46 +08:00
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[class]{build_tree}-[func]{BuildTree}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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```
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=== "Go"
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```go title="build_tree.go"
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2023-07-21 22:21:33 +08:00
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[class]{}-[func]{dfsBuildTree}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Swift"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```swift title="build_tree.swift"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "JS"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```javascript title="build_tree.js"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "TS"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```typescript title="build_tree.ts"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Dart"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```dart title="build_tree.dart"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Rust"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```rust title="build_tree.rs"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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[class]{}-[func]{build_tree}
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "C"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```c title="build_tree.c"
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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[class]{}-[func]{buildTree}
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```
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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=== "Zig"
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2023-07-26 11:00:53 +08:00
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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```zig title="build_tree.zig"
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2023-07-26 11:00:53 +08:00
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[class]{}-[func]{dfs}
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2023-09-04 03:19:08 +08:00
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[class]{}-[func]{buildTree}
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2023-07-26 11:00:53 +08:00
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```
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2023-07-24 03:04:55 +08:00
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下图展示了构建二叉树的递归过程,各个节点是在向下“递”的过程中建立的,而各条边(即引用)是在向上“归”的过程中建立的。
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<1>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<2>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step2](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step2.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<3>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step3](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step3.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<4>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step4](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step4.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<5>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step5](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step5.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<6>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step6](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step6.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<7>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step7](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step7.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<8>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step8](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step8.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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=== "<9>"
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2023-07-17 02:18:53 +08:00
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![built_tree_step9](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step9.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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2023-08-30 02:52:50 +08:00
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每个递归函数内的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 的划分结果如下图所示。
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![每个递归函数中的划分结果](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_overall.png)
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2023-07-16 04:24:04 +08:00
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设树的节点数量为 $n$ ,初始化每一个节点(执行一个递归函数 `dfs()` )使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。
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哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射,空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下,即二叉树退化为链表时,递归深度达到 $n$ ,使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。
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