hello-algo/docs/chapter_graph/graph_traversal.md

968 lines
54 KiB
Markdown
Raw Normal View History

2023-10-06 13:31:21 +08:00
---
comments: true
---
# 9.3   图的遍历
2023-12-02 06:24:05 +08:00
树代表的是“一对多”的关系,而图则具有更高的自由度,可以表示任意的“多对多”关系。因此,我们可以把树看作图的一种特例。显然,**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
2023-12-28 17:18:37 +08:00
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种:「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
## 9.3.1   广度优先遍历
2023-12-02 06:24:05 +08:00
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式,从某个节点出发,始终优先访问距离最近的顶点,并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示,从左上角顶点出发,首先遍历该顶点的所有邻接顶点,然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点,以此类推,直至所有顶点访问完毕。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 9-9 &nbsp; 图的广度优先遍历 </p>
### 1. &nbsp; 算法实现
2023-12-02 06:24:05 +08:00
BFS 通常借助队列来实现,代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质,这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列,并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中,弹出队首顶点并记录访问,然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
2023-12-02 06:24:05 +08:00
3. 循环步骤 `2.` ,直到所有顶点被访问完毕后结束。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
为了防止重复遍历顶点,我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。
=== "Python"
```python title="graph_bfs.py"
2023-10-06 14:10:18 +08:00
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
2023-12-28 17:18:37 +08:00
"""广度优先遍历"""
2023-10-06 14:10:18 +08:00
# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]([start_vet])
# 队列用于实现 BFS
que = deque[Vertex]([start_vet])
# 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while len(que) > 0:
vet = que.popleft() # 队首顶点出队
res.append(vet) # 记录访问顶点
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue # 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
# 返回顶点遍历序列
return res
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C++"
```cpp title="graph_bfs.cpp"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex *> res;
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
// 队列用于实现 BFS
queue<Vertex *> que;
que.push(startVet);
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (!que.empty()) {
Vertex *vet = que.front();
que.pop(); // 队首顶点出队
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Java"
```java title="graph_bfs.java"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
que.offer(startVet);
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C#"
```csharp title="graph_bfs.cs"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
2023-10-08 01:43:28 +08:00
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 顶点遍历序列
2023-11-27 02:32:06 +08:00
List<Vertex> res = [];
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
2023-11-27 02:32:06 +08:00
HashSet<Vertex> visited = [startVet];
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 队列用于实现 BFS
2023-10-08 01:43:28 +08:00
Queue<Vertex> que = new();
2023-10-06 14:10:18 +08:00
que.Enqueue(startVet);
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (que.Count > 0) {
Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
res.Add(vet); // 记录访问顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.Enqueue(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.Add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Go"
```go title="graph_bfs.go"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
visited[startVet] = struct{}{}
// 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
queue := make([]Vertex, 0)
queue = append(queue, startVet)
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
for len(queue) > 0 {
// 队首顶点出队
vet := queue[0]
queue = queue[1:]
// 记录访问顶点
res = append(res, vet)
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 只入队未访问的顶点
if !isExist {
queue = append(queue, adjVet)
visited[adjVet] = struct{}{}
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Swift"
```swift title="graph_bfs.swift"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = [startVet]
// 队列用于实现 BFS
var que: [Vertex] = [startVet]
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while !que.isEmpty {
let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
res.append(vet) // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "JS"
```javascript title="graph_bfs.js"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "TS"
```typescript title="graph_bfs.ts"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Dart"
```dart title="graph_bfs.dart"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = {};
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = Queue();
que.add(startVet);
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (que.isNotEmpty) {
Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Rust"
```rust title="graph_bfs.rs"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
visited.insert(start_vet);
// 队列用于实现 BFS
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(start_vet);
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while !que.is_empty() {
let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
2024-03-18 03:11:07 +08:00
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C"
```c title="graph_bfs.c"
2023-10-29 20:01:26 +08:00
/* 节点队列结构体 */
typedef struct {
Vertex *vertices[MAX_SIZE];
int front, rear, size;
} Queue;
/* 构造函数 */
Queue *newQueue() {
Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
q->front = q->rear = q->size = 0;
return q;
}
/* 判断队列是否为空 */
int isEmpty(Queue *q) {
return q->size == 0;
}
/* 入队操作 */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
q->vertices[q->rear] = vet;
q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
q->size++;
}
/* 出队操作 */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
Vertex *vet = q->vertices[q->front];
q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
q->size--;
return vet;
}
/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
// 遍历查找节点,使用 O(n) 时间
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (visited[i] == vet)
return 1;
}
return 0;
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 广度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
2023-10-29 20:01:26 +08:00
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 队列用于实现 BFS
2023-10-29 20:01:26 +08:00
Queue *queue = newQueue();
enqueue(queue, startVet);
visited[(*visitedSize)++] = startVet;
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
2023-10-29 20:01:26 +08:00
while (!isEmpty(queue)) {
Vertex *vet = dequeue(queue); // 队首顶点出队
res[(*resSize)++] = vet; // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
// 跳过已被访问的顶点
2023-10-29 20:01:26 +08:00
if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
enqueue(queue, node->vertex); // 只入队未访问的顶点
visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
2023-10-29 20:01:26 +08:00
node = node->next;
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
}
// 释放内存
2023-10-29 20:01:26 +08:00
free(queue);
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
2024-03-25 22:43:12 +08:00
=== "Kotlin"
```kotlin title="graph_bfs.kt"
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): List<Vertex> {
// 顶点遍历序列
val res: MutableList<Vertex> = ArrayList()
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
val visited: MutableSet<Vertex> = HashSet()
visited.add(startVet)
// 队列用于实现 BFS
val que: Queue<Vertex> = LinkedList()
que.offer(startVet)
// 以顶点 vet 为起点,循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
val vet = que.poll() // 队首顶点出队
res.add(vet) // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet)) continue // 跳过已被访问的顶点
que.offer(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet) // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
```
2024-03-31 03:53:04 +08:00
=== "Ruby"
```ruby title="graph_bfs.rb"
[class]{}-[func]{graph_bfs}
```
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "Zig"
```zig title="graph_bfs.zig"
[class]{}-[func]{graphBFS}
```
2024-01-07 23:42:54 +08:00
??? pythontutor "可视化运行"
2024-01-09 16:00:24 +08:00
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E9%98%9F%E5%88%97%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AE%9E%E7%8E%B0%20BFS%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%20vet%20%E4%B8%BA%E8%B5%B7%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%9B%B4%E8%87%B3%E8%AE%BF%E9%97%AE%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%20%20%23%20%E9%98%9F%E9%A6%96%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%87%BA%E9%98%9F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%20%20%23%20%E5%8F%AA%E5%85%A5%E9%98%9F%E6%9C%AA%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=from%20collections%20import%20deque%0A%0Aclass%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20graph_bfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B9%BF%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E9%98%9F%E5%88%97%E7%94%A8%E4%BA%8E%E5%AE%9E%E7%8E%B0%20BFS%0A%20%20%20%20que%20%3D%20deque%5BVertex%5D%28%5Bstart_vet%5D%29%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%20vet%20%E4%B8%BA%E8%B5%B7%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%9B%B4%E8%87%B3%E8%AE%BF%E9%97%AE%E5%AE%8C%E6%89%80%E6%9C%89%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20while%20len%28que%29%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vet%20%3D%20que.popleft%28%29%20%20%23%20%E9%98%9F%E9%A6%96%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%87%BA%E9%98%9F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20adj_vet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adj_vet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20que.append%28adj_vet%29%20%20%23%20%E5%8F%AA%E5%85%A5%E9%98%9F%E6%9C%AA%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20visited.add%28adj_vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9
2024-01-07 23:42:54 +08:00
2023-10-06 13:31:21 +08:00
代码相对抽象,建议对照图 9-10 来加深理解。
=== "<1>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<2>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<3>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<4>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<5>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<6>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<7>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<8>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<9>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<10>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<11>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 9-10 &nbsp; 图的广度优先遍历步骤 </p>
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一?"
2023-12-02 06:24:05 +08:00
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历,**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以图 9-10 为例,顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换,顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
### 2. &nbsp; 复杂度分析
2023-12-02 06:24:05 +08:00
**时间复杂度**:所有顶点都会入队并出队一次,使用 $O(|V|)$ 时间;在遍历邻接顶点的过程中,由于是无向图,因此所有边都会被访问 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
2023-12-02 06:24:05 +08:00
**空间复杂度**:列表 `res` ,哈希表 `visited` ,队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ,使用 $O(|V|)$ 空间。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
## 9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如图 9-11 所示,从左上角顶点出发,访问当前顶点的某个邻接顶点,直到走到尽头时返回,再继续走到尽头并返回,以此类推,直至所有顶点遍历完成。
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 9-11 &nbsp; 图的深度优先遍历 </p>
### 1. &nbsp; 算法实现
2023-12-02 06:24:05 +08:00
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似,在深度优先遍历中,我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点,以避免重复访问顶点。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "Python"
```python title="graph_dfs.py"
2023-10-06 14:10:18 +08:00
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
2023-12-28 17:18:37 +08:00
"""深度优先遍历辅助函数"""
2023-10-06 14:10:18 +08:00
res.append(vet) # 记录访问顶点
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue # 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
2023-12-28 17:18:37 +08:00
"""深度优先遍历"""
2023-10-06 14:10:18 +08:00
# 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]()
dfs(graph, visited, res, start_vet)
return res
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C++"
```cpp title="graph_dfs.cpp"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex *> res;
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex *> visited;
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Java"
```java title="graph_dfs.java"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C#"
```csharp title="graph_dfs.cs"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-15 21:18:21 +08:00
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
2023-10-06 14:10:18 +08:00
res.Add(vet); // 记录访问顶点
visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
if (visited.Contains(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
2023-10-15 21:18:21 +08:00
DFS(graph, visited, res, adjVet);
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
2023-10-08 01:43:28 +08:00
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 顶点遍历序列
2023-11-27 02:32:06 +08:00
List<Vertex> res = [];
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
2023-11-27 02:32:06 +08:00
HashSet<Vertex> visited = [];
2023-10-15 21:18:21 +08:00
DFS(graph, visited, res, startVet);
2023-10-06 14:10:18 +08:00
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Go"
```go title="graph_dfs.go"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
// append 操作会返回新的的引用必须让原引用重新赋值为新slice的引用
*res = append(*res, vet)
visited[vet] = struct{}{}
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 递归访问邻接顶点
if !isExist {
dfs(g, visited, res, adjVet)
}
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
dfs(g, visited, &res, startVet)
// 返回顶点遍历序列
return res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Swift"
```swift title="graph_dfs.swift"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
res.append(vet) // 记录访问顶点
visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = []
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
return res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "JS"
```javascript title="graph_dfs.js"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "TS"
```typescript title="graph_dfs.ts"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
function dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: Set<Vertex>,
res: Vertex[],
vet: Vertex
): void {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Dart"
```dart title="graph_dfs.dart"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
void dfs(
GraphAdjList graph,
Set<Vertex> visited,
List<Vertex> res,
Vertex vet,
) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
if (visited.contains(adjVet)) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = [];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = {};
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Rust"
```rust title="graph_dfs.rs"
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
continue; // 跳过已被访问的顶点
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adj_vet);
}
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);
res
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C"
```c title="graph_dfs.c"
2023-10-29 20:01:26 +08:00
/* 检查顶点是否已被访问 */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
// 遍历查找节点,使用 O(n) 时间
for (int i = 0; i < size; i++) {
if (res[i] == vet) {
return 1;
}
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
2023-10-29 20:01:26 +08:00
return 0;
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历辅助函数 */
2023-10-29 20:01:26 +08:00
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
// 记录访问顶点
res[(*resSize)++] = vet;
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
while (node != NULL) {
2023-12-02 06:24:05 +08:00
// 跳过已被访问的顶点
2023-10-29 20:01:26 +08:00
if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
}
node = node->next;
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
}
2023-12-28 17:18:37 +08:00
/* 深度优先遍历 */
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
2023-10-29 20:01:26 +08:00
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
dfs(graph, res, resSize, startVet);
2023-10-06 14:10:18 +08:00
}
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
2024-03-25 22:43:12 +08:00
=== "Kotlin"
```kotlin title="graph_dfs.kt"
/* 深度优先遍历辅助函数 */
fun dfs(
graph: GraphAdjList,
visited: MutableSet<Vertex?>,
res: MutableList<Vertex?>,
vet: Vertex?
) {
res.add(vet) // 记录访问顶点
visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
if (visited.contains(adjVet)) continue // 跳过已被访问的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图,以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fun graphDFS(
graph: GraphAdjList,
startVet: Vertex?
): List<Vertex?> {
// 顶点遍历序列
val res: MutableList<Vertex?> = ArrayList()
// 哈希表,用于记录已被访问过的顶点
val visited: MutableSet<Vertex?> = HashSet()
dfs(graph, visited, res, startVet)
return res
}
```
2024-03-31 03:53:04 +08:00
=== "Ruby"
```ruby title="graph_dfs.rb"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{graph_dfs}
```
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "Zig"
```zig title="graph_dfs.zig"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{graphDFS}
```
2024-01-07 23:42:54 +08:00
??? pythontutor "可视化运行"
2024-01-09 16:00:24 +08:00
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20visited%3A%20set%5BVertex%5D,%20res%3A%20list%5BVertex%5D,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%BE%85%E5%8A%A9%E5%87%BD%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20adjVet%29%0A%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E6%9D%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E4%BB%A5%E4%BE%BF%E8%8E%B7%E5%8F%96%E6%8C%87%E5%AE%9A%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20Vertex%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%0Adef%20vals_to_vets%28vals%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5B%22Vertex%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%80%BC%E5%88%97%E8%A1%A8%20vals%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%88%97%E8%A1%A8%20vets%22%22%22%0A%20%20%20%20return%20%5BVertex%28val%29%20for%20val%20in%20vals%5D%0A%0Aclass%20GraphAdjList%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9F%BA%E4%BA%8E%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E7%9A%84%E6%97%A0%E5%90%91%E5%9B%BE%E7%B1%BB%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20edges%3A%20list%5Blist%5BVertex%5D%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%20%3D%20dict%5BVertex,%20list%5BVertex%5D%5D%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B0%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_vertex%28edge%5B1%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.add_edge%28edge%5B0%5D,%20edge%5B1%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_edge%28self,%20vet1%3A%20Vertex,%20vet2%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E8%BE%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet1%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet2%20not%20in%20self.adj_list%20or%20vet1%20%3D%3D%20vet2%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError%28%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet1%5D.append%28vet2%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet2%5D.append%28vet1%29%0A%0A%20%20%20%20def%20add_vertex%28self,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%BB%E5%8A%A0%E9%A1%B6%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20vet%20in%20self.adj_list%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.adj_list%5Bvet%5D%20%3D%20%5B%5D%0A%0A%0Adef%20dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20visited%3A%20set%5BVertex%5D,%20res%3A%20list%5BVertex%5D,%20vet%3A%20Vertex%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%BE%85%E5%8A%A9%E5%87%BD%E6%95%B0%22%22%22%0A%20%20%20%20res.append%28vet%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited.add%28vet%29%20%20%23%20%E6%A0%87%E8%AE%B0%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20for%20adjVet%20in%20graph.adj_list%5Bvet%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20adjVet%20in%20visited%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%20%20%23%20%E8%B7%B3%E8%BF%87%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E8%AE%BF%E9%97%AE%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20adjVet%29%0A%0A%0Adef%20graph_dfs%28graph%3A%20GraphAdjList,%20start_vet%3A%20Vertex%29%20-%3E%20list%5BVertex%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B7%B1%E5%BA%A6%E4%BC%98%E5%85%88%E9%81%8D%E5%8E%86%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E9%82%BB%E6%8E%A5%E8%A1%A8%E6%9D%A5%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E4%BB%A5%E4%BE%BF%E8%8E%B7%E5%8F%96%E6%8C%87%E5%AE%9A%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%89%80%E6%9C%89%E9%82%BB%E6%8E%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%23%20%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%81%8D%E5%8E%86%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%93%88%E5%B8%8C%E8%A1%A8%EF%BC%8C%E7%94%A8%E4%BA%8E%E8%AE%B0%E5%BD%95%E5%B7%B2%E8%A2%AB%E8%AE%BF%E9%97%AE%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%0A%20%20%20%20visited%20%3D%20set%5BVertex%5D%28%29%0A%20%20%20%20dfs%28graph,%20visited,%20res,%20start_vet%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20
2024-01-07 23:42:54 +08:00
2023-10-06 13:31:21 +08:00
深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。
- **直虚线代表向下递推**,表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
2023-12-02 06:24:05 +08:00
- **曲虚线代表向上回溯**,表示此递归方法已经返回,回溯到了开启此方法的位置。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
2023-12-02 06:24:05 +08:00
为了加深理解,建议将图 9-12 与代码结合起来,在脑中模拟(或者用笔画下来)整个 DFS 过程,包括每个递归方法何时开启、何时返回。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<1>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<2>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<3>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<4>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<5>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<6>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<7>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<8>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<9>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<10>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
=== "<11>"
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png){ class="animation-figure" }
2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 9-12 &nbsp; 图的深度优先遍历步骤 </p>
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一?"
与广度优先遍历类似,深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点,先往哪个方向探索都可以,即邻接顶点的顺序可以任意打乱,都是深度优先遍历。
2023-12-02 06:24:05 +08:00
以树的遍历为例,“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历,它们展示了三种遍历优先级,然而这三者都属于深度优先遍历。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
### 2. &nbsp; 复杂度分析
2023-12-02 06:24:05 +08:00
**时间复杂度**:所有顶点都会被访问 $1$ 次,使用 $O(|V|)$ 时间;所有边都会被访问 $2$ 次,使用 $O(2|E|)$ 时间;总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
2023-10-06 13:31:21 +08:00
2023-12-02 06:24:05 +08:00
**空间复杂度**:列表 `res` ,哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ,递归深度最大为 $|V|$ ,因此使用 $O(|V|)$ 空间。