--- comments: true --- # 9.3 图的遍历树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。 ## 9.3.1 广度优先遍历 **广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。 ![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png){ class="animation-figure" }

图 9-9 图的广度优先遍历

### 1. 算法实现 BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。 1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环。 2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。 3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完毕后结束。为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。 === "Python" ```python title="graph_bfs.py" def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]: """广度优先遍历""" # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 # 顶点遍历序列 res = [] # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 visited = set[Vertex]([start_vet]) # 队列用于实现 BFS que = deque[Vertex]([start_vet]) # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while len(que) > 0: vet = que.popleft() # 队首顶点出队 res.append(vet) # 记录访问顶点 # 遍历该顶点的所有邻接顶点 for adj_vet in graph.adj_list[vet]: if adj_vet in visited: continue # 跳过已被访问的顶点 que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点 visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问 # 返回顶点遍历序列 return res ``` === "C++" ```cpp title="graph_bfs.cpp" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 vector graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) { // 顶点遍历序列 vector res; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 unordered_set visited = {startVet}; // 队列用于实现 BFS queue que; que.push(startVet); // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (!que.empty()) { Vertex *vet = que.front(); que.pop(); // 队首顶点出队 res.push_back(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) { if (visited.count(adjVet)) continue; // 跳过已被访问的顶点 que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点 visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "Java" ```java title="graph_bfs.java" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 List graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = new ArrayList<>(); // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 Set visited = new HashSet<>(); visited.add(startVet); // 队列用于实现 BFS Queue que = new LinkedList<>(); que.offer(startVet); // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (!que.isEmpty()) { Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队 res.add(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) { if (visited.contains(adjVet)) continue; // 跳过已被访问的顶点 que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点 visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "C#" ```csharp title="graph_bfs.cs" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 List GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 HashSet visited = [startVet]; // 队列用于实现 BFS Queue que = new(); que.Enqueue(startVet); // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (que.Count > 0) { Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队 res.Add(vet); // 记录访问顶点 foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) { if (visited.Contains(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } que.Enqueue(adjVet); // 只入队未访问的顶点 visited.Add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "Go" ```go title="graph_bfs.go" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex { // 顶点遍历序列 res := make([]Vertex, 0) // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 visited := make(map[Vertex]struct{}) visited[startVet] = struct{}{} // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列 queue := make([]Vertex, 0) queue = append(queue, startVet) // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 for len(queue) > 0 { // 队首顶点出队 vet := queue[0] queue = queue[1:] // 记录访问顶点 res = append(res, vet) // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for _, adjVet := range g.adjList[vet] { _, isExist := visited[adjVet] // 只入队未访问的顶点 if !isExist { queue = append(queue, adjVet) visited[adjVet] = struct{}{} } } } // 返回顶点遍历序列 return res } ``` === "Swift" ```swift title="graph_bfs.swift" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] { // 顶点遍历序列 var res: [Vertex] = [] // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 var visited: Set = [startVet] // 队列用于实现 BFS var que: [Vertex] = [startVet] // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while !que.isEmpty { let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队 res.append(vet) // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] { if visited.contains(adjVet) { continue // 跳过已被访问的顶点 } que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点 visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res } ``` === "JS" ```javascript title="graph_bfs.js" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 function graphBFS(graph, startVet) { // 顶点遍历序列 const res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 const visited = new Set(); visited.add(startVet); // 队列用于实现 BFS const que = [startVet]; // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (que.length) { const vet = que.shift(); // 队首顶点出队 res.push(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) { if (visited.has(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点 visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "TS" ```typescript title="graph_bfs.ts" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] { // 顶点遍历序列 const res: Vertex[] = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 const visited: Set = new Set(); visited.add(startVet); // 队列用于实现 BFS const que = [startVet]; // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (que.length) { const vet = que.shift(); // 队首顶点出队 res.push(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) { if (visited.has(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } que.push(adjVet); // 只入队未访问 visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "Dart" ```dart title="graph_bfs.dart" /* 广度优先遍历 */ List graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 // 顶点遍历序列 List res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 Set visited = {}; visited.add(startVet); // 队列用于实现 BFS Queue que = Queue(); que.add(startVet); // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (que.isNotEmpty) { Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队 res.add(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) { if (visited.contains(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点 visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res; } ``` === "Rust" ```rust title="graph_bfs.rs" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec { // 顶点遍历序列 let mut res = vec![]; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 let mut visited = HashSet::new(); visited.insert(start_vet); // 队列用于实现 BFS let mut que = VecDeque::new(); que.push_back(start_vet); // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while !que.is_empty() { let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队 res.push(vet); // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) { for &adj_vet in adj_vets { if visited.contains(&adj_vet) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点 visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问 } } } // 返回顶点遍历序列 res } ``` === "C" ```c title="graph_bfs.c" /* 节点队列结构体 */ typedef struct { Vertex *vertices[MAX_SIZE]; int front, rear, size; } Queue; /* 构造函数 */ Queue *newQueue() { Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue)); q->front = q->rear = q->size = 0; return q; } /* 判断队列是否为空 */ int isEmpty(Queue *q) { return q->size == 0; } /* 入队操作 */ void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) { q->vertices[q->rear] = vet; q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE; q->size++; } /* 出队操作 */ Vertex *dequeue(Queue *q) { Vertex *vet = q->vertices[q->front]; q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE; q->size--; return vet; } /* 检查顶点是否已被访问 */ int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) { // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间 for (int i = 0; i < size; i++) { if (visited[i] == vet) return 1; } return 0; } /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) { // 队列用于实现 BFS Queue *queue = newQueue(); enqueue(queue, startVet); visited[(*visitedSize)++] = startVet; // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (!isEmpty(queue)) { Vertex *vet = dequeue(queue); // 队首顶点出队 res[(*resSize)++] = vet; // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 AdjListNode *node = findNode(graph, vet); while (node != NULL) { // 跳过已被访问的顶点 if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) { enqueue(queue, node->vertex); // 只入队未访问的顶点 visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 标记该顶点已被访问 } node = node->next; } } // 释放内存 free(queue); } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="graph_bfs.kt" /* 广度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): List { // 顶点遍历序列 val res: MutableList = ArrayList() // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 val visited: MutableSet = HashSet() visited.add(startVet) // 队列用于实现 BFS val que: Queue = LinkedList() que.offer(startVet) // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 while (!que.isEmpty()) { val vet = que.poll() // 队首顶点出队 res.add(vet) // 记录访问顶点 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) { if (visited.contains(adjVet)) continue // 跳过已被访问的顶点 que.offer(adjVet) // 只入队未访问的顶点 visited.add(adjVet) // 标记该顶点已被访问 } } // 返回顶点遍历序列 return res } ``` === "Ruby" ```ruby title="graph_bfs.rb" [class]{}-[func]{graph_bfs} ``` === "Zig" ```zig title="graph_bfs.zig" [class]{}-[func]{graphBFS} ``` ??? pythontutor "可视化运行"

代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。 === "<1>" ![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png){ class="animation-figure" } === "<9>" ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png){ class="animation-figure" } === "<10>" ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png){ class="animation-figure" } === "<11>" ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png){ class="animation-figure" }

图 9-10 图的广度优先遍历步骤

!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？" 不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。 ### 2. 复杂度分析 **时间复杂度**：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 **空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。 ## 9.3.2 深度优先遍历 **深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。 ![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png){ class="animation-figure" }

图 9-11 图的深度优先遍历

### 1. 算法实现这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。 === "Python" ```python title="graph_dfs.py" def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex): """深度优先遍历辅助函数""" res.append(vet) # 记录访问顶点 visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问 # 遍历该顶点的所有邻接顶点 for adjVet in graph.adj_list[vet]: if adjVet in visited: continue # 跳过已被访问的顶点 # 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet) def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]: """深度优先遍历""" # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 # 顶点遍历序列 res = [] # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 visited = set[Vertex]() dfs(graph, visited, res, start_vet) return res ``` === "C++" ```cpp title="graph_dfs.cpp" /* 深度优先遍历辅助函数 */ void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set &visited, vector &res, Vertex *vet) { res.push_back(vet); // 记录访问顶点 visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) { if (visited.count(adjVet)) continue; // 跳过已被访问的顶点 // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 vector graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) { // 顶点遍历序列 vector res; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 unordered_set visited; dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "Java" ```java title="graph_dfs.java" /* 深度优先遍历辅助函数 */ void dfs(GraphAdjList graph, Set visited, List res, Vertex vet) { res.add(vet); // 记录访问顶点 visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) { if (visited.contains(adjVet)) continue; // 跳过已被访问的顶点 // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 List graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = new ArrayList<>(); // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 Set visited = new HashSet<>(); dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "C#" ```csharp title="graph_dfs.cs" /* 深度优先遍历辅助函数 */ void DFS(GraphAdjList graph, HashSet visited, List res, Vertex vet) { res.Add(vet); // 记录访问顶点 visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) { if (visited.Contains(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 DFS(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 List GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 HashSet visited = []; DFS(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "Go" ```go title="graph_dfs.go" /* 深度优先遍历辅助函数 */ func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) { // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用 *res = append(*res, vet) visited[vet] = struct{}{} // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for _, adjVet := range g.adjList[vet] { _, isExist := visited[adjVet] // 递归访问邻接顶点 if !isExist { dfs(g, visited, res, adjVet) } } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex { // 顶点遍历序列 res := make([]Vertex, 0) // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 visited := make(map[Vertex]struct{}) dfs(g, visited, &res, startVet) // 返回顶点遍历序列 return res } ``` === "Swift" ```swift title="graph_dfs.swift" /* 深度优先遍历辅助函数 */ func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set, res: inout [Vertex], vet: Vertex) { res.append(vet) // 记录访问顶点 visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] { if visited.contains(adjVet) { continue // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet) } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] { // 顶点遍历序列 var res: [Vertex] = [] // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 var visited: Set = [] dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet) return res } ``` === "JS" ```javascript title="graph_dfs.js" /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 function dfs(graph, visited, res, vet) { res.push(vet); // 记录访问顶点 visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) { if (visited.has(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 function graphDFS(graph, startVet) { // 顶点遍历序列 const res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 const visited = new Set(); dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "TS" ```typescript title="graph_dfs.ts" /* 深度优先遍历辅助函数 */ function dfs( graph: GraphAdjList, visited: Set, res: Vertex[], vet: Vertex ): void { res.push(vet); // 记录访问顶点 visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) { if (visited.has(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] { // 顶点遍历序列 const res: Vertex[] = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 const visited: Set = new Set(); dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "Dart" ```dart title="graph_dfs.dart" /* 深度优先遍历辅助函数 */ void dfs( GraphAdjList graph, Set visited, List res, Vertex vet, ) { res.add(vet); // 记录访问顶点 visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) { if (visited.contains(adjVet)) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet); } } /* 深度优先遍历 */ List graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { // 顶点遍历序列 List res = []; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 Set visited = {}; dfs(graph, visited, res, startVet); return res; } ``` === "Rust" ```rust title="graph_dfs.rs" /* 深度优先遍历辅助函数 */ fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet, res: &mut Vec, vet: Vertex) { res.push(vet); // 记录访问顶点 visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) { for &adj_vet in adj_vets { if visited.contains(&adj_vet) { continue; // 跳过已被访问的顶点 } // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adj_vet); } } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec { // 顶点遍历序列 let mut res = vec![]; // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 let mut visited = HashSet::new(); dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet); res } ``` === "C" ```c title="graph_dfs.c" /* 检查顶点是否已被访问 */ int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) { // 遍历查找节点，使用 O(n) 时间 for (int i = 0; i < size; i++) { if (res[i] == vet) { return 1; } } return 0; } /* 深度优先遍历辅助函数 */ void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) { // 记录访问顶点 res[(*resSize)++] = vet; // 遍历该顶点的所有邻接顶点 AdjListNode *node = findNode(graph, vet); while (node != NULL) { // 跳过已被访问的顶点 if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) { // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, res, resSize, node->vertex); } node = node->next; } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) { dfs(graph, res, resSize, startVet); } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="graph_dfs.kt" /* 深度优先遍历辅助函数 */ fun dfs( graph: GraphAdjList, visited: MutableSet, res: MutableList, vet: Vertex? ) { res.add(vet) // 记录访问顶点 visited.add(vet) // 标记该顶点已被访问 // 遍历该顶点的所有邻接顶点 for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) { if (visited.contains(adjVet)) continue // 跳过已被访问的顶点 // 递归访问邻接顶点 dfs(graph, visited, res, adjVet) } } /* 深度优先遍历 */ // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 fun graphDFS( graph: GraphAdjList, startVet: Vertex? ): List { // 顶点遍历序列 val res: MutableList = ArrayList() // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 val visited: MutableSet = HashSet() dfs(graph, visited, res, startVet) return res } ``` === "Ruby" ```ruby title="graph_dfs.rb" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graph_dfs} ``` === "Zig" ```zig title="graph_dfs.zig" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{graphDFS} ``` ??? pythontutor "可视化运行"

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深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。 - **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。 - **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。为了加深理解，建议将图 9-12 与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。 === "<1>" ![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png){ class="animation-figure" } === "<9>" ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png){ class="animation-figure" } === "<10>" ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png){ class="animation-figure" } === "<11>" ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png){ class="animation-figure" }

图 9-12 图的深度优先遍历步骤

!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？" 与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。 ### 2. 复杂度分析 **时间复杂度**：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 **空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。