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# 二分查找

「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。

使用二分查找有两个前置条件：

- **要求输入数据是有序的**，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
- **二分查找仅适用于数组**，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。

## 算法实现

给定一个长度为 $n$ 的排序数组 `nums` ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为

$$
0, 1, 2, \cdots, n-1
$$

使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：

1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 $[0, 0]$ 仍包含一个元素；
2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 $[0, 0)$ 为空；

### “双闭区间”实现

首先，我们先采用“双闭区间”的表示，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。

=== "Step 1"
    ![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)

=== "Step 2"
    ![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)

=== "Step 3"
    ![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)

=== "Step 4"
    ![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)

=== "Step 5"
    ![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)

=== "Step 6"
    ![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)

=== "Step 7"
    ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)

二分查找“双闭区间”表示下的代码如下所示。

=== "Java"

    ```java title="binary_search.java"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search.cpp"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.size() - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search.py"
    """ 二分查找（双闭区间） """
    def binary_search(nums, target):
        # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        i, j = 0, len(nums) - 1
        while i <= j:
            m = (i + j) // 2        # 计算中点索引 m
            if nums[m] < target:    # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1
            elif nums[m] > target:  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1
            else:
                return m            # 找到目标元素，返回其索引
        return -1                   # 未找到目标元素，返回 -1
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search.go"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    func binarySearch(nums []int, target int) int {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        i, j := 0, len(nums)-1
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        for i <= j {
            m := (i + j) / 2                // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1
            } else {                        // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_search.js"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    function binarySearch(nums, target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        let i = 0, j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            let m = parseInt((i + j) / 2); // 计算中点索引 m ，在 JS 中需使用 parseInt 函数取整
            if (nums[m] < target)          // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target)     // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else
                return m;                  // 找到目标元素，返回其索引
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search.ts"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    const binarySearch = function (nums: number[], target: number): number {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        let i = 0, j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);  // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target) {                 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            } else if (nums[m] > target) {          // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search.cs"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(int[] nums, int target)
    {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.Length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j)
        {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search.swift"
    /* 二分查找（双闭区间） */
    func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        var i = 0
        var j = nums.count - 1
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while i <= j {
            let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    ```

### “左闭右开”实现

当然，我们也可以使用“左闭右开”的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。

=== "Java"

    ```java title="binary_search.java"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearch1(int[] nums, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search.cpp"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.size();
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search.py"
    """ 二分查找（左闭右开） """
    def binary_search1(nums, target):
        # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        i, j = 0, len(nums)
        # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while i < j:
            m = (i + j) // 2        # 计算中点索引 m
            if nums[m] < target:    # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1
            elif nums[m] > target:  # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m
            else:                   # 找到目标元素，返回其索引
                return m
        return -1                   # 未找到目标元素，返回 -1
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search.go"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    func binarySearch1(nums []int, target int) int {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        i, j := 0, len(nums)
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        for i < j {
            m := (i + j) / 2             // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target {        // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m
            } else {                     // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_search.js"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    function binarySearch1(nums, target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        let i = 0, j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            let m = parseInt((i + j) / 2); // 计算中点索引 m ，在 JS 中需使用 parseInt 函数取整
            if (nums[m] < target)          // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target)     // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else                           // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search.ts"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    const binarySearch1 = function (nums: number[], target: number): number {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        let i = 0, j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);  // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target) {                 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            } else if (nums[m] > target) {          // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search.cs"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearch1(int[] nums, int target)
    {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.Length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j)
        {
            int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search.swift"
    /* 二分查找（左闭右开） */
    func binarySearch1(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        var i = 0
        var j = nums.count
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while i < j {
            let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    ```

### 两种表示对比

对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：

<div class="center-table" markdown>

| 表示方法            | 初始化指针          | 缩小区间                  | 循环终止条件 |
| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$      |
| 左闭右开 $[0, n)$   | $i = 0$ , $j = n$   | $i = m + 1$ , $j = m$     | $i = j$      |

</div>

观察发现，在“双闭区间”表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 $i$ , $j$ 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，**建议你采用“双闭区间”的写法。**

### 大数越界处理

当数组长度很大时，加法 $i + j$ 的结果有可能会超出 `int` 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。

=== "Java"

    ```java title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    int m = (i + j) / 2;
    // 更换为此写法则不会越界
    int m = i + (j - i) / 2;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    int m = (i + j) / 2;
    // 更换为此写法则不会越界
    int m = i + (j - i) / 2;
    ```

=== "Python"

    ```py title=""
    # Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小）
    # 因此无需考虑大数越界问题
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    m := (i + j) / 2
    // 更换为此写法则不会越界
    m := i + (j - i) / 2
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    let m = parseInt((i + j) / 2);
    // 更换为此写法则不会越界
    let m = parseInt(i + (j - i) / 2);
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    // (i + j) 有可能超出 Number 的取值范围
    let m = Math.floor((i + j) / 2);
    // 更换为此写法则不会越界
    let m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
    ```

=== "C"

    ```c title=""

    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    int m = (i + j) / 2;
    // 更换为此写法则不会越界
    int m = i + (j - i) / 2;
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""
    // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
    let m = (i + j) / 2
    // 更换为此写法则不会越界
    let m = i + (j - 1) / 2
    ```

## 复杂度分析

**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。

**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。

## 优点与缺点

二分查找效率很高，体现在：

- **二分查找时间复杂度低**。对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需要 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- **二分查找不需要额外空间**。相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。

但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：

- **二分查找仅适用于有序数据**。如果输入数据是无序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
- **二分查找仅适用于数组**。由于在二分查找中，访问索引是 “非连续” 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
- **在小数据量下，线性查找的性能更好**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。