hello-algo/docs/chapter_sorting/merge_sort.md

---
comments: true
---

# 归并排序

「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：

1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；

2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序；

![merge_sort_preview](merge_sort.assets/merge_sort_preview.png)

<p align="center"> Fig. 归并排序两阶段：划分与合并 </p>

## 算法流程

**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ；

1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；

**「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；

需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。

=== "Step1"
    ![merge_sort_step1](merge_sort.assets/merge_sort_step1.png)

=== "Step2"
    ![merge_sort_step2](merge_sort.assets/merge_sort_step2.png)

=== "Step3"
    ![merge_sort_step3](merge_sort.assets/merge_sort_step3.png)

=== "Step4"
    ![merge_sort_step4](merge_sort.assets/merge_sort_step4.png)

=== "Step5"
    ![merge_sort_step5](merge_sort.assets/merge_sort_step5.png)

=== "Step6"
    ![merge_sort_step6](merge_sort.assets/merge_sort_step6.png)

=== "Step7"
    ![merge_sort_step7](merge_sort.assets/merge_sort_step7.png)

=== "Step8"
    ![merge_sort_step8](merge_sort.assets/merge_sort_step8.png)

=== "Step9"
    ![merge_sort_step9](merge_sort.assets/merge_sort_step9.png)

=== "Step10"
    ![merge_sort_step10](merge_sort.assets/merge_sort_step10.png)

观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。

- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。

=== "Java"

    ```java title="merge_sort.java"
    /**
     * 合并左子数组和右子数组
     * 左子数组区间 [left, mid]
     * 右子数组区间 [mid + 1, right]
     */
    void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        // 初始化辅助数组
        int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);   
        // 左子数组的起始索引和结束索引  
        int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
        // 右子数组的起始索引和结束索引       
        int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
        // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
        int i = leftStart, j = rightStart;                
        // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
        for (int k = left; k <= right; k++) {
            // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
            if (i > leftEnd)
                nums[k] = tmp[j++];
            // 否则，若 “右子数组已全部合并完” 或 “左子数组元素 < 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
            else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
                nums[k] = tmp[i++];
            // 否则，若 “左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
            else
                nums[k] = tmp[j++];
        }
    }
    
    /* 归并排序 */
    void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
        // 终止条件
        if (left >= right) return;       // 当子数组长度为 1 时终止递归
        // 递归划分
        int mid = (left + right) / 2;    // 计算数组中点
        mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
        mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
        // 回溯合并
        merge(nums, left, mid, right);
    }
    ```

下面重点解释一下合并方法 `merge()` 的流程：

1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后续通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。

合并方法 `merge()` 代码中的主要难点：

- `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。
- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。

## 算法特性

- **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。
- **空间复杂度 $O(n)$ ：** 需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。
- **非原地排序：** 辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。
- **稳定排序：** 在合并时可保证相等元素的相对位置不变。
- **非自适应排序：** 对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。

## 链表排序 *

归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，**空间复杂度可被优化至 $O(1)$** ，这是因为：

- 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ；
- 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；

> 详情参考：[<u>148. 排序链表</u>](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/)