2023-01-29 00:15:45 +08:00
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
comments: true
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
2023-01-28 23:56:41 +08:00
|
|
|
|
# 图
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
「图 Graph」是一种非线性数据结构,由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。例如,以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
\begin{aligned}
|
|
|
|
|
V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
|
|
|
|
|
E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
|
|
|
|
|
G & = \{ V, E \} \newline
|
|
|
|
|
\end{aligned}
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![linkedlist_tree_graph](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
那么,图与其他数据结构的关系是什么?如果我们把「顶点」看作结点,把「边」看作连接各个结点的指针,则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相比线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高,也从而更为复杂**。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## 图常见类型
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
根据边是否有方向,分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 在无向图中,边表示两结点之间“双向”的连接关系,例如微信或 QQ 中的“好友关系”;
|
|
|
|
|
- 在有向图中,边是有方向的,即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的,例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
根据所有顶点是否连通,分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 对于连通图,从某个结点出发,可以到达其余任意结点;
|
|
|
|
|
- 对于非连通图,从某个结点出发,至少有一个结点无法到达;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
我们可以给边添加“权重”变量,得到「有权图 Weighted Graph」。例如,在王者荣耀等游戏中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![weighted_graph](graph.assets/weighted_graph.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## 图常用术语
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 「邻接 Adjacency」:当两顶点之间有边相连时,称此两顶点“邻接”。
|
|
|
|
|
- 「路径 Path」:从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列,被称为从 A 到 B 的“路径”。
|
|
|
|
|
- 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图,「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点,「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## 图的表示
|
|
|
|
|
|
2023-01-29 00:38:36 +08:00
|
|
|
|
图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。
|
2023-01-28 23:56:41 +08:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 邻接矩阵
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
设图的顶点数量为 $n$ ,「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
邻接矩阵具有以下性质:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 顶点不能与自身相连,因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。
|
|
|
|
|
- 「无向图」两个方向的边等价,此时邻接矩阵关于主对角线对称。
|
|
|
|
|
- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重,则能够表示「有权图」。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边,因此增删查操作的效率很高,时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而,矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ,内存占用较大。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 邻接表
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
「邻接表 Adjacency List」使用 $n$ 个链表来表示图,链表结点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ,其中存储了所有与该顶点相连的顶点。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![adjacency_list](graph.assets/adjacency_list.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
邻接表仅存储存在的边,而边的总数往往远小于 $n^2$ ,因此更加节省空间。但是,因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,所以其时间效率不如邻接矩阵。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
观察上图发现,**邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似,因此我们也可以用类似方法来优化效率**。比如,当链表较长时,可以把链表转化为「AVL 树」,从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ,还可以通过中序遍历获取有序序列;还可以将链表转化为 HashSet(即哈希表),将时间复杂度降低至 $O(1)$ ,。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## 图基础操作
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
以下分别介绍图在「邻接矩阵」和「邻接表」表示下的基础操作。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 基于邻接矩阵的实现
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
设图的顶点总数为 $n$ ,则有:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- **添加或删除边**:直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可,使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图,因此需要同时更新两个方向的边。
|
|
|
|
|
- **添加顶点**:在邻接矩阵的尾部添加一行一列,并全部填 $0$ 即可,使用 $O(n)$ 时间。
|
|
|
|
|
- **删除顶点**:在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况,需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”,从而使用 $O(n^2)$ 时间。
|
|
|
|
|
- **初始化**:传入 $n$ 个顶点,初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ,使用 $O(n)$ 时间;初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ,使用 $O(n^2)$ 时间。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "初始化邻接矩阵"
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix_initialization](graph.assets/adjacency_matrix_initialization.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "添加边"
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix_add_edge](graph.assets/adjacency_matrix_add_edge.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "删除边"
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix_remove_edge](graph.assets/adjacency_matrix_remove_edge.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "添加顶点"
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix_add_vertex](graph.assets/adjacency_matrix_add_vertex.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "删除顶点"
|
|
|
|
|
![adjacency_matrix_remove_vertex](graph.assets/adjacency_matrix_remove_vertex.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```java title="graph_adjacency_matrix.java"
|
|
|
|
|
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
|
|
|
|
|
class GraphAdjMat {
|
|
|
|
|
List<Integer> vertices; // 顶点列表,元素代表“顶点值”,索引代表“顶点索引”
|
|
|
|
|
List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵,行列索引对应“顶点索引”
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 构造函数 */
|
|
|
|
|
public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
|
|
|
|
|
this.vertices = new ArrayList<>();
|
|
|
|
|
this.adjMat = new ArrayList<>();
|
|
|
|
|
// 添加顶点
|
|
|
|
|
for (int val : vertices) {
|
|
|
|
|
addVertex(val);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 添加边
|
|
|
|
|
// 请注意,edges 元素代表顶点索引,即对应 vertices 元素索引
|
|
|
|
|
for (int[] e : edges) {
|
|
|
|
|
addEdge(e[0], e[1]);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 获取顶点数量 */
|
|
|
|
|
public int size() {
|
|
|
|
|
return vertices.size();
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 添加顶点 */
|
|
|
|
|
public void addVertex(int val) {
|
|
|
|
|
int n = size();
|
|
|
|
|
// 向顶点列表中添加新顶点的值
|
|
|
|
|
vertices.add(val);
|
|
|
|
|
// 在邻接矩阵中添加一行
|
|
|
|
|
List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
|
|
|
|
|
for (int j = 0; j < n; j++) {
|
|
|
|
|
newRow.add(0);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
adjMat.add(newRow);
|
|
|
|
|
// 在邻接矩阵中添加一列
|
|
|
|
|
for (List<Integer> row : adjMat) {
|
|
|
|
|
row.add(0);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 删除顶点 */
|
|
|
|
|
public void removeVertex(int index) {
|
|
|
|
|
if (index >= size())
|
|
|
|
|
throw new IndexOutOfBoundsException();
|
|
|
|
|
// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
|
|
|
|
|
vertices.remove(index);
|
|
|
|
|
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
|
|
|
|
|
adjMat.remove(index);
|
|
|
|
|
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
|
|
|
|
|
for (List<Integer> row : adjMat) {
|
|
|
|
|
row.remove(index);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 添加边 */
|
|
|
|
|
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
|
|
|
|
|
public void addEdge(int i, int j) {
|
|
|
|
|
// 索引越界与相等处理
|
|
|
|
|
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
|
|
|
|
|
throw new IndexOutOfBoundsException();
|
|
|
|
|
// 在无向图中,邻接矩阵沿主对角线对称,即满足 (i, j) == (j, i)
|
|
|
|
|
adjMat.get(i).set(j, 1);
|
|
|
|
|
adjMat.get(j).set(i, 1);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 删除边 */
|
|
|
|
|
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
|
|
|
|
|
public void removeEdge(int i, int j) {
|
|
|
|
|
// 索引越界与相等处理
|
|
|
|
|
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
|
|
|
|
|
throw new IndexOutOfBoundsException();
|
|
|
|
|
adjMat.get(i).set(j, 0);
|
|
|
|
|
adjMat.get(j).set(i, 0);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```python title="graph_adjacency_matrix.py"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```go title="graph_adjacency_matrix.go"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "JavaScript"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js title="graph_adjacency_matrix.js"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "TypeScript"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```c title="graph_adjacency_matrix.c"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 基于邻接表的实现
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ,则有:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- **添加边**:在顶点对应链表的尾部添加边即可,使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图,所以需要同时添加两个方向的边。
|
|
|
|
|
- **删除边**:在顶点对应链表中查询与删除指定边,使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样,需要同时删除两个方向的边。
|
|
|
|
|
- **添加顶点**:在邻接表中添加一个链表即可,并以新增顶点为链表头结点,使用 $O(1)$ 时间。
|
|
|
|
|
- **删除顶点**:需要遍历整个邻接表,删除包含指定顶点的所有边,使用 $O(n + m)$ 时间。
|
|
|
|
|
- **初始化**:需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边,使用 $O(n + m)$ 时间。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "初始化邻接表"
|
|
|
|
|
![adjacency_list_initialization](graph.assets/adjacency_list_initialization.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "添加边"
|
|
|
|
|
![adjacency_list_add_edge](graph.assets/adjacency_list_add_edge.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "删除边"
|
|
|
|
|
![adjacency_list_remove_edge](graph.assets/adjacency_list_remove_edge.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "添加顶点"
|
|
|
|
|
![adjacency_list_add_vertex](graph.assets/adjacency_list_add_vertex.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "删除顶点"
|
|
|
|
|
![adjacency_list_remove_vertex](graph.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
基于邻接表实现图的代码如下所示。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```java title="graph_adjacency_list.java"
|
|
|
|
|
/* 顶点类 */
|
|
|
|
|
class Vertex {
|
|
|
|
|
int val;
|
|
|
|
|
public Vertex(int val) {
|
|
|
|
|
this.val = val;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
|
|
|
|
|
class GraphAdjList {
|
|
|
|
|
// 请注意,vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
|
|
|
|
|
Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表(使用哈希表实现)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 构造函数 */
|
|
|
|
|
public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
|
|
|
|
|
this.adjList = new HashMap<>();
|
|
|
|
|
// 添加所有顶点和边
|
|
|
|
|
for (Vertex[] edge : edges) {
|
|
|
|
|
addVertex(edge[0]);
|
|
|
|
|
addVertex(edge[1]);
|
|
|
|
|
addEdge(edge[0], edge[1]);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 获取顶点数量 */
|
|
|
|
|
public int size() {
|
|
|
|
|
return adjList.size();
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 添加边 */
|
|
|
|
|
public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
|
|
|
|
|
if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
|
|
|
|
|
throw new IllegalArgumentException();
|
|
|
|
|
// 添加边 vet1 - vet2
|
|
|
|
|
adjList.get(vet1).add(vet2);
|
|
|
|
|
adjList.get(vet2).add(vet1);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 删除边 */
|
|
|
|
|
public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
|
|
|
|
|
if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
|
|
|
|
|
throw new IllegalArgumentException();
|
|
|
|
|
// 删除边 vet1 - vet2
|
|
|
|
|
adjList.get(vet1).remove(vet2);
|
|
|
|
|
adjList.get(vet2).remove(vet1);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 添加顶点 */
|
|
|
|
|
public void addVertex(Vertex vet) {
|
|
|
|
|
if (adjList.containsKey(vet))
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
// 在邻接表中添加一个新链表(即 HashSet)
|
|
|
|
|
adjList.put(vet, new HashSet<>());
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 删除顶点 */
|
|
|
|
|
public void removeVertex(Vertex vet) {
|
|
|
|
|
if (!adjList.containsKey(vet))
|
|
|
|
|
throw new IllegalArgumentException();
|
|
|
|
|
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表(即 HashSet)
|
|
|
|
|
adjList.remove(vet);
|
|
|
|
|
// 遍历其它顶点的链表(即 HashSet),删除所有包含 vet 的边
|
|
|
|
|
for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
|
|
|
|
|
set.remove(vet);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```python title="graph_adjacency_list.py"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```go title="graph_adjacency_list.go"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "JavaScript"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```js title="graph_adjacency_list.js"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "TypeScript"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```c title="graph_adjacency_list.c"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```swift title="graph_adjacency_list.swift"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 效率对比
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边,下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<div class="center-table" markdown>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | 邻接矩阵 | 邻接表(链表) | 邻接表(哈希表) |
|
|
|
|
|
| ------------ | -------- | -------------- | ---------------- |
|
|
|
|
|
| 判断是否邻接 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
|
|
|
|
|
| 添加边 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
|
|
|
|
|
| 删除边 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
|
|
|
|
|
| 添加顶点 | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
|
|
|
|
|
| 删除顶点 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n)$ |
|
|
|
|
|
| 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n + m)$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
</div>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
观察上表,貌似邻接表(哈希表)的时间与空间效率最优。但实际上,在邻接矩阵中操作边的效率更高,只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上,**邻接矩阵体现“以空间换时间”,邻接表体现“以时间换空间”**。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## 图常见应用
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
现实中的许多系统都可以使用图来建模,对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<div class="center-table" markdown>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | 顶点 | 边 | 图计算问题 |
|
|
|
|
|
| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
|
|
|
|
|
| 社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
|
|
|
|
|
| 地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
|
|
|
|
|
| 太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
</div>
|