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8.2.   建堆操作 *

如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。

8.2.1.   两种建堆方法

借助入堆方法实现

最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。

设元素数量为 \(n\) ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此该方法的总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

基于堆化操作实现

有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 \(O(n)\) 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”。当然，我们不需要对叶结点执行堆化操作，因为它们没有子结点。

my_heap.java
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.cpp
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.py
def __init__(self, nums: list[int]):
    """ 构造方法 """
    # 将列表元素原封不动添加进堆
    self.max_heap = nums
    # 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
        self.sift_down(i)
my_heap.go
/* 构造方法，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}
my_heap.js
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}
my_heap.ts
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.siftDown(i);
    }
}
my_heap.c
[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
my_heap.cs
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
{
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new List<int>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    var size = parent(this.size() - 1);
    for (int i = size; i >= 0; i--)
    {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.swift
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
        siftDown(i: i)
    }
}
my_heap.zig
// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
    if (self.max_heap != null) return;
    self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
    while (i > 0) : (i -= 1) {
        try self.siftDown(i - 1);
    }
}

8.2.2.   复杂度分析

为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 \(O(n)\) ？我们来展开推算一下。

  • 完全二叉树中，设结点总数为 \(n\) ，则叶结点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 \((n - 1)/2\) ，复杂度为 \(O(n)\) ；
  • 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(O(\log n)\) ；

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)。然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性。

接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 \(n\) ，树高度为 \(h\) 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”。

完美二叉树的各层结点数量

Fig. 完美二叉树的各层结点数量

因此，我们可以将各层的“结点数量 \(\times\) 结点高度”求和，从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和。

\[ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 \]

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} \]

使用错位相减法，令下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得

\[ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h \]

观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h \newline & = O(2^h) \end{aligned} \]

进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的结点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。

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