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# 12.4 汉诺塔问题
在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
!!! question
给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
图：汉诺塔问题示例
**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
### 1. 考虑基本情况
如下图所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
=== "<1>"
=== "<2>"
图：规模为 1 问题的解
如下图所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。
1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
图：规模为 2 问题的解
解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
### 2. 子问题分解
对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。
因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。
2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
图：规模为 3 问题的解
本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。
至此，我们可总结出下图所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：
1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。
对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
图：汉诺塔问题的分治策略
### 3. 代码实现
在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
=== "Java"
```java title="hanota.java"
/* 移动一个圆盘 */
void move(List src, List tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(List A, List B, List C) {
int n = A.size();
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C++"
```cpp title="hanota.cpp"
/* 移动一个圆盘 */
void move(vector &src, vector &tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src.back();
src.pop_back();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push_back(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, vector &src, vector &buf, vector &tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void hanota(vector &A, vector &B, vector &C) {
int n = A.size();
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Python"
```python title="hanota.py"
def move(src: list[int], tar: list[int]):
"""移动一个圆盘"""
# 从 src 顶部拿出一个圆盘
pan = src.pop()
# 将圆盘放入 tar 顶部
tar.append(pan)
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
"""求解汉诺塔：问题 f(i)"""
# 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1:
move(src, tar)
return
# 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf)
# 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar)
# 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar)
def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
"""求解汉诺塔"""
n = len(A)
# 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C)
```
=== "Go"
```go title="hanota.go"
/* 移动一个圆盘 */
func move(src, tar *list.List) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
pan := src.Back()
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.PushBack(pan.Value)
// 移除 src 顶部圆盘
src.Remove(pan)
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move(src, tar)
return
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar)
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
}
/* 求解汉诺塔 */
func hanota(A, B, C *list.List) {
n := A.Len()
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfsHanota(n, A, B, C)
}
```
=== "JS"
```javascript title="hanota.js"
/* 移动一个圆盘 */
function move(src, tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
const pan = src.pop();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
function hanota(A, B, C) {
const n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "TS"
```typescript title="hanota.ts"
/* 移动一个圆盘 */
function move(src: number[], tar: number[]): void {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
const pan = src.pop();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
function hanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
const n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C"
```c title="hanota.c"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{hanota}
```
=== "C#"
```csharp title="hanota.cs"
/* 移动一个圆盘 */
void move(List src, List tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src[^1];
src.RemoveAt(src.Count - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.Add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void solveHanota(List A, List B, List C) {
int n = A.Count;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Swift"
```swift title="hanota.swift"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{hanota}
```
=== "Zig"
```zig title="hanota.zig"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{hanota}
```
=== "Dart"
```dart title="hanota.dart"
/* 移动一个圆盘 */
void move(List src, List tar) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
int pan = src.removeLast();
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.add(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
void dfs(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
void hanota(List A, List B, List C) {
int n = A.length;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Rust"
```rust title="hanota.rs"
/* 移动一个圆盘 */
fn move_pan(src: &mut Vec, tar: &mut Vec) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
let pan = src.remove(src.len() - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec, buf: &mut Vec, tar: &mut Vec) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move_pan(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move_pan(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
fn hanota(A: &mut Vec, B: &mut Vec, C: &mut Vec) {
let n = A.len() as i32;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
图：汉诺塔问题的递归树
!!! quote
汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。