# 图 「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图 $$ \begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline G & = \{ V, E \} \newline \end{aligned} $$ ![linkedlist_tree_graph](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png) 那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂**。 ## 图常见类型 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。 - 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”； - 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系； ![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png) 根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。 - 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点； - 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达； ![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png) 我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。 ![weighted_graph](graph.assets/weighted_graph.png) ## 图常用术语 - 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。 - 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。 - 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。 ## 图的表示 图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下皆使用无边图来举例。 ### 邻接矩阵 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。 ![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png) 邻接矩阵具有以下性质： - 顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。 - 「无向图」两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。 - 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则能够表示「有权图」。 使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较大。 ### 邻接表 「邻接表 Adjacency List」使用 $n$ 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。 ![adjacency_list](graph.assets/adjacency_list.png) 邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 $n^2$ ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。 观察上图发现，**邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率**。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 $O(1)$ ，。 ## 图基础操作 以下分别介绍图在「邻接矩阵」和「邻接表」表示下的基础操作。 ### 基于邻接矩阵的实现 设图的顶点总数为 $n$ ，则有： - **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。 - **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。 - **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。 - **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。 === "初始化邻接矩阵" ![adjacency_matrix_initialization](graph.assets/adjacency_matrix_initialization.png) === "添加边" ![adjacency_matrix_add_edge](graph.assets/adjacency_matrix_add_edge.png) === "删除边" ![adjacency_matrix_remove_edge](graph.assets/adjacency_matrix_remove_edge.png) === "添加顶点" ![adjacency_matrix_add_vertex](graph.assets/adjacency_matrix_add_vertex.png) === "删除顶点" ![adjacency_matrix_remove_vertex](graph.assets/adjacency_matrix_remove_vertex.png) 以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。 === "Java" ```java title="graph_adjacency_matrix.java" /* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */ class GraphAdjMat { List vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引” List> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引” /* 构造函数 */ public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) { this.vertices = new ArrayList<>(); this.adjMat = new ArrayList<>(); // 添加顶点 for (int val : vertices) { addVertex(val); } // 添加边 // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引 for (int[] e : edges) { addEdge(e[0], e[1]); } } /* 获取顶点数量 */ public int size() { return vertices.size(); } /* 添加顶点 */ public void addVertex(int val) { int n = size(); // 向顶点列表中添加新顶点的值 vertices.add(val); // 在邻接矩阵中添加一行 List newRow = new ArrayList<>(n); for (int j = 0; j < n; j++) { newRow.add(0); } adjMat.add(newRow); // 在邻接矩阵中添加一列 for (List row : adjMat) { row.add(0); } } /* 删除顶点 */ public void removeVertex(int index) { if (index >= size()) throw new IndexOutOfBoundsException(); // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点 vertices.remove(index); // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行 adjMat.remove(index); // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列 for (List row : adjMat) { row.remove(index); } } /* 添加边 */ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引 public void addEdge(int i, int j) { // 索引越界与相等处理 if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) throw new IndexOutOfBoundsException(); // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i) adjMat.get(i).set(j, 1); adjMat.get(j).set(i, 1); } /* 删除边 */ // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引 public void removeEdge(int i, int j) { // 索引越界与相等处理 if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) throw new IndexOutOfBoundsException(); adjMat.get(i).set(j, 0); adjMat.get(j).set(i, 0); } } ``` === "C++" ```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp" ``` === "Python" ```python title="graph_adjacency_matrix.py" ``` === "Go" ```go title="graph_adjacency_matrix.go" ``` === "JavaScript" ```js title="graph_adjacency_matrix.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts" ``` === "C" ```c title="graph_adjacency_matrix.c" ``` === "C#" ```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs" ``` === "Swift" ```swift title="graph_adjacency_matrix.swift" ``` ### 基于邻接表的实现 设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有： - **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。 - **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。 - **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。 - **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。 - **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。 === "初始化邻接表" ![adjacency_list_initialization](graph.assets/adjacency_list_initialization.png) === "添加边" ![adjacency_list_add_edge](graph.assets/adjacency_list_add_edge.png) === "删除边" ![adjacency_list_remove_edge](graph.assets/adjacency_list_remove_edge.png) === "添加顶点" ![adjacency_list_add_vertex](graph.assets/adjacency_list_add_vertex.png) === "删除顶点" ![adjacency_list_remove_vertex](graph.assets/adjacency_list_remove_vertex.png) 基于邻接表实现图的代码如下所示。 === "Java" ```java title="graph_adjacency_list.java" /* 顶点类 */ class Vertex { int val; public Vertex(int val) { this.val = val; } } /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象 Map> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现） /* 构造函数 */ public GraphAdjList(Vertex[][] edges) { this.adjList = new HashMap<>(); // 添加所有顶点和边 for (Vertex[] edge : edges) { addVertex(edge[0]); addVertex(edge[1]); addEdge(edge[0], edge[1]); } } /* 获取顶点数量 */ public int size() { return adjList.size(); } /* 添加边 */ public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) { if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2) throw new IllegalArgumentException(); // 添加边 vet1 - vet2 adjList.get(vet1).add(vet2); adjList.get(vet2).add(vet1); } /* 删除边 */ public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) { if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2) throw new IllegalArgumentException(); // 删除边 vet1 - vet2 adjList.get(vet1).remove(vet2); adjList.get(vet2).remove(vet1); } /* 添加顶点 */ public void addVertex(Vertex vet) { if (adjList.containsKey(vet)) return; // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） adjList.put(vet, new HashSet<>()); } /* 删除顶点 */ public void removeVertex(Vertex vet) { if (!adjList.containsKey(vet)) throw new IllegalArgumentException(); // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） adjList.remove(vet); // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 for (Set set : adjList.values()) { set.remove(vet); } } } ``` === "C++" ```cpp title="graph_adjacency_list.cpp" ``` === "Python" ```python title="graph_adjacency_list.py" ``` === "Go" ```go title="graph_adjacency_list.go" ``` === "JavaScript" ```js title="graph_adjacency_list.js" ``` === "TypeScript" ```typescript title="graph_adjacency_list.ts" ``` === "C" ```c title="graph_adjacency_list.c" ``` === "C#" ```csharp title="graph_adjacency_list.cs" ``` === "Swift" ```swift title="graph_adjacency_list.swift" ``` ### 效率对比 设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
| | 邻接矩阵 | 邻接表（链表） | 邻接表（哈希表） | | ------------ | -------- | -------------- | ---------------- | | 判断是否邻接 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ | | 添加边 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ | | 删除边 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ | | 添加顶点 | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(1)$ | | 删除顶点 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n)$ | | 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n + m)$ |
观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。 ## 图常见应用 现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。
| | 顶点 | 边 | 图计算问题 | | -------- | ---- | -------------------- | ------------ | | 社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 | | 地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 | | 太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |