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14.1   初探动态规划

「动态规划 dynamic programming」是一个重要的算法范式，它将一个问题分解为一系列更小的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而大幅提升时间效率。

在本节中，我们从一个经典例题入手，先给出它的暴力回溯解法，观察其中包含的重叠子问题，再逐步导出更高效的动态规划解法。

爬楼梯

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯，你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶？

如图 14-1 所示，对于一个 \(3\) 阶楼梯，共有 \(3\) 种方案可以爬到楼顶。

爬到第 3 阶的方案数量

图 14-1   爬到第 3 阶的方案数量

本题的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 \(1\) ，当越过楼梯顶部时就将其剪枝。代码如下所示：

climbing_stairs_backtrack.py
def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
    """回溯"""
    # 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if state == n:
        res[0] += 1
    # 遍历所有选择
    for choice in choices:
        # 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if state + choice > n:
            continue
        # 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res)
        # 回退

def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
    """爬楼梯：回溯"""
    choices = [1, 2]  # 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    state = 0  # 从第 0 阶开始爬
    res = [0]  # 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
climbing_stairs_backtrack.cpp
/* 回溯 */
void backtrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 遍历所有选择
    for (auto &choice : choices) {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    vector<int> choices = {1, 2}; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    int state = 0;                // 从第 0 阶开始爬
    vector<int> res = {0};        // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.java
/* 回溯 */
void backtrack(List<Integer> choices, int state, int n, List<Integer> res) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state == n)
        res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 遍历所有选择
    for (Integer choice : choices) {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    List<Integer> choices = Arrays.asList(1, 2); // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    int state = 0; // 从第 0 阶开始爬
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    res.add(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.cs
/* 回溯 */
void Backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 遍历所有选择
    foreach (int choice in choices) {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        Backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
int ClimbingStairsBacktrack(int n) {
    List<int> choices = [1, 2]; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    int state = 0; // 从第 0 阶开始爬
    List<int> res = [0]; // 使用 res[0] 记录方案数量
    Backtrack(choices, state, n, res);
    return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.go
/* 回溯 */
func backtrack(choices []int, state, n int, res []int) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if state == n {
        res[0] = res[0] + 1
    }
    // 遍历所有选择
    for _, choice := range choices {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if state+choice > n {
            continue
        }
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state+choice, n, res)
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n int) int {
    // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    choices := []int{1, 2}
    // 从第 0 阶开始爬
    state := 0
    res := make([]int, 1)
    // 使用 res[0] 记录方案数量
    res[0] = 0
    backtrack(choices, state, n, res)
    return res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.swift
/* 回溯 */
func backtrack(choices: [Int], state: Int, n: Int, res: inout [Int]) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if state == n {
        res[0] += 1
    }
    // 遍历所有选择
    for choice in choices {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if state + choice > n {
            continue
        }
        backtrack(choices: choices, state: state + choice, n: n, res: &res)
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
func climbingStairsBacktrack(n: Int) -> Int {
    let choices = [1, 2] // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    let state = 0 // 从第 0 阶开始爬
    var res: [Int] = []
    res.append(0) // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices: choices, state: state, n: n, res: &res)
    return res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.js
/* 回溯 */
function backtrack(choices, state, n, res) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 遍历所有选择
    for (const choice of choices) {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n) continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n) {
    const choices = [1, 2]; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    const state = 0; // 从第 0 阶开始爬
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.ts
/* 回溯 */
function backtrack(
    choices: number[],
    state: number,
    n: number,
    res: Map<0, any>
): void {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state === n) res.set(0, res.get(0) + 1);
    // 遍历所有选择
    for (const choice of choices) {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n) continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
function climbingStairsBacktrack(n: number): number {
    const choices = [1, 2]; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    const state = 0; // 从第 0 阶开始爬
    const res = new Map();
    res.set(0, 0); // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(choices, state, n, res);
    return res.get(0);
}
climbing_stairs_backtrack.dart
/* 回溯 */
void backtrack(List<int> choices, int state, int n, List<int> res) {
  // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
  if (state == n) {
    res[0]++;
  }
  // 遍历所有选择
  for (int choice in choices) {
    // 剪枝：不允许越过第 n 阶
    if (state + choice > n) continue;
    // 尝试：做出选择，更新状态
    backtrack(choices, state + choice, n, res);
    // 回退
  }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
  List<int> choices = [1, 2]; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
  int state = 0; // 从第 0 阶开始爬
  List<int> res = [];
  res.add(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
  backtrack(choices, state, n, res);
  return res[0];
}
climbing_stairs_backtrack.rs
/* 回溯 */
fn backtrack(choices: &[i32], state: i32, n: i32, res: &mut [i32]) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if state == n { res[0] = res[0] + 1; }
    // 遍历所有选择
    for &choice in choices {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if state + choice > n { continue; }
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
fn climbing_stairs_backtrack(n: usize) -> i32 {
    let choices = vec![ 1, 2 ]; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    let state = 0; // 从第 0 阶开始爬
    let mut res = Vec::new();
    res.push(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(&choices, state, n as i32, &mut res);
    res[0]
}
climbing_stairs_backtrack.c
/* 回溯 */
void backtrack(int *choices, int state, int n, int *res, int len) {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state == n)
        res[0]++;
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n)
            continue;
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res, len);
        // 回退
    }
}

/* 爬楼梯：回溯 */
int climbingStairsBacktrack(int n) {
    int choices[2] = {1, 2}; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    int state = 0;           // 从第 0 阶开始爬
    int *res = (int *)malloc(sizeof(int));
    *res = 0; // 使用 res[0] 记录方案数量
    int len = sizeof(choices) / sizeof(int);
    backtrack(choices, state, n, res, len);
    int result = *res;
    free(res);
    return result;
}
climbing_stairs_backtrack.zig
// 回溯
fn backtrack(choices: []i32, state: i32, n: i32, res: std.ArrayList(i32)) void {
    // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
    if (state == n) {
        res.items[0] = res.items[0] + 1;
    }
    // 遍历所有选择
    for (choices) |choice| {
        // 剪枝：不允许越过第 n 阶
        if (state + choice > n) {
            continue;
        }
        // 尝试：做出选择，更新状态
        backtrack(choices, state + choice, n, res);
        // 回退
    }
}

// 爬楼梯：回溯
fn climbingStairsBacktrack(n: usize) !i32 {
    var choices = [_]i32{ 1, 2 }; // 可选择向上爬 1 阶或 2 阶
    var state: i32 = 0; // 从第 0 阶开始爬
    var res = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
    defer res.deinit();
    try res.append(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
    backtrack(&choices, state, @intCast(n), res);
    return res.items[0];
}
可视化运行

14.1.1   方法一：暴力搜索

回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将求解问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。

我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第 \(i\) 阶共有 \(dp[i]\) 种方案，那么 \(dp[i]\) 就是原问题，其子问题包括：

\[ dp[i-1], dp[i-2], \dots, dp[2], dp[1] \]

由于每轮只能上 \(1\) 阶或 \(2\) 阶，因此当我们站在第 \(i\) 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 \(i - 1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶上。换句话说，我们只能从第 \(i -1\) 阶或第 \(i - 2\) 阶迈向第 \(i\) 阶。

由此便可得出一个重要推论：爬到第 \(i - 1\) 阶的方案数加上爬到第 \(i - 2\) 阶的方案数就等于爬到第 \(i\) 阶的方案数。公式如下：

\[ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] \]

这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，原问题的解可以由子问题的解构建得来。图 14-2 展示了该递推关系。

方案数量递推关系

图 14-2   方案数量递推关系

我们可以根据递推公式得到暴力搜索解法。以 \(dp[n]\) 为起始点，递归地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和，直至到达最小子问题 \(dp[1]\) 和 \(dp[2]\) 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即 \(dp[1] = 1\)、\(dp[2] = 2\) ，表示爬到第 \(1\)、\(2\) 阶分别有 \(1\)、\(2\) 种方案。

观察以下代码，它和标准回溯代码都属于深度优先搜索，但更加简洁：

climbing_stairs_dfs.py
def dfs(i: int) -> int:
    """搜索"""
    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
    return count

def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
    """爬楼梯：搜索"""
    return dfs(n)
climbing_stairs_dfs.cpp
/* 搜索 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.java
/* 搜索 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.cs
/* 搜索 */
int DFS(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1) + DFS(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
int ClimbingStairsDFS(int n) {
    return DFS(n);
}
climbing_stairs_dfs.go
/* 搜索 */
func dfs(i int) int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfs(i-1) + dfs(i-2)
    return count
}

/* 爬楼梯：搜索 */
func climbingStairsDFS(n int) int {
    return dfs(n)
}
climbing_stairs_dfs.swift
/* 搜索 */
func dfs(i: Int) -> Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1) + dfs(i: i - 2)
    return count
}

/* 爬楼梯：搜索 */
func climbingStairsDFS(n: Int) -> Int {
    dfs(i: n)
}
climbing_stairs_dfs.js
/* 搜索 */
function dfs(i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
function climbingStairsDFS(n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.ts
/* 搜索 */
function dfs(i: number): number {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
function climbingStairsDFS(n: number): number {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.dart
/* 搜索 */
int dfs(int i) {
  // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
  return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
int climbingStairsDFS(int n) {
  return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.rs
/* 搜索 */
fn dfs(i: usize) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 { return i as i32; }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    count
}

/* 爬楼梯：搜索 */
fn climbing_stairs_dfs(n: usize) -> i32 {
    dfs(n) 
}
climbing_stairs_dfs.c
/* 搜索 */
int dfs(int i) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

/* 爬楼梯：搜索 */
int climbingStairsDFS(int n) {
    return dfs(n);
}
climbing_stairs_dfs.zig
// 搜索
fn dfs(i: usize) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 or i == 2) {
        return @intCast(i);
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    var count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
    return count;
}

// 爬楼梯：搜索
fn climbingStairsDFS(comptime n: usize) i32 {
    return dfs(n);
}
可视化运行

图 14-3 展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 \(dp[n]\) ，其递归树的深度为 \(n\) ，时间复杂度为 \(O(2^n)\) 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 \(n\) ，则会陷入漫长的等待之中。

爬楼梯对应递归树

图 14-3   爬楼梯对应递归树

观察图 14-3 ，指数阶的时间复杂度是“重叠子问题”导致的。例如 \(dp[9]\) 被分解为 \(dp[8]\) 和 \(dp[7]\) ，\(dp[8]\) 被分解为 \(dp[7]\) 和 \(dp[6]\) ，两者都包含子问题 \(dp[7]\) 。

以此类推，子问题中包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也。绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的子问题上。

14.1.2   方法二：记忆化搜索

为了提升算法效率，我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次。为此，我们声明一个数组 mem 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。

  1. 当首次计算 \(dp[i]\) 时，我们将其记录至 mem[i] ，以便之后使用。
  2. 当再次需要计算 \(dp[i]\) 时，我们便可直接从 mem[i] 中获取结果，从而避免重复计算该子问题。

代码如下所示：

climbing_stairs_dfs_mem.py
def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
    """记忆化搜索"""
    # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 or i == 2:
        return i
    # 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if mem[i] != -1:
        return mem[i]
    # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
    # 记录 dp[i]
    mem[i] = count
    return count

def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
    """爬楼梯：记忆化搜索"""
    # mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    mem = [-1] * (n + 1)
    return dfs(n, mem)
climbing_stairs_dfs_mem.cpp
/* 记忆化搜索 */
int dfs(int i, vector<int> &mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    vector<int> mem(n + 1, -1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.java
/* 记忆化搜索 */
int dfs(int i, int[] mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    int[] mem = new int[n + 1];
    Arrays.fill(mem, -1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.cs
/* 记忆化搜索 */
int DFS(int i, int[] mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = DFS(i - 1, mem) + DFS(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int ClimbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    int[] mem = new int[n + 1];
    Array.Fill(mem, -1);
    return DFS(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.go
/* 记忆化搜索 */
func dfsMem(i int, mem []int) int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    count := dfsMem(i-1, mem) + dfsMem(i-2, mem)
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
func climbingStairsDFSMem(n int) int {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    mem := make([]int, n+1)
    for i := range mem {
        mem[i] = -1
    }
    return dfsMem(n, mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.swift
/* 记忆化搜索 */
func dfs(i: Int, mem: inout [Int]) -> Int {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 {
        return i
    }
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if mem[i] != -1 {
        return mem[i]
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i: i - 1, mem: &mem) + dfs(i: i - 2, mem: &mem)
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count
    return count
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
func climbingStairsDFSMem(n: Int) -> Int {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    var mem = Array(repeating: -1, count: n + 1)
    return dfs(i: n, mem: &mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.js
/* 记忆化搜索 */
function dfs(i, mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
function climbingStairsDFSMem(n) {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.ts
/* 记忆化搜索 */
function dfs(i: number, mem: number[]): number {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i === 1 || i === 2) return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1) return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    const count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
function climbingStairsDFSMem(n: number): number {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    const mem = new Array(n + 1).fill(-1);
    return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.dart
/* 记忆化搜索 */
int dfs(int i, List<int> mem) {
  // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
  if (i == 1 || i == 2) return i;
  // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
  if (mem[i] != -1) return mem[i];
  // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
  int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
  // 记录 dp[i]
  mem[i] = count;
  return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
  // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
  List<int> mem = List.filled(n + 1, -1);
  return dfs(n, mem);
}
climbing_stairs_dfs_mem.rs
/* 记忆化搜索 */
fn dfs(i: usize, mem: &mut [i32]) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if i == 1 || i == 2 { return i as i32; }
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if mem[i] != -1 { return mem[i]; }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    let count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    count
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
fn climbing_stairs_dfs_mem(n: usize) -> i32 {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    let mut mem = vec![-1; n + 1];
    dfs(n, &mut mem)
}
climbing_stairs_dfs_mem.c
/* 记忆化搜索 */
int dfs(int i, int *mem) {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 || i == 2)
        return i;
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1)
        return mem[i];
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
int climbingStairsDFSMem(int n) {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    int *mem = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        mem[i] = -1;
    }
    int result = dfs(n, mem);
    free(mem);
    return result;
}
climbing_stairs_dfs_mem.zig
// 记忆化搜索
fn dfs(i: usize, mem: []i32) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (i == 1 or i == 2) {
        return @intCast(i);
    }
    // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
    if (mem[i] != -1) {
        return mem[i];
    }
    // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    var count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
    // 记录 dp[i]
    mem[i] = count;
    return count;
}

// 爬楼梯：记忆化搜索
fn climbingStairsDFSMem(comptime n: usize) i32 {
    // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
    var mem = [_]i32{ -1 } ** (n + 1);
    return dfs(n, &mem);
}
可视化运行

观察图 14-4 ，经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需计算一次，时间复杂度优化至 \(O(n)\) ，这是一个巨大的飞跃。

记忆化搜索对应递归树

图 14-4   记忆化搜索对应递归树

14.1.3   方法三：动态规划

记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法：我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解为较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）。之后，通过回溯逐层收集子问题的解，构建出原问题的解。

与之相反，动态规划是一种“从底至顶”的方法：从最小子问题的解开始，迭代地构建更大子问题的解，直至得到原问题的解。

由于动态规划不包含回溯过程，因此只需使用循环迭代实现，无须使用递归。在以下代码中，我们初始化一个数组 dp 来存储子问题的解，它起到了与记忆化搜索中数组 mem 相同的记录作用：

climbing_stairs_dp.py
def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
    """爬楼梯：动态规划"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    # 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1], dp[2] = 1, 2
    # 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    return dp[n]
climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯：动态规划 */
int ClimbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.go
/* 爬楼梯：动态规划 */
func climbingStairsDP(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    dp := make([]int, n+1)
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    }
    return dp[n]
}
climbing_stairs_dp.swift
/* 爬楼梯：动态规划 */
func climbingStairsDP(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1
    dp[2] = 2
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in stride(from: 3, through: n, by: 1) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    }
    return dp[n]
}
climbing_stairs_dp.js
/* 爬楼梯：动态规划 */
function climbingStairsDP(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.ts
/* 爬楼梯：动态规划 */
function climbingStairsDP(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    const dp = new Array(n + 1).fill(-1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.dart
/* 爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsDP(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
  List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
  // 初始状态：预设最小子问题的解
  dp[1] = 1;
  dp[2] = 2;
  // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
}
climbing_stairs_dp.rs
/* 爬楼梯：动态规划 */
fn climbing_stairs_dp(n: usize) -> i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if n == 1 || n == 2 { return n as i32; }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    let mut dp = vec![-1; n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in 3..=n {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    dp[n]
}
climbing_stairs_dp.c
/* 爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int *dp = (int *)malloc((n + 1) * sizeof(int));
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    int result = dp[n];
    free(dp);
    return result;
}
climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯：动态规划
fn climbingStairsDP(comptime n: usize) i32 {
    // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
    if (n == 1 or n == 2) {
        return @intCast(n);
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
可视化运行

图 14-5 模拟了以上代码的执行过程。

爬楼梯的动态规划过程

图 14-5   爬楼梯的动态规划过程

与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 \(i\) 。

根据以上内容，我们可以总结出动态规划的常用术语。

  • 将数组 dp 称为「\(dp\) 表」，\(dp[i]\) 表示状态 \(i\) 对应子问题的解。
  • 将最小子问题对应的状态（第 \(1\) 阶和第 \(2\) 阶楼梯）称为「初始状态」。
  • 将递推公式 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 称为「状态转移方程」。

14.1.4   空间优化

细心的读者可能发现了，由于 \(dp[i]\) 只与 \(dp[i-1]\) 和 \(dp[i-2]\) 有关，因此我们无须使用一个数组 dp 来存储所有子问题的解，而只需两个变量滚动前进即可。代码如下所示：

climbing_stairs_dp.py
def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
    """爬楼梯：空间优化后的动态规划"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    a, b = 1, 2
    for _ in range(3, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b
climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int ClimbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.go
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
func climbingStairsDPComp(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    a, b := 1, 2
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i := 3; i <= n; i++ {
        a, b = b, a+b
    }
    return b
}
climbing_stairs_dp.swift
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
func climbingStairsDPComp(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return n
    }
    var a = 1
    var b = 2
    for _ in stride(from: 3, through: n, by: 1) {
        (a, b) = (b, a + b)
    }
    return b
}
climbing_stairs_dp.js
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n) {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.ts
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
function climbingStairsDPComp(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) return n;
    let a = 1,
        b = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.dart
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) return n;
  int a = 1, b = 2;
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    int tmp = b;
    b = a + b;
    a = tmp;
  }
  return b;
}
climbing_stairs_dp.rs
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
    if n == 1 || n == 2 { return n as i32; }
    let (mut a, mut b) = (1, 2);
    for _ in 3..=n {
        let tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    b
}
climbing_stairs_dp.c
/* 爬楼梯：空间优化后的动态规划 */
int climbingStairsDPComp(int n) {
    if (n == 1 || n == 2)
        return n;
    int a = 1, b = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯：空间优化后的动态规划
fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 {
    if (n == 1 or n == 2) {
        return @intCast(n);
    }
    var a: i32 = 1;
    var b: i32 = 2;
    for (3..n + 1) |_| {
        var tmp = b;
        b = a + b;
        a = tmp;
    }
    return b;
}
可视化运行

观察以上代码，由于省去了数组 dp 占用的空间，因此空间复杂度从 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\) 。

在动态规划问题中，当前状态往往仅与前面有限个状态有关，这时我们可以只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。这种空间优化技巧被称为“滚动变量”或“滚动数组”。

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