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# 13.3.   0-1 背包问题

背包问题是学习动态规划的一个非常好的入门题目，其涉及到“选择与不选择”和“限制条件下的最优化”等问题，是动态规划中最常见的问题形式。

背包问题具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。在本节中，我们先来学习最简单的 0-1 背包问题。

!!! question

    给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，请求解在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
    
    请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，但数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。

下图给出了一个 0-1 背包的示例数据，背包内的最大价值为 $220$ 。

![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png)

<p align="center"> Fig. 0-1 背包的示例数据 </p>

接下来，我们仍然先从回溯角度入手，先给出暴力搜索解法；再引入记忆化处理，得到记忆化搜索和动态规划解法。

## 13.3.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索

0-1 背包问题是一道典型的“选或不选”的问题，0 代表不选、1 代表选。我们可以将 0-1 背包看作是一个由 $n$ 轮决策组成的搜索过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策。不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得：

- **状态包括物品编号 $i$ 和背包容量 $c$**，记为 $[i, c]$ 。
- 状态 $[i, c]$ 对应子问题“**前 $i$ 个物品在容量为 $c$ 背包中的最大价值**”，解记为 $dp[i, c]$ 。

当我们做出物品 $i$ 的决策后，剩余的是前 $i-1$ 个物品的子问题，因此状态转移分为两种：

- **不放入物品 $i$** ：背包容量不变，状态转移至 $[i-1, c]$ ；
- **放入物品 $i$** ：背包容量减小 $wgt[i-1]$ ，价值增加 $val[i-1]$ ，状态转移至 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ ；

上述的状态转移向我们展示了本题的「最优子结构」：**最大价值 $dp[i, c]$ 等于不放入物品 $i$ 和放入物品 $i$ 两种方案中的价值更大的那一个**。由此可推出状态转移方程：

$$
dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
$$

以下是暴力搜索的实现代码，其中包含以下要素：

- **递归参数**：状态 $[i, c]$ ；**返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ 。
- **终止条件**：当已完成 $n$ 轮决策或背包无剩余容量为时，终止递归并返回价值 $0$ 。
- **剪枝**：若当前物品重量 $wgt[i - 1]$ 超出剩余背包容量 $c$ ，则只能选择不放入背包。

=== "Java"

    ```java title="knapsack.java"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="knapsack.cpp"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "Python"

    ```python title="knapsack.py"
    def knapsack_dfs(wgt, val, i, c):
        """0-1 背包：暴力搜索"""
        # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
        if i == 0 or c == 0:
            return 0
        # 若超过背包容量，则只能不放入背包
        if wgt[i - 1] > c:
            return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
        # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
        no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
        yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
        # 返回两种方案中价值更大的那一个
        return max(no, yes)
    ```

=== "Go"

    ```go title="knapsack.go"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="knapsack.js"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="knapsack.ts"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "C"

    ```c title="knapsack.c"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="knapsack.cs"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="knapsack.swift"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="knapsack.zig"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="knapsack.dart"
    [class]{}-[func]{knapsackDFS}
    ```

如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此最差时间复杂度为 $O(2^n)$ 。

观察递归树，容易发现其中存在一些「重叠子问题」。而当物品较多、背包容量较大，尤其是当相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。

![0-1 背包的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png)

<p align="center"> Fig. 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>

## 13.3.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索

为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 `mem` 来记录子问题的解，其中 `mem[i][c]` 表示前 $i$ 个物品在容量为 $c$ 背包中的最大价值。当再次遇到相同子问题时，直接从 `mem` 中获取记录。

=== "Java"

    ```java title="knapsack.java"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="knapsack.cpp"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "Python"

    ```python title="knapsack.py"
    def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c):
        """0-1 背包：记忆化搜索"""
        # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
        if i == 0 or c == 0:
            return 0
        # 若已有记录，则直接返回
        if mem[i][c] != -1:
            return mem[i][c]
        # 若超过背包容量，则只能不放入背包
        if wgt[i - 1] > c:
            return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
        # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
        no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
        yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
        # 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
        mem[i][c] = max(no, yes)
        return mem[i][c]
    ```

=== "Go"

    ```go title="knapsack.go"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="knapsack.js"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="knapsack.ts"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "C"

    ```c title="knapsack.c"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="knapsack.cs"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="knapsack.swift"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="knapsack.zig"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="knapsack.dart"
    [class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
    ```

引入记忆化之后，所有子问题最多只被计算一次，**因此时间复杂度取决于子问题数量**，也就是 $O(n \times cap)$ 。

![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)

<p align="center"> Fig. 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>

## 13.3.3. &nbsp; 方法三：动态规划

接下来就是体力活了，我们将“从顶至底”的记忆化搜索代码译写为“从底至顶”的动态规划代码。

=== "Java"

    ```java title="knapsack.java"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="knapsack.cpp"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "Python"

    ```python title="knapsack.py"
    def knapsack_dp(wgt, val, cap):
        """0-1 背包：动态规划"""
        n = len(wgt)
        # 初始化 dp 列表
        dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
        # 状态转移
        for i in range(1, n + 1):
            for c in range(1, cap + 1):
                if wgt[i - 1] > c:
                    # 若超过背包容量，则不选物品 i
                    dp[i][c] = dp[i - 1][c]
                else:
                    # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                    dp[i][c] = max(dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1][c])
        return dp[n][cap]
    ```

=== "Go"

    ```go title="knapsack.go"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="knapsack.js"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="knapsack.ts"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "C"

    ```c title="knapsack.c"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="knapsack.cs"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="knapsack.swift"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="knapsack.zig"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="knapsack.dart"
    [class]{}-[func]{knapsackDP}
    ```

观察下图，动态规划的过程本质上就是填充 $dp$ 列表（矩阵）的过程，时间复杂度也为 $O(n \times cap)$ 。

=== "<1>"
    ![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png)

=== "<2>"
    ![knapsack_dp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step2.png)

=== "<3>"
    ![knapsack_dp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step3.png)

=== "<4>"
    ![knapsack_dp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step4.png)

=== "<5>"
    ![knapsack_dp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step5.png)

=== "<6>"
    ![knapsack_dp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step6.png)

=== "<7>"
    ![knapsack_dp_step7](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step7.png)

=== "<8>"
    ![knapsack_dp_step8](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step8.png)

=== "<9>"
    ![knapsack_dp_step9](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step9.png)

=== "<10>"
    ![knapsack_dp_step10](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step10.png)

=== "<11>"
    ![knapsack_dp_step11](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step11.png)

=== "<12>"
    ![knapsack_dp_step12](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step12.png)

=== "<13>"
    ![knapsack_dp_step13](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step13.png)

=== "<14>"
    ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)

**接下来考虑状态压缩**。以上代码中的 $dp$ 矩阵占用 $O(n \times cap)$ 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。

那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态，为了避免左边区域的格子被覆盖，我们应采取倒序遍历，这样方可实现正确的状态转移。

以下动画展示了在单个数组下从第 $i=1$ 行转换至第 $i=2$ 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。

=== "<1>"
    ![0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)

=== "<2>"
    ![knapsack_dp_comp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step2.png)

=== "<3>"
    ![knapsack_dp_comp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step3.png)

=== "<4>"
    ![knapsack_dp_comp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step4.png)

=== "<5>"
    ![knapsack_dp_comp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step5.png)

=== "<6>"
    ![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png)

如以下代码所示，我们仅需将 $dp$ 列表的第一维 $i$ 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。

=== "Java"

    ```java title="knapsack.java"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="knapsack.cpp"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "Python"

    ```python title="knapsack.py"
    def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap):
        """0-1 背包：状态压缩后的动态规划"""
        n = len(wgt)
        # 初始化 dp 列表
        dp = [0] * (cap + 1)
        # 状态转移
        for i in range(1, n + 1):
            # 倒序遍历
            for c in range(cap, 0, -1):
                if wgt[i - 1] > c:
                    # 若超过背包容量，则不选物品 i
                    dp[c] = dp[c]
                else:
                    # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                    dp[c] = max(dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[c])
        return dp[cap]
    ```

=== "Go"

    ```go title="knapsack.go"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="knapsack.js"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="knapsack.ts"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "C"

    ```c title="knapsack.c"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="knapsack.cs"
    [class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="knapsack.swift"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="knapsack.zig"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="knapsack.dart"
    [class]{}-[func]{knapsackDPComp}
    ```