7.1 二叉树¶
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
val: number;
left: TreeNode | null;
right: TreeNode | null;
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点引用
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点引用
}
}
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;
/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
val: i32, // 节点值
left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 左子节点引用
right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>, // 右子节点引用
}
impl TreeNode {
/* 构造方法 */
fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
Rc::new(RefCell::new(Self {
val,
left: None,
right: None
}))
}
}
/* 二叉树节点结构体 */
typedef struct TreeNode {
int val; // 节点值
int height; // 节点高度
struct TreeNode *left; // 左子节点指针
struct TreeNode *right; // 右子节点指针
} TreeNode;
/* 构造函数 */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如图 7-1 所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
图 7-1 父节点、子节点、子树
7.1.1 二叉树常见术语¶
二叉树的常用术语如图 7-2 所示。
- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 \(\text{None}\) 。
- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
图 7-2 二叉树的常用术语
Tip
请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
7.1.2 二叉树基本操作¶
1. 初始化二叉树¶
与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。
// 初始化节点
let n1 = TreeNode::new(1);
let n2 = TreeNode::new(2);
let n3 = TreeNode::new(3);
let n4 = TreeNode::new(4);
let n5 = TreeNode::new(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
n1.borrow_mut().right = Some(n3);
n2.borrow_mut().left = Some(n4);
n2.borrow_mut().right = Some(n5);
2. 插入与删除节点¶
与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。
图 7-3 在二叉树中插入与删除节点
Note
需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
7.1.3 常见二叉树类型¶
1. 完美二叉树¶
「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 \(0\) ，其余所有节点的度都为 \(2\) ；若树高度为 \(h\) ，则节点总数为 \(2^{h+1} - 1\) ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
Tip
请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
图 7-4 完美二叉树
2. 完全二叉树¶
如图 7-5 所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
图 7-5 完全二叉树
3. 完满二叉树¶
如图 7-6 所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
图 7-6 完满二叉树
4. 平衡二叉树¶
如图 7-7 所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
图 7-7 平衡二叉树
7.1.4 二叉树的退化¶
图 7-8 展示了二叉树的理想与退化状态。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 \(O(n)\) 。
图 7-8 二叉树的最佳与最差结构
如表 7-1 所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
表 7-1 二叉树的最佳与最差情况
| 完美二叉树 | 链表 | |
|---|---|---|
| 第 \(i\) 层的节点数量 | \(2^{i-1}\) | \(1\) |
| 高度 \(h\) 树的叶节点数量 | \(2^h\) | \(1\) |
| 高度 \(h\) 树的节点总数 | \(2^{h+1} - 1\) | \(h + 1\) |
| 节点总数 \(n\) 树的高度 | \(\log_2 (n+1) - 1\) | \(n - 1\) |