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6.1. 哈希表

哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 \(O(1)\) 。

例如，给定一个包含 \(n\) 个学生的数据库，每个学生有“姓名 name ”和“学号 id ”两项数据，希望实现一个查询功能：输入一个学号，返回对应的姓名，则可以使用哈希表实现。

hash_map

Fig. 哈希表抽象表示

6.1.1. 哈希表效率

除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：

  1. 无序数组：每个元素为 [学号, 姓名] ；
  2. 有序数组：将 1. 中的数组按照学号从小到大排序；
  3. 链表：每个结点的值为 [学号, 姓名] ；
  4. 二叉搜索树：每个结点的值为 [学号, 姓名] ，根据学号大小来构建树；

使用上述方法，各项操作的时间复杂度如下表所示（在此不做赘述，详解可见 二叉搜索树章节）。无论是查找元素、还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 \(O(1)\) ，全面胜出！

无序数组 有序数组 链表 二叉搜索树 哈希表
查找元素 \(O(n)\) \(O(\log n)\) \(O(n)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)
插入元素 \(O(1)\) \(O(n)\) \(O(1)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)
删除元素 \(O(n)\) \(O(n)\) \(O(n)\) \(O(\log n)\) \(O(1)\)

6.1.2. 哈希表常用操作

哈希表的基本操作包括 初始化、查询操作、添加与删除键值对。

hash_map.java
/* 初始化哈希表 */
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.put(12836, "小哈");   
map.put(15937, "小啰");   
map.put(16750, "小算");   
map.put(13276, "小法");
map.put(10583, "小鸭");

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map.get(15937);

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.remove(10583);
hash_map.cpp
/* 初始化哈希表 */
unordered_map<int, string> map;

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈";
map[15937] = "小啰";
map[16750] = "小算";
map[13276] = "小法";
map[10583] = "小鸭";

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
string name = map[15937];

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);
hash_map.py
""" 初始化哈希表 """
mapp = {}

""" 添加操作 """
# 在哈希表中添加键值对 (key, value)
mapp[12836] = "小哈"
mapp[15937] = "小啰"
mapp[16750] = "小算"
mapp[13276] = "小法"
mapp[10583] = "小鸭"

""" 查询操作 """
# 向哈希表输入键 key ，得到值 value
name = mapp[15937]

""" 删除操作 """
# 在哈希表中删除键值对 (key, value)
mapp.pop(10583)
hash_map.go
/* 初始化哈希表 */
mapp := make(map[int]string)

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
mapp[12836] = "小哈"
mapp[15937] = "小啰"
mapp[16750] = "小算"
mapp[13276] = "小法"
mapp[10583] = "小鸭"

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
name := mapp[15937]

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
delete(mapp, 10583)
hash_map.js
/* 初始化哈希表 */
const map = new ArrayHashMap();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.set(12836, '小哈');
map.set(15937, '小啰');
map.set(16750, '小算');
map.set(13276, '小法');
map.set(10583, '小鸭');

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map.get(15937);

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.delete(10583);
hash_map.ts
/* 初始化哈希表 */
const map = new Map<number, string>();
/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.set(12836, '小哈');
map.set(15937, '小啰');
map.set(16750, '小算');
map.set(13276, '小法');
map.set(10583, '小鸭');
console.info('\n添加完成后，哈希表为\nKey -> Value');
console.info(map);

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map.get(15937);
console.info('\n输入学号 15937 ，查询到姓名 ' + name);

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.delete(10583);
console.info('\n删除 10583 后，哈希表为\nKey -> Value');
console.info(map);
hash_map.c
hash_map.cs
/* 初始化哈希表 */
Dictionary<int, String> map = new ();

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map.Add(12836, "小哈");
map.Add(15937, "小啰");
map.Add(16750, "小算");
map.Add(13276, "小法");
map.Add(10583, "小鸭");

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
String name = map[15937];

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.Remove(10583);
hash_map.swift
/* 初始化哈希表 */
var map: [Int: String] = [:]

/* 添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈"
map[15937] = "小啰"
map[16750] = "小算"
map[13276] = "小法"
map[10583] = "小鸭"

/* 查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
let name = map[15937]!

/* 删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.removeValue(forKey: 10583)
hash_map.zig

遍历哈希表有三种方式，即 遍历键值对、遍历键、遍历值。

hash_map.java
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
    System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
}
// 单独遍历键 key
for (int key: map.keySet()) {
    System.out.println(key);
}
// 单独遍历值 value
for (String val: map.values()) {
    System.out.println(val);
}
hash_map.cpp
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (auto kv: map) {
    cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto key: map) {
    cout << key.first << endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto val: map) {
    cout << val.second << endl;
}
hash_map.py
""" 遍历哈希表 """
# 遍历键值对 key->value
for key, value in mapp.items():
    print(key, "->", value)
# 单独遍历键 key
for key in mapp.keys():
    print(key)
# 单独遍历值 value
for value in mapp.values():
    print(value)
hash_map_test.go
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for key, value := range mapp {
    fmt.Println(key, "->", value)
}
// 单独遍历键 key
for key := range mapp {
    fmt.Println(key)
}
// 单独遍历值 value
for _, value := range mapp {
    fmt.Println(value)
}
hash_map.js
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (const entry of map.entries()) {
    if (!entry) continue;
    console.info(entry.key + ' -> ' + entry.val);
}
// 单独遍历键 key
for (const key of map.keys()) {
    console.info(key);
}
// 单独遍历值 value
for (const val of map.values()) {
    console.info(val);
}
hash_map.ts
/* 遍历哈希表 */
console.info('\n遍历键值对 Key->Value');
for (const [k, v] of map.entries()) {
    console.info(k + ' -> ' + v);
}
console.info('\n单独遍历键 Key');
for (const k of map.keys()) {
    console.info(k);
}
console.info('\n单独遍历值 Value');
for (const v of map.values()) {
    console.info(v);
}
hash_map.c
hash_map.cs
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 Key->Value
foreach (var kv in map) {
    Console.WriteLine(kv.Key + " -> " + kv.Value);
}
// 单独遍历键 key
foreach (int key in map.Keys) {
    Console.WriteLine(key);
}
// 单独遍历值 value
foreach (String val in map.Values) {
    Console.WriteLine(val);
}
hash_map.swift
/* 遍历哈希表 */
// 遍历键值对 Key->Value
for (key, value) in map {
    print("\(key) -> \(value)")
}
// 单独遍历键 Key
for key in map.keys {
    print(key)
}
// 单独遍历值 Value
for value in map.values {
    print(value)
}
hash_map.zig

6.1.3. 哈希函数

哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。

最简单地，我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表。首先，将所有 value 放入数组中，那么每个 value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 value 需要给定索引，而为了 建立 key 和索引之间的映射关系，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。

设数组为 bucket ，哈希函数为 f(x) ，输入键为 key 。那么获取 value 的步骤为：

  1. 通过哈希函数计算出索引，即 index = f(key) ；
  2. 通过索引在数组中获取值，即 value = bucket[index] ；

以上述学生数据 key 学号 -> value 姓名 为例，我们可以将「哈希函数」设计为

\[ f(x) = x \% 100 \]

hash_function

Fig. 哈希函数

array_hash_map.java
/* 键值对 int->String */
class Entry {
    public int key;
    public String val;
    public Entry(int key, String val) {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
    private List<Entry> bucket;
    public ArrayHashMap() {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        bucket = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            bucket.add(null);
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    private int hashFunc(int key) {
        int index = key % 100;
        return index;
    }

    /* 查询操作 */
    public String get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        Entry pair = bucket.get(index);
        if (pair == null) return null;
        return pair.val;
    }

    /* 添加操作 */
    public void put(int key, String val) {
        Entry pair = new Entry(key, val);
        int index = hashFunc(key);
        bucket.set(index, pair);
    }

    /* 删除操作 */
    public void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 置为 null ，代表删除
        bucket.set(index, null);
    }

    /* 获取所有键值对 */
    public List<Entry> entrySet() {
        List<Entry> entrySet = new ArrayList<>();
        for (Entry pair : bucket) {
            if (pair != null)
                entrySet.add(pair);
        }
        return entrySet;
    }

    /* 获取所有键 */
    public List<Integer> keySet() {
        List<Integer> keySet = new ArrayList<>();
        for (Entry pair : bucket) {
            if (pair != null)
                keySet.add(pair.key);
        }
        return keySet;
    }

    /* 获取所有值 */
    public List<String> valueSet() {
        List<String> valueSet = new ArrayList<>();
        for (Entry pair : bucket) {
            if (pair != null)
                valueSet.add(pair.val);
        }
        return valueSet;
    }

    /* 打印哈希表 */
    public void print() {
        for (Entry kv: entrySet()) {
            System.out.println(kv.key + " -> " + kv.val);
        }
    }
}
array_hash_map.cpp
/* 键值对 int->String */
struct Entry {
public:
    int key;
    string val;
    Entry(int key, string val) {
        this->key = key;
        this->val = val;
    }
};

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:
    vector<Entry*> bucket;
public:
    ArrayHashMap() {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        bucket= vector<Entry*>(100);
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        int index = key % 100;
        return index;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        Entry* pair = bucket[index];
        if (pair == nullptr)
            return nullptr;
        return pair->val;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        Entry* pair = new Entry(key, val);
        int index = hashFunc(key);
        bucket[index] = pair;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 置为 nullptr ，代表删除
        bucket[index] = nullptr;
    }

    /* 获取所有键值对 */
    vector<Entry*> entrySet() {
        vector<Entry*> entrySet;
        for (Entry* pair: bucket) {
            if (pair != nullptr) {
                entrySet.push_back(pair);
            }
        }
        return entrySet;
    }

    /* 获取所有键 */
    vector<int> keySet() {
        vector<int> keySet;
        for (Entry* pair: bucket) {
            if (pair != nullptr) {
                keySet.push_back(pair->key);
            }
        }
        return keySet;
    }

    /* 获取所有值 */
    vector<string> valueSet() {
        vector<string> valueSet;
        for (Entry* pair: bucket) {
            if (pair != nullptr){
                valueSet.push_back(pair->val);
            }
        }
        return valueSet;
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (Entry* kv: entrySet()) {
            cout << kv->key << " -> " << kv->val << endl;
        }
    }
};
array_hash_map.py
""" 键值对 int->String """
class Entry:
    def __init__(self, key, val):
        self.key = key
        self.val = val

""" 基于数组简易实现的哈希表 """
class ArrayHashMap:
    def __init__(self):
        # 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        self.bucket = [None] * 100

    """ 哈希函数 """
    def hash_func(self, key):
        index = key % 100
        return index

    """ 查询操作 """
    def get(self, key):
        index = self.hash_func(key)
        pair = self.bucket[index]
        if pair is None:
            return None
        return pair.val

    """ 添加操作 """
    def put(self, key, val):
        pair = Entry(key, val)
        index = self.hash_func(key)
        self.bucket[index] = pair

    """ 删除操作 """
    def remove(self, key):
        index = self.hash_func(key)
        # 置为 None ，代表删除
        self.bucket[index] = None

    """ 获取所有键值对 """
    def entry_set(self):
        result = []
        for pair in self.bucket:
            if pair is not None:
                result.append(pair)
        return result

    """ 获取所有键 """
    def key_set(self):
        result = []
        for pair in self.bucket:
            if pair is not None:
                result.append(pair.key)
        return result

    """ 获取所有值 """
    def value_set(self):
        result = []
        for pair in self.bucket:
            if pair is not None:
                result.append(pair.val)
        return result

    """ 打印哈希表 """
    def print(self):
        for pair in self.bucket:
            if pair is not None:
                print(pair.key, "->", pair.val)
array_hash_map.go
/* 键值对 int->String */
type entry struct {
    key int
    val string
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
type arrayHashMap struct {
    bucket []*entry
}

func newArrayHashMap() *arrayHashMap {
    // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
    bucket := make([]*entry, 100)
    return &arrayHashMap{bucket: bucket}
}

/* 哈希函数 */
func (a *arrayHashMap) hashFunc(key int) int {
    index := key % 100
    return index
}

/* 查询操作 */
func (a *arrayHashMap) get(key int) string {
    index := a.hashFunc(key)
    pair := a.bucket[index]
    if pair == nil {
        return "Not Found"
    }
    return pair.val
}

/* 添加操作 */
func (a *arrayHashMap) put(key int, val string) {
    pair := &entry{key: key, val: val}
    index := a.hashFunc(key)
    a.bucket[index] = pair
}

/* 删除操作 */
func (a *arrayHashMap) remove(key int) {
    index := a.hashFunc(key)
    // 置为 nil ，代表删除
    a.bucket[index] = nil
}
array_hash_map.js
/* 键值对 Number -> String */
class Entry {
    constructor(key, val) {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
    #bucket;
    constructor() {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        this.#bucket = new Array(100).fill(null);
    }

    /* 哈希函数 */
    #hashFunc(key) {
        return key % 100;
    }

    /* 查询操作 */
    get(key) {
        let index = this.#hashFunc(key);
        let entry = this.#bucket[index];
        if (entry === null) return null;
        return entry.val;
    }

    /* 添加操作 */
    set(key, val) {
        let index = this.#hashFunc(key);
        this.#bucket[index] = new Entry(key, val);
    }

    /* 删除操作 */
    delete(key) {
        let index = this.#hashFunc(key);
        // 置为 null ，代表删除
        this.#bucket[index] = null;
    }
}
array_hash_map.ts
/* 键值对 Number -> String */
class Entry {
public key: number;
public val: string;

    constructor(key: number, val: string) {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {

    private readonly bucket: (Entry | null)[];

    constructor() {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        this.bucket = (new Array(100)).fill(null);
    }

    /* 哈希函数 */
    private hashFunc(key: number): number {
        return key % 100;
    }

    /* 查询操作 */
    public get(key: number): string | null {
        let index = this.hashFunc(key);
        let entry = this.bucket[index];
        if (entry === null) return null;
        return entry.val;
    }

    /* 添加操作 */
    public set(key: number, val: string) {
        let index = this.hashFunc(key);
        this.bucket[index] = new Entry(key, val);
    }

    /* 删除操作 */
    public delete(key: number) {
        let index = this.hashFunc(key);
        // 置为 null ，代表删除
        this.bucket[index] = null;
    }
}
array_hash_map.c
array_hash_map.cs
/* 键值对 int->String */
class Entry
{
    public int key;
    public String val;
    public Entry(int key, String val)
    {
        this.key = key;
        this.val = val;
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap
{
    private List<Entry?> bucket;
    public ArrayHashMap()
    {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        bucket = new ();
        for (int i = 0; i < 100; i++)
        {
            bucket.Add(null);
        }
    }
    /* 哈希函数 */
    private int hashFunc(int key)
    {
        int index = key % 100;
        return index;
    }
    /* 查询操作 */
    public String? get(int key)
    {
        int index = hashFunc(key);
        Entry? pair = bucket[index];
        if (pair == null) return null;
        return pair.val;
    }
    /* 添加操作 */
    public void put(int key, String val)
    {
        Entry pair = new Entry(key, val);
        int index = hashFunc(key);
        bucket[index]=pair;
    }
    /* 删除操作 */
    public void remove(int key)
    {
        int index = hashFunc(key);
        // 置为 null ，代表删除
        bucket[index]=null;
    }
}
array_hash_map.swift
/* 键值对 int->String */
class Entry {
    var key: Int
    var val: String

    init(key: Int, val: String) {
        self.key = key
        self.val = val
    }
}

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
    private var bucket: [Entry?] = []

    init() {
        // 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
        for _ in 0 ..< 100 {
            bucket.append(nil)
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    private func hashFunc(key: Int) -> Int {
        let index = key % 100
        return index
    }

    /* 查询操作 */
    func get(key: Int) -> String? {
        let index = hashFunc(key: key)
        let pair = bucket[index]
        return pair?.val
    }

    /* 添加操作 */
    func put(key: Int, val: String) {
        let pair = Entry(key: key, val: val)
        let index = hashFunc(key: key)
        bucket[index] = pair
    }

    /* 删除操作 */
    func remove(key: Int) {
        let index = hashFunc(key: key)
        // 置为 nil ，代表删除
        bucket[index] = nil
    }
}
array_hash_map.zig

6.1.4. 哈希冲突

细心的同学可能会发现，哈希函数 \(f(x) = x \% 100\) 会在某些情况下失效。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 \(12836\) 和 \(20336\) ，则有

\[ f(12836) = f(20336) = 36 \]

两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。

hash_collision

Fig. 哈希冲突

综上所述，一个优秀的「哈希函数」应该具备以下特性：

  • 尽量少地发生哈希冲突；
  • 时间复杂度 \(O(1)\) ，计算尽可能高效；
  • 空间使用率高，即“键值对占用空间 / 哈希表总占用空间”尽可能大；

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