13.2.   全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出这个集合中元素的所有可能的排列。

如下表所示，展示了输入数组和对应的所有排列。

输入数组	所有排列
[1]	[1]
[1, 2]	[1, 2], [2, 1]
[1, 2, 3]	[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]

13.2.1.   无重复的情况

输入一个整数数组，数组中不包含重复元素，返回所有可能的排列。

从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1, 2, 3] ，如果我们先选择 1 、再选择 3 、最后选择 2 ，则获得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。

从回溯算法代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。注意，每个元素只允许被选择一次，因此在遍历选择时，应当排除已经选择过的元素。

如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。

Fig. 全排列的递归树

想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将他们展开在 backtrack() 函数中。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

permutations_i.java

/* 回溯算法：全排列 I */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if (!selected[i]) {
            // 尝试
            selected[i] = true; // 做出选择
            state.add(choice); // 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退
            selected[i] = false; // 撤销选择
            state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
        }
    }
}

permutations_i.cpp

/* 回溯算法：全排列 I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if (!selected[i]) {
            // 尝试
            selected[i] = true;      // 做出选择
            state.push_back(choice); // 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退
            selected[i] = false; // 撤销选择
            state.pop_back();    // 恢复到之前的状态
        }
    }
}

permutations_i.py

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 I"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素
        if not selected[i]:
            # 尝试
            selected[i] = True  # 做出选择
            state.append(choice)  # 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退
            selected[i] = False  # 撤销选择
            state.pop()  # 恢复到之前的状态

permutations_i.go

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_i.js

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_i.ts

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_i.c

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_i.cs

[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}

permutations_i.swift

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_i.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

需要重点关注的是，我们引入了一个布尔型数组 selected ，它的长度与输入数组长度相等，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择。我们利用 selected 避免某个元素被重复选择，从而实现剪枝。

如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。从本质上理解，此剪枝操作可将搜索空间大小从 \(O(n^n)\) 降低至 \(O(n!)\) 。

Fig. 全排列剪枝示例

13.2.2.   考虑重复的情况

输入一个整数数组，数组中可能包含重复元素，返回所有不重复的排列。

假设输入数组为 [1, 1, 2] 。为了方便区分两个重复的元素 1 ，接下来我们将第二个元素记为 1' 。如下图所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。

Fig. 重复排列

那么，如何去除重复的排列呢？最直接地，我们可以借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而，这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的，应当被提前识别并剪枝，这样可以提升算法效率。

观察发现，在第一轮中，选择 1 或选择 1' 是等价的，因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此，我们应该把 1' 剪枝掉。同理，在第一轮选择 2 后，第二轮选择中的 1 和 1' 也会产生重复分支，因此也需要将第二轮的 1' 剪枝。

Fig. 重复排列剪枝

本质上看，我们的目标是实现在某一轮选择中，多个相等的元素仅被选择一次。因此，在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

permutations_ii.java

/* 回溯算法：全排列 II */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if (state.size() == choices.length) {
        res.add(new ArrayList<Integer>(state));
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
    for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
            // 尝试
            duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
            selected[i] = true; // 做出选择
            state.add(choice); // 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退
            selected[i] = false; // 撤销选择
            state.remove(state.size() - 1); // 恢复到之前的状态
        }
    }
}

permutations_ii.cpp

/* 回溯算法：全排列 II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
    // 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if (state.size() == choices.size()) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    unordered_set<int> duplicated;
    for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
            // 尝试
            duplicated.emplace(choice); // 记录选择过的元素值
            selected[i] = true;         // 做出选择
            state.push_back(choice);    // 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res);
            // 回退
            selected[i] = false; // 撤销选择
            state.pop_back();    // 恢复到之前的状态
        }
    }
}

permutations_ii.py

def backtrack(
    state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
    """回溯算法：全排列 II"""
    # 当状态长度等于元素数量时，记录解
    if len(state) == len(choices):
        res.append(list(state))
        return
    # 遍历所有选择
    duplicated = set[int]()
    for i, choice in enumerate(choices):
        # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if not selected[i] and choice not in duplicated:
            # 尝试
            duplicated.add(choice)  # 记录选择过的元素值
            selected[i] = True  # 做出选择
            state.append(choice)  # 更新状态
            backtrack(state, choices, selected, res)
            # 回退
            selected[i] = False  # 撤销选择
            state.pop()  # 恢复到之前的状态

permutations_ii.go

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_ii.js

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_ii.ts

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_ii.c

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_ii.cs

[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}

permutations_ii.swift

[class]{}-[func]{backtrack}

permutations_ii.zig

[class]{}-[func]{backtrack}

注意，虽然 selected 和 duplicated 都起到剪枝的作用，但他们剪掉的是不同的分支：

• 剪枝条件一：整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
• 剪枝条件二：每轮选择（即每个开启的 backtrack 函数）都包含一个 duplicated 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过，作用是保证相等元素只被选择一次，以避免产生重复的搜索分支。

下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

Fig. 两种剪枝条件的作用范围

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