11.7. 桶排序¶
「桶排序 Bucket Sort」是分治思想的典型体现，其通过设置一些桶，将数据平均分配到各个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，最终根据桶之间天然的大小顺序将各个桶内元素合并，从而得到排序结果。
11.7.1. 算法流程¶
输入一个长度为 \(n\) 的数组，元素是范围 \([0, 1)\) 的浮点数，桶排序流程为：
- 初始化 \(k\) 个桶，将 \(n\) 个元素分配至 \(k\) 个桶中；
- 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）；
- 按照桶的从小到大的顺序，合并结果；
Fig. 桶排序算法流程
/* 桶排序 */
void bucketSort(float[] nums) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
int k = nums.length / 2;
List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < k; i++) {
buckets.add(new ArrayList<>());
}
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for (float num : nums) {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
int i = (int) num * k;
// 将 num 添加进桶 i
buckets.get(i).add(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for (List<Float> bucket : buckets) {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法
Collections.sort(bucket);
}
// 3. 遍历桶合并结果
int i = 0;
for (List<Float> bucket : buckets) {
for (float num : bucket) {
nums[i++] = num;
}
}
}
桶排序是计数排序的一种推广
从桶排序的角度，我们可以把计数排序中计数数组 counter 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把各个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
11.7.2. 算法特性¶
时间复杂度 \(O(n + k)\) ：假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 \(\frac{n}{k}\) 。假设排序单个桶使用 \(O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})\) 时间，则排序所有桶使用 \(O(n \log\frac{n}{k})\) 时间，当桶数量 \(k\) 比较大时，时间复杂度则趋向于 \(O(n)\) 。最后合并结果需要遍历 \(n\) 个桶，使用 \(O(k)\) 时间。
最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序算法退化至 \(O(n^2)\) ，此时使用 \(O(n^2)\) 时间，因此是“自适应排序”。
空间复杂度 \(O(n + k)\) ：需要借助 \(k\) 个桶和共 \(n\) 个元素的额外空间，是“非原地排序”。
桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
11.7.3. 如何实现平均分配¶
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 \(O(n)\) ，难点是需要将元素均匀分配到各个桶中，因为现实中的数据往往都不是均匀分布的。举个例子，假设我们想要把淘宝的所有商品根据价格范围平均分配到 10 个桶中，然而商品价格不是均匀分布的，100 元以下非常多、1000 元以上非常少；如果我们将价格区间平均划为 10 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。
为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止。此方法本质上是生成一个递归树，让叶结点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
Fig. 递归划分桶
如果我们提前知道商品价格的概率分布，那么也可以根据数据概率分布来设置每个桶的价格分界线。注意，数据分布不一定需要特意去统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型来近似。如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，就可以合理设置价格区间，将商品平均分配到各个桶中。
Fig. 根据概率分布划分桶