2.3. 空间复杂度¶
「空间复杂度 Space Complexity」用于衡量算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度非常类似。
2.3.1. 算法相关空间¶
算法运行过程中使用的内存空间主要包括以下几种：
- 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
- 「暂存空间」用于存储算法运行过程中的变量、对象、函数上下文等数据；
- 「输出空间」用于存储算法的输出数据；
通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。
暂存空间可以进一步划分为三个部分：
- 「暂存数据」用于保存算法运行过程中的各种常量、变量、对象等。
- 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统在每次调用函数时都会在栈顶部创建一个栈帧，函数返回后，栈帧空间会被释放。
- 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，在实际统计中通常忽略不计。
因此，在分析一段程序的空间复杂度时，我们一般统计 暂存数据、输出数据、栈帧空间 三部分。
Fig. 算法使用的相关空间
/* 类 */
class Node {
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* 函数 */
int function() {
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // 输入数据
final int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
/* 结构体 */
struct Node {
int val;
Node *next;
Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};
/* 函数 */
int func() {
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) { // 输入数据
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node* node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = func(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
class Node:
"""类"""
def __init__(self, x: int):
self.val: int = x # 节点值
self.next: Optional[Node] = None # 指向下一节点的指针（引用）
def function() -> int:
"""函数"""
# do something...
return 0
def algorithm(n) -> int: # 输入数据
A: int = 0 # 暂存数据（常量，一般用大写字母表示）
b: int = 0 # 暂存数据（变量）
node = Node(0) # 暂存数据（对象）
c: int = function() # 栈帧空间（调用函数）
return A + b + c # 输出数据
/* 结构体 */
type node struct {
val int
next *node
}
/* 创建 node 结构体 */
func newNode(val int) *node {
return &node{val: val}
}
/* 函数 */
func function() int {
// do something...
return 0
}
func algorithm(n int) int { // 输入数据
const a = 0 // 暂存数据（常量）
b := 0 // 暂存数据（变量）
newNode(0) // 暂存数据（对象）
c := function() // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c // 输出数据
}
/* 类 */
class Node {
val;
next;
constructor(val) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = null; // 指向下一节点的引用
}
}
/* 函数 */
function constFunc() {
// do something
return 0;
}
function algorithm(n) { // 输入数据
const a = 0; // 暂存数据（常量）
let b = 0; // 暂存数据（变量）
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
/* 类 */
class Node {
val: number;
next: Node | null;
constructor(val?: number) {
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
this.next = null; // 指向下一节点的引用
}
}
/* 函数 */
function constFunc(): number {
// do something
return 0;
}
function algorithm(n: number): number { // 输入数据
const a = 0; // 暂存数据（常量）
let b = 0; // 暂存数据（变量）
const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
const c = constFunc(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
/* 类 */
class Node
{
int val;
Node next;
Node(int x) { val = x; }
}
/* 函数 */
int function()
{
// do something...
return 0;
}
int algorithm(int n) // 输入数据
{
const int a = 0; // 暂存数据（常量）
int b = 0; // 暂存数据（变量）
Node node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
int c = function(); // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c; // 输出数据
}
/* 类 */
class Node {
var val: Int
var next: Node?
init(x: Int) {
val = x
}
}
/* 函数 */
func function() -> Int {
// do something...
return 0
}
func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
let a = 0 // 暂存数据（常量）
var b = 0 // 暂存数据（变量）
let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
return a + b + c // 输出数据
}
2.3.2. 推算方法¶
空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，我们通常只关注「最差空间复杂度」，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
最差空间复杂度中的“最差”有两层含义，分别是输入数据的最差分布和算法运行过程中的最差时间点。
- 以最差输入数据为准。当 \(n < 10\) 时，空间复杂度为 \(O(1)\) ；但当 \(n > 10\) 时，初始化的数组
nums占用 \(O(n)\) 空间；因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) ； - 以算法运行过程中的峰值内存为准。例如，程序在执行最后一行之前，占用 \(O(1)\) 空间；当初始化数组
nums时，程序占用 \(O(n)\) 空间；因此最差空间复杂度为 \(O(n)\) ；
在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。例如，函数 loop() 在循环中调用了 \(n\) 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 \(O(1)\) 。而递归函数 recur() 在运行过程中会同时存在 \(n\) 个未返回的 recur() ，从而占用 \(O(n)\) 的栈帧空间。
2.3.3. 常见类型¶
设输入数据大小为 \(n\) ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
\[
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶}
\end{aligned}
\]
Fig. 空间复杂度的常见类型
Tip
部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段我们先专注于理解空间复杂度的含义和推算方法。
常数阶 \(O(1)\)¶
常数阶常见于数量与输入数据大小 \(n\) 无关的常量、变量、对象。
需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 \(O(1)\) 。
space_complexity.go
/* 常数阶 */
func spaceConstant(n int) {
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
const a = 0
b := 0
nums := make([]int, 10000)
ListNode := newNode(0)
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
var c int
for i := 0; i < n; i++ {
c = 0
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
for i := 0; i < n; i++ {
function()
}
fmt.Println(a, b, nums, c, ListNode)
}
space_complexity.ts
/* 常数阶 */
function constant(n: number): void {
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
const a = 0;
const b = 0;
const nums = new Array(10000);
const node = new ListNode(0);
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
for (let i = 0; i < n; i++) {
const c = 0;
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
for (let i = 0; i < n; i++) {
constFunc();
}
}
space_complexity.zig
// 常数阶
fn constant(n: i32) void {
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
const a: i32 = 0;
var b: i32 = 0;
var nums = [_]i32{0}**10000;
var node = inc.ListNode(i32){.val = 0};
var i: i32 = 0;
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
while (i < n) : (i += 1) {
var c: i32 = 0;
_ = c;
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
i = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
_ = function();
}
_ = a;
_ = b;
_ = nums;
_ = node;
}
线性阶 \(O(n)\)¶
线性阶常见于元素数量与 \(n\) 成正比的数组、链表、栈、队列等。
space_complexity.java
/* 线性阶 */
void linear(int n) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
int[] nums = new int[n];
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
List<ListNode> nodes = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes.add(new ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
map.put(i, String.valueOf(i));
}
}
space_complexity.cpp
/* 线性阶 */
void linear(int n) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
vector<int> nums(n);
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
vector<ListNode> nodes;
for (int i = 0; i < n; i++) {
nodes.push_back(ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
unordered_map<int, string> map;
for (int i = 0; i < n; i++) {
map[i] = to_string(i);
}
}
space_complexity.go
/* 线性阶 */
func spaceLinear(n int) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
_ = make([]int, n)
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
var nodes []*node
for i := 0; i < n; i++ {
nodes = append(nodes, newNode(i))
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
m := make(map[int]string, n)
for i := 0; i < n; i++ {
m[i] = strconv.Itoa(i)
}
}
space_complexity.js
/* 线性阶 */
function linear(n) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
const nums = new Array(n);
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
const nodes = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
nodes.push(new ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
const map = new Map();
for (let i = 0; i < n; i++) {
map.set(i, i.toString());
}
}
space_complexity.ts
/* 线性阶 */
function linear(n: number): void {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
const nums = new Array(n);
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
const nodes: ListNode[] = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
nodes.push(new ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
const map = new Map();
for (let i = 0; i < n; i++) {
map.set(i, i.toString());
}
}
space_complexity.cs
/* 线性阶 */
void linear(int n)
{
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
int[] nums = new int[n];
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
List<ListNode> nodes = new();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
nodes.Add(new ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
Dictionary<int, String> map = new();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
map.Add(i, i.ToString());
}
}
space_complexity.zig
// 线性阶
fn linear(comptime n: i32) !void {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
var nums = [_]i32{0}**n;
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
var nodes = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
defer nodes.deinit();
var i: i32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
try nodes.append(i);
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
var map = std.AutoArrayHashMap(i32, []const u8).init(std.heap.page_allocator);
defer map.deinit();
var j: i32 = 0;
while (j < n) : (j += 1) {
const string = try std.fmt.allocPrint(std.heap.page_allocator, "{d}", .{j});
defer std.heap.page_allocator.free(string);
try map.put(i, string);
}
_ = nums;
}
以下递归函数会同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() 函数，使用 \(O(n)\) 大小的栈帧空间。
Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度
平方阶 \(O(n^2)\)¶
平方阶常见于矩阵和图，元素数量与 \(n\) 成平方关系。
space_complexity.java
/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
int[][] numMatrix = new int[n][n];
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
List<List<Integer>> numList = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.add(0);
}
numList.add(tmp);
}
}
space_complexity.ts
/* 平方阶 */
function quadratic(n: number): void {
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
const numMatrix = Array(n)
.fill(null)
.map(() => Array(n).fill(null));
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
const numList = [];
for (let i = 0; i < n; i++) {
const tmp = [];
for (let j = 0; j < n; j++) {
tmp.push(0);
}
numList.push(tmp);
}
}
space_complexity.zig
// 平方阶
fn quadratic(n: i32) !void {
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
var nodes = std.ArrayList(std.ArrayList(i32)).init(std.heap.page_allocator);
defer nodes.deinit();
var i: i32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
var tmp = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
defer tmp.deinit();
var j: i32 = 0;
while (j < n) : (j += 1) {
try tmp.append(0);
}
try nodes.append(tmp);
}
}
在以下递归函数中，同时存在 \(n\) 个未返回的 algorithm() ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 \(n, n-1, n-2, ..., 2, 1\) ，平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此总体占用 \(O(n^2)\) 空间。
Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度
指数阶 \(O(2^n)\)¶
指数阶常见于二叉树。高度为 \(n\) 的「满二叉树」的节点数量为 \(2^n - 1\) ，占用 \(O(2^n)\) 空间。
space_complexity.zig
// 指数阶（建立满二叉树）
fn buildTree(mem_allocator: std.mem.Allocator, n: i32) !?*inc.TreeNode(i32) {
if (n == 0) return null;
const root = try mem_allocator.create(inc.TreeNode(i32));
root.init(0);
root.left = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
root.right = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
return root;
}
Fig. 满二叉树产生的指数阶空间复杂度
对数阶 \(O(\log n)\)¶
对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。
例如“归并排序”算法，输入长度为 \(n\) 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 \(\log n\) 的递归树，使用 \(O(\log n)\) 栈帧空间。
再例如“数字转化为字符串”，输入任意正整数 \(n\) ，它的位数为 \(\log_{10} n\) ，即对应字符串长度为 \(\log_{10} n\) ，因此空间复杂度为 \(O(\log_{10} n) = O(\log n)\) 。
2.3.4. 权衡时间与空间¶
理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。
降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。
选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。