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13.4.   N 皇后问题

Question

根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 \(n\) 个皇后和一个 \(n \times n\) 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

如下图所示，当 \(n = 4\) 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，\(n \times n\) 大小的棋盘共有 \(n^2\) 个格子，给出了所有的选择 choices 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 state 。

4 皇后问题的解

图：4 皇后问题的解

本题共包含三个约束条件：多个皇后不能在同一行、同一列、同一对角线。值得注意的是，对角线分为主对角线 \ 和次对角线 / 两种。

n 皇后问题的约束条件

图：n 皇后问题的约束条件

逐行放置策略

皇后的数量和棋盘的行数都为 \(n\) ，因此我们容易得到一个推论：棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后。

也就是说，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。

如下图所示，为 \(4\) 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。

逐行放置策略

图：逐行放置策略

本质上看，逐行放置策略起到了剪枝的作用，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。

列与对角线剪枝

为了满足列约束，我们可以利用一个长度为 \(n\) 的布尔型数组 cols 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 cols 将已有皇后的列进行剪枝，并在回溯中动态更新 cols 的状态。

那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 \((row, col)\) ，选定矩阵中的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等，即对角线上所有格子的 \(row - col\) 为恒定值。

也就是说，如果两个格子满足 \(row_1 - col_1 = row_2 - col_2\) ，则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律，我们可以借助一个数组 diag1 来记录每条主对角线上是否有皇后。

同理，次对角线上的所有格子的 \(row + col\) 是恒定值。我们可以使用相同方法，借助数组 diag2 来处理次对角线约束。

处理列约束和对角线约束

图：处理列约束和对角线约束

代码实现

请注意，\(n\) 维方阵中 \(row - col\) 的范围是 \([-n + 1, n - 1]\) ，\(row + col\) 的范围是 \([0, 2n - 2]\) ，所以主对角线和次对角线的数量都为 \(2n - 1\) ，即数组 diag1 和 diag2 的长度都为 \(2n - 1\) 。

n_queens.java
/* 回溯算法：N 皇后 */
void backtrack(int row, int n, List<List<String>> state, List<List<List<String>>> res,
        boolean[] cols, boolean[] diags1, boolean[] diags2) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if (row == n) {
        List<List<String>> copyState = new ArrayList<>();
        for (List<String> sRow : state) {
            copyState.add(new ArrayList<>(sRow));
        }
        res.add(copyState);
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state.get(row).set(col, "Q");
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state.get(row).set(col, "#");
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    List<List<String>> state = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<String> row = new ArrayList<>();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            row.add("#");
        }
        state.add(row);
    }
    boolean[] cols = new boolean[n]; // 记录列是否有皇后
    boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
    boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
    List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.cpp
/* 回溯算法：N 皇后 */
void backtrack(int row, int n, vector<vector<string>> &state, vector<vector<vector<string>>> &res, vector<bool> &cols,
               vector<bool> &diags1, vector<bool> &diags2) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if (row == n) {
        res.push_back(state);
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
vector<vector<vector<string>>> nQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
    vector<bool> cols(n, false);           // 记录列是否有皇后
    vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
    vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
    vector<vector<vector<string>>> res;

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.py
def backtrack(
    row: int,
    n: int,
    state: list[list[str]],
    res: list[list[list[str]]],
    cols: list[bool],
    diags1: list[bool],
    diags2: list[bool],
):
    """回溯算法：N 皇后"""
    # 当放置完所有行时，记录解
    if row == n:
        res.append([list(row) for row in state])
        return
    # 遍历所有列
    for col in range(n):
        # 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        diag1 = row - col + n - 1
        diag2 = row + col
        # 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
            # 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
            # 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            # 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False

def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
    """求解 N 皇后"""
    # 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    cols = [False] * n  # 记录列是否有皇后
    diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录主对角线是否有皇后
    diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 记录副对角线是否有皇后
    res = []
    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

    return res
n_queens.go
/* 回溯算法：N 皇后 */
func backtrack(row, n int, state *[][]string, res *[][][]string, cols, diags1, diags2 *[]bool) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if row == n {
        newState := make([][]string, len(*state))
        for i, _ := range newState {
            newState[i] = make([]string, len((*state)[0]))
            copy(newState[i], (*state)[i])

        }
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 遍历所有列
    for col := 0; col < n; col++ {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        diag1 := row - col + n - 1
        diag2 := row + col
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            (*state)[row][col] = "Q"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
            // 放置下一行
            backtrack(row+1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            // 回退：将该格子恢复为空位
            (*state)[row][col] = "#"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = false, false, false
        }
    }
}

/* 回溯算法：N 皇后 */
func backtrack(row, n int, state *[][]string, res *[][][]string, cols, diags1, diags2 *[]bool) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if row == n {
        newState := make([][]string, len(*state))
        for i, _ := range newState {
            newState[i] = make([]string, len((*state)[0]))
            copy(newState[i], (*state)[i])

        }
        *res = append(*res, newState)
    }
    // 遍历所有列
    for col := 0; col < n; col++ {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        diag1 := row - col + n - 1
        diag2 := row + col
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            (*state)[row][col] = "Q"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
            // 放置下一行
            backtrack(row+1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
            // 回退：将该格子恢复为空位
            (*state)[row][col] = "#"
            (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = false, false, false
        }
    }
}

func nQueens(n int) [][][]string {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    state := make([][]string, n)
    for i := 0; i < n; i++ {
        row := make([]string, n)
        for i := 0; i < n; i++ {
            row[i] = "#"
        }
        state[i] = row
    }
    // 记录列是否有皇后
    cols := make([]bool, n)
    diags1 := make([]bool, 2*n-1)
    diags2 := make([]bool, 2*n-1)
    res := make([][][]string, 0)
    backtrack(0, n, &state, &res, &cols, &diags1, &diags2)
    return res
}
n_queens.js
/* 回溯算法：N 皇后 */
function backtrack(row, n, state, res, cols, diags1, diags2) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if (row === n) {
        res.push(state.map((row) => row.slice()));
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for (let col = 0; col < n; col++) {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        const diag1 = row - col + n - 1;
        const diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = 'Q';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = '#';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
function nQueens(n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
    const cols = Array(n).fill(false); // 记录列是否有皇后
    const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线是否有皇后
    const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线是否有皇后
    const res = [];

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
    return res;
}
n_queens.ts
/* 回溯算法：N 皇后 */
function backtrack(
    row: number,
    n: number,
    state: string[][],
    res: string[][][],
    cols: boolean[],
    diags1: boolean[],
    diags2: boolean[]
): void {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if (row === n) {
        res.push(state.map((row) => row.slice()));
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for (let col = 0; col < n; col++) {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        const diag1 = row - col + n - 1;
        const diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = 'Q';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = '#';
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
function nQueens(n: number): string[][][] {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
    const cols = Array(n).fill(false); // 记录列是否有皇后
    const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录主对角线是否有皇后
    const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 记录副对角线是否有皇后
    const res: string[][][] = [];

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
    return res;
}
n_queens.c
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
n_queens.cs
/* 回溯算法：N 皇后 */
void backtrack(int row, int n, List<List<string>> state, List<List<List<string>>> res,
        bool[] cols, bool[] diags1, bool[] diags2) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if (row == n) {
        List<List<string>> copyState = new List<List<string>>();
        foreach (List<string> sRow in state) {
            copyState.Add(new List<string>(sRow));
        }
        res.Add(copyState);
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#";
            cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
List<List<List<string>>> nQueens(int n) {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    List<List<string>> state = new List<List<string>>();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        List<string> row = new List<string>();
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            row.Add("#");
        }
        state.Add(row);
    }
    bool[] cols = new bool[n]; // 记录列是否有皇后
    bool[] diags1 = new bool[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
    bool[] diags2 = new bool[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
    List<List<List<string>>> res = new List<List<List<string>>>();

    backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

    return res;
}
n_queens.swift
/* 回溯算法：N 皇后 */
func backtrack(row: Int, n: Int, state: inout [[String]], res: inout [[[String]]], cols: inout [Bool], diags1: inout [Bool], diags2: inout [Bool]) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if row == n {
        res.append(state)
        return
    }
    // 遍历所有列
    for col in 0 ..< n {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        let diag1 = row - col + n - 1
        let diag2 = row + col
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state[row][col] = "Q"
            cols[col] = true
            diags1[diag1] = true
            diags2[diag2] = true
            // 放置下一行
            backtrack(row: row + 1, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state[row][col] = "#"
            cols[col] = false
            diags1[diag1] = false
            diags2[diag2] = false
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
func nQueens(n: Int) -> [[[String]]] {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    var state = Array(repeating: Array(repeating: "#", count: n), count: n)
    var cols = Array(repeating: false, count: n) // 记录列是否有皇后
    var diags1 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录主对角线是否有皇后
    var diags2 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 记录副对角线是否有皇后
    var res: [[[String]]] = []

    backtrack(row: 0, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)

    return res
}
n_queens.zig
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
n_queens.dart
/* 回溯算法：N 皇后 */
void backtrack(
  int row,
  int n,
  List<List<String>> state,
  List<List<List<String>>> res,
  List<bool> cols,
  List<bool> diags1,
  List<bool> diags2,
) {
  // 当放置完所有行时，记录解
  if (row == n) {
    List<List<String>> copyState = [];
    for (List<String> sRow in state) {
      copyState.add(List.from(sRow));
    }
    res.add(copyState);
    return;
  }
  // 遍历所有列
  for (int col = 0; col < n; col++) {
    // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
    int diag1 = row - col + n - 1;
    int diag2 = row + col;
    // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
    if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
      // 尝试：将皇后放置在该格子
      state[row][col] = "Q";
      cols[col] = true;
      diags1[diag1] = true;
      diags2[diag2] = true;
      // 放置下一行
      backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
      // 回退：将该格子恢复为空位
      state[row][col] = "#";
      cols[col] = false;
      diags1[diag1] = false;
      diags2[diag2] = false;
    }
  }
}

/* 求解 N 皇后 */
List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
  // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
  List<List<String>> state = List.generate(n, (index) => List.filled(n, "#"));
  List<bool> cols = List.filled(n, false); // 记录列是否有皇后
  List<bool> diags1 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
  List<bool> diags2 = List.filled(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
  List<List<List<String>>> res = [];

  backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

  return res;
}
n_queens.rs
/* 回溯算法：N 皇后 */
fn backtrack(row: usize, n: usize, state: &mut Vec<Vec<String>>, res: &mut Vec<Vec<Vec<String>>>,
    cols: &mut [bool], diags1: &mut [bool], diags2: &mut [bool]) {
    // 当放置完所有行时，记录解
    if row == n {
        let mut copy_state: Vec<Vec<String>> = Vec::new();
        for s_row in state.clone() {
            copy_state.push(s_row);
        }
        res.push(copy_state);
        return;
    }
    // 遍历所有列
    for col in 0..n {
        // 计算该格子对应的主对角线和副对角线
        let diag1 = row + n - 1 - col;
        let diag2 = row + col;
        // 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
        if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
            // 尝试：将皇后放置在该格子
            state.get_mut(row).unwrap()[col] = "Q".into();
            (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (true, true, true);
            // 放置下一行
            backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
            // 回退：将该格子恢复为空位
            state.get_mut(row).unwrap()[col] = "#".into();
            (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (false, false, false);
        }
    }
}

/* 求解 N 皇后 */
fn n_queens(n: usize) -> Vec<Vec<Vec<String>>> {
    // 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
    let mut state: Vec<Vec<String>> = Vec::new();
    for _ in 0..n {
        let mut row: Vec<String> = Vec::new();
        for _ in 0..n {
            row.push("#".into());
        }
        state.push(row);
    }
    let mut cols = vec![false; n]; // 记录列是否有皇后
    let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
    let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
    let mut res: Vec<Vec<Vec<String>>> = Vec::new();

    backtrack(0, n, &mut state, &mut res, &mut cols, &mut diags1, &mut diags2);

    res
}

逐行放置 \(n\) 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 \(n, n-1, \cdots, 2, 1\) 个选择，因此时间复杂度为 \(O(n!)\) 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。

数组 state 使用 \(O(n^2)\) 空间，数组 cols , diags1 , diags2 皆使用 \(O(n)\) 空间。最大递归深度为 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 栈帧空间。因此，空间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

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