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10.1.   二分查找

「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

我们先来求解一个简单的二分查找问题。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。数组中不包含重复元素。

该数组的索引范围可以使用区间 \([0, n - 1]\) 来表示。其中，中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身。在该表示下，区间 \([i, j]\) 在 \(i = j\) 时仍包含一个元素，在 \(i > j\) 时为空区间。

接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:

  1. 计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ，其中 \(\lfloor \space \rfloor\) 表示向下取整操作。
  2. 根据 nums[m] 和 target 缩小搜索区间，分为三种情况：
    1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 \(i = m + 1\) ；
    2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此执行 \(j = m - 1\) ；
    3. 当 nums[m] = target 时，说明找到目标元素，直接返回索引 \(m\) 即可；

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空，即达到 \(i > j\) 。此时，终止循环并返回 \(-1\) 即可。

如下图所示，为了更清晰地表示区间，我们以折线图的形式表示数组。

二分查找步骤

binary_search_step1

binary_search_step2

binary_search_step3

binary_search_step4

binary_search_step5

binary_search_step6

binary_search_step7

值得注意的是，当数组长度 \(n\) 很大时，加法 \(i + j\) 的结果可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 来计算中点。

binary_search.java
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cpp
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.py
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（双闭区间）"""
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j = 0, len(nums) - 1
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while i <= j:
        # 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无需考虑大数越界问题
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
binary_search.go
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j := 0, len(nums)-1
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    for i <= j {
        m := i + (j-i)/2      // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.js
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums, target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    let i = 0,
        j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
        const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target)
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target)
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else return m; // 找到目标元素，返回其索引
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.ts
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    let i = 0,
        j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        // 计算中点索引 m
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }
    return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
binary_search.c
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int *nums, int len, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = len - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cs
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.Length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2;   // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.swift
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    var i = 0
    var j = nums.count - 1
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.zig
// 二分查找（双闭区间）
fn binarySearch(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    var i: usize = 0;
    var j: usize = nums.items.len - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        var m = i + (j - i) / 2;                // 计算中点索引 m
        if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
            return @intCast(T, m);
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 \(\log_2 n\) 。

空间复杂度为 \(O(1)\) 。指针 i , j 使用常数大小空间。

10.1.1.   区间表示方法

除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 \([0, n)\) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 \([i, j]\) 在 \(i = j\) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。

binary_search.java
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cpp
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.size();
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.py
def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找（左闭右开）"""
    # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    i, j = 0, len(nums)
    # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while i < j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
        elif nums[m] > target:
            j = m  # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
        else:
            return m  # 找到目标元素，返回其索引
    return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
binary_search.go
/* 二分查找（左闭右开） */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    i, j := 0, len(nums)
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    for i < j {
        m := i + (j-i)/2      // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.js
/* 二分查找（左闭右开） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    let i = 0,
        j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
        const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target)
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target)
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        // 找到目标元素，返回其索引
        else return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.ts
/* 二分查找（左闭右开） */
function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    let i = 0,
        j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        // 计算中点索引 m
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }
    return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
binary_search.c
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = len;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.cs
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.Length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2;   // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
binary_search.swift
/* 二分查找（左闭右开） */
func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    var i = 0
    var j = nums.count
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while i < j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m
        } else { // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1
}
binary_search.zig
// 二分查找（左闭右开）
fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    var i: usize = 0;
    var j: usize = nums.items.len;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i <= j) {
        var m = i + (j - i) / 2;                // 计算中点索引 m
        if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
            return @intCast(T, m);
        }
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 \(i\) 和 \(j\) 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，我们通常采用“双闭区间”的写法。

两种区间定义

Fig. 两种区间定义

10.1.2.   优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 \(n = 2^{20}\) 时，线性查找需要 \(2^{20} = 1048576\) 轮循环，而二分查找仅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 轮循环。
  • 二分查找无需额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 \(O(n)\) ，也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
  • 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 \(n\) 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

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