7.3 二叉树数组表示¶
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。上一节介绍了链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。
7.3.1 表示完美二叉树¶
先分析一个简单案例。给定一棵完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。图 7-12 展示了各个节点索引之间的映射关系。
图 7-12 完美二叉树的数组表示
映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
7.3.2 表示任意二叉树¶
完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 None 。由于层序遍历序列并不包含这些 None ，因此我们无法仅凭该序列来推测 None 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。
如图 7-13 所示，给定一棵非完美二叉树，上述数组表示方法已经失效。
图 7-13 层序遍历序列对应多种二叉树可能性
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 None 。如图 7-14 所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。示例代码如下：
图 7-14 任意类型二叉树的数组表示
值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，None 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾。
这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 None ，非常方便。图 7-15 给出了一个例子。
图 7-15 完全二叉树的数组表示
以下代码实现了一棵基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。
- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
array_binary_tree.py
class ArrayBinaryTree:
"""数组表示下的二叉树类"""
def __init__(self, arr: list[int | None]):
"""构造方法"""
self._tree = list(arr)
def size(self):
"""列表容量"""
return len(self._tree)
def val(self, i: int) -> int:
"""获取索引为 i 节点的值"""
# 若索引越界，则返回 None ，代表空位
if i < 0 or i >= self.size():
return None
return self._tree[i]
def left(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
return (i - 1) // 2
def level_order(self) -> list[int]:
"""层序遍历"""
self.res = []
# 直接遍历数组
for i in range(self.size()):
if self.val(i) is not None:
self.res.append(self.val(i))
return self.res
def dfs(self, i: int, order: str):
"""深度优先遍历"""
if self.val(i) is None:
return
# 前序遍历
if order == "pre":
self.res.append(self.val(i))
self.dfs(self.left(i), order)
# 中序遍历
if order == "in":
self.res.append(self.val(i))
self.dfs(self.right(i), order)
# 后序遍历
if order == "post":
self.res.append(self.val(i))
def pre_order(self) -> list[int]:
"""前序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="pre")
return self.res
def in_order(self) -> list[int]:
"""中序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="in")
return self.res
def post_order(self) -> list[int]:
"""后序遍历"""
self.res = []
self.dfs(0, order="post")
return self.res
array_binary_tree.cpp
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
public:
/* 构造方法 */
ArrayBinaryTree(vector<int> arr) {
tree = arr;
}
/* 列表容量 */
int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
int val(int i) {
// 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return INT_MAX;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder() {
vector<int> res;
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != INT_MAX)
res.push_back(val(i));
}
return res;
}
/* 前序遍历 */
vector<int> preOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
vector<int> inOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
vector<int> postOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "post", res);
return res;
}
private:
vector<int> tree;
/* 深度优先遍历 */
void dfs(int i, string order, vector<int> &res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == INT_MAX)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.push_back(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.push_back(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.push_back(val(i));
}
};
array_binary_tree.java
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<Integer> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<Integer> arr) {
tree = new ArrayList<>(arr);
}
/* 列表容量 */
public int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public Integer val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree.get(i);
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public Integer left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public Integer right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public Integer parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<Integer> levelOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != null)
res.add(val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(Integer i, String order, List<Integer> res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == null)
return;
// 前序遍历
if ("pre".equals(order))
res.add(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if ("in".equals(order))
res.add(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if ("post".equals(order))
res.add(val(i));
}
/* 前序遍历 */
public List<Integer> preOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<Integer> inOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<Integer> postOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
array_binary_tree.cs
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree(List<int?> arr) {
List<int?> tree = new(arr);
/* 列表容量 */
public int Size() {
return tree.Count;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public int? Val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= Size())
return null;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public int Left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public int Right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public int Parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<int> LevelOrder() {
List<int> res = [];
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < Size(); i++) {
if (Val(i).HasValue)
res.Add(Val(i)!.Value);
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
void DFS(int i, string order, List<int> res) {
// 若为空位，则返回
if (!Val(i).HasValue)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.Add(Val(i)!.Value);
DFS(Left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.Add(Val(i)!.Value);
DFS(Right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.Add(Val(i)!.Value);
}
/* 前序遍历 */
public List<int> PreOrder() {
List<int> res = [];
DFS(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<int> InOrder() {
List<int> res = [];
DFS(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<int> PostOrder() {
List<int> res = [];
DFS(0, "post", res);
return res;
}
}
array_binary_tree.go
/* 数组表示下的二叉树类 */
type arrayBinaryTree struct {
tree []any
}
/* 构造方法 */
func newArrayBinaryTree(arr []any) *arrayBinaryTree {
return &arrayBinaryTree{
tree: arr,
}
}
/* 列表容量 */
func (abt *arrayBinaryTree) size() int {
return len(abt.tree)
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
func (abt *arrayBinaryTree) val(i int) any {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if i < 0 || i >= abt.size() {
return nil
}
return abt.tree[i]
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) left(i int) int {
return 2*i + 1
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) right(i int) int {
return 2*i + 2
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) parent(i int) int {
return (i - 1) / 2
}
/* 层序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) levelOrder() []any {
var res []any
// 直接遍历数组
for i := 0; i < abt.size(); i++ {
if abt.val(i) != nil {
res = append(res, abt.val(i))
}
}
return res
}
/* 深度优先遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) dfs(i int, order string, res *[]any) {
// 若为空位，则返回
if abt.val(i) == nil {
return
}
// 前序遍历
if order == "pre" {
*res = append(*res, abt.val(i))
}
abt.dfs(abt.left(i), order, res)
// 中序遍历
if order == "in" {
*res = append(*res, abt.val(i))
}
abt.dfs(abt.right(i), order, res)
// 后序遍历
if order == "post" {
*res = append(*res, abt.val(i))
}
}
/* 前序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) preOrder() []any {
var res []any
abt.dfs(0, "pre", &res)
return res
}
/* 中序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) inOrder() []any {
var res []any
abt.dfs(0, "in", &res)
return res
}
/* 后序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) postOrder() []any {
var res []any
abt.dfs(0, "post", &res)
return res
}
array_binary_tree.swift
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private var tree: [Int?]
/* 构造方法 */
init(arr: [Int?]) {
tree = arr
}
/* 列表容量 */
func size() -> Int {
tree.count
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
func val(i: Int) -> Int? {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if i < 0 || i >= size() {
return nil
}
return tree[i]
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
func left(i: Int) -> Int {
2 * i + 1
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
func right(i: Int) -> Int {
2 * i + 2
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
(i - 1) / 2
}
/* 层序遍历 */
func levelOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
// 直接遍历数组
for i in stride(from: 0, to: size(), by: 1) {
if let val = val(i: i) {
res.append(val)
}
}
return res
}
/* 深度优先遍历 */
private func dfs(i: Int, order: String, res: inout [Int]) {
// 若为空位，则返回
guard let val = val(i: i) else {
return
}
// 前序遍历
if order == "pre" {
res.append(val)
}
dfs(i: left(i: i), order: order, res: &res)
// 中序遍历
if order == "in" {
res.append(val)
}
dfs(i: right(i: i), order: order, res: &res)
// 后序遍历
if order == "post" {
res.append(val)
}
}
/* 前序遍历 */
func preOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "pre", res: &res)
return res
}
/* 中序遍历 */
func inOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "in", res: &res)
return res
}
/* 后序遍历 */
func postOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "post", res: &res)
return res
}
}
array_binary_tree.js
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
#tree;
/* 构造方法 */
constructor(arr) {
this.#tree = arr;
}
/* 列表容量 */
size() {
return this.#tree.length;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
val(i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= this.size()) return null;
return this.#tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
left(i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
right(i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
parent(i) {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
/* 层序遍历 */
levelOrder() {
let res = [];
// 直接遍历数组
for (let i = 0; i < this.size(); i++) {
if (this.val(i) !== null) res.push(this.val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
#dfs(i, order, res) {
// 若为空位，则返回
if (this.val(i) === null) return;
// 前序遍历
if (order === 'pre') res.push(this.val(i));
this.#dfs(this.left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order === 'in') res.push(this.val(i));
this.#dfs(this.right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order === 'post') res.push(this.val(i));
}
/* 前序遍历 */
preOrder() {
const res = [];
this.#dfs(0, 'pre', res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
inOrder() {
const res = [];
this.#dfs(0, 'in', res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
postOrder() {
const res = [];
this.#dfs(0, 'post', res);
return res;
}
}
array_binary_tree.ts
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
#tree: (number | null)[];
/* 构造方法 */
constructor(arr: (number | null)[]) {
this.#tree = arr;
}
/* 列表容量 */
size(): number {
return this.#tree.length;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
val(i: number): number | null {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= this.size()) return null;
return this.#tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
left(i: number): number {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
right(i: number): number {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
parent(i: number): number {
return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}
/* 层序遍历 */
levelOrder(): number[] {
let res = [];
// 直接遍历数组
for (let i = 0; i < this.size(); i++) {
if (this.val(i) !== null) res.push(this.val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
#dfs(i: number, order: Order, res: (number | null)[]): void {
// 若为空位，则返回
if (this.val(i) === null) return;
// 前序遍历
if (order === 'pre') res.push(this.val(i));
this.#dfs(this.left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order === 'in') res.push(this.val(i));
this.#dfs(this.right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order === 'post') res.push(this.val(i));
}
/* 前序遍历 */
preOrder(): (number | null)[] {
const res = [];
this.#dfs(0, 'pre', res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
inOrder(): (number | null)[] {
const res = [];
this.#dfs(0, 'in', res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
postOrder(): (number | null)[] {
const res = [];
this.#dfs(0, 'post', res);
return res;
}
}
array_binary_tree.dart
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
late List<int?> _tree;
/* 构造方法 */
ArrayBinaryTree(this._tree);
/* 列表容量 */
int size() {
return _tree.length;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
int? val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size()) {
return null;
}
return _tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
int? left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
int? right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
int? parent(int i) {
return (i - 1) ~/ 2;
}
/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder() {
List<int> res = [];
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != null) {
res.add(val(i)!);
}
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
void dfs(int i, String order, List<int?> res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == null) {
return;
}
// 前序遍历
if (order == 'pre') {
res.add(val(i));
}
dfs(left(i)!, order, res);
// 中序遍历
if (order == 'in') {
res.add(val(i));
}
dfs(right(i)!, order, res);
// 后序遍历
if (order == 'post') {
res.add(val(i));
}
}
/* 前序遍历 */
List<int?> preOrder() {
List<int?> res = [];
dfs(0, 'pre', res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
List<int?> inOrder() {
List<int?> res = [];
dfs(0, 'in', res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
List<int?> postOrder() {
List<int?> res = [];
dfs(0, 'post', res);
return res;
}
}
array_binary_tree.rs
/* 数组表示下的二叉树类 */
struct ArrayBinaryTree {
tree: Vec<Option<i32>>,
}
impl ArrayBinaryTree {
/* 构造方法 */
fn new(arr: Vec<Option<i32>>) -> Self {
Self { tree: arr }
}
/* 列表容量 */
fn size(&self) -> i32 {
self.tree.len() as i32
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
fn val(&self, i: i32) -> Option<i32> {
// 若索引越界，则返回 None ，代表空位
if i < 0 || i >= self.size() {
None
} else {
self.tree[i as usize]
}
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
fn left(&self, i: i32) -> i32 {
2 * i + 1
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
fn right(&self, i: i32) -> i32 {
2 * i + 2
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
fn parent(&self, i: i32) -> i32 {
(i - 1) / 2
}
/* 层序遍历 */
fn level_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
// 直接遍历数组
for i in 0..self.size() {
if let Some(val) = self.val(i) {
res.push(val)
}
}
res
}
/* 深度优先遍历 */
fn dfs(&self, i: i32, order: &str, res: &mut Vec<i32>) {
if self.val(i).is_none() {
return;
}
let val = self.val(i).unwrap();
// 前序遍历
if order == "pre" {
res.push(val);
}
self.dfs(self.left(i), order, res);
// 中序遍历
if order == "in" {
res.push(val);
}
self.dfs(self.right(i), order, res);
// 后序遍历
if order == "post" {
res.push(val);
}
}
/* 前序遍历 */
fn pre_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "pre", &mut res);
res
}
/* 中序遍历 */
fn in_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "in", &mut res);
res
}
/* 后序遍历 */
fn post_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "post", &mut res);
res
}
}
array_binary_tree.c
/* 数组表示下的二叉树结构体 */
typedef struct {
int *tree;
int size;
} ArrayBinaryTree;
/* 构造函数 */
ArrayBinaryTree *newArrayBinaryTree(int *arr, int arrSize) {
ArrayBinaryTree *abt = (ArrayBinaryTree *)malloc(sizeof(ArrayBinaryTree));
abt->tree = malloc(sizeof(int) * arrSize);
memcpy(abt->tree, arr, sizeof(int) * arrSize);
abt->size = arrSize;
return abt;
}
/* 析构函数 */
void delArrayBinaryTree(ArrayBinaryTree *abt) {
free(abt->tree);
free(abt);
}
/* 列表容量 */
int size(ArrayBinaryTree *abt) {
return abt->size;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
int val(ArrayBinaryTree *abt, int i) {
// 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
if (i < 0 || i >= size(abt))
return INT_MAX;
return abt->tree[i];
}
/* 层序遍历 */
int *levelOrder(ArrayBinaryTree *abt, int *returnSize) {
int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size(abt));
int index = 0;
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(abt); i++) {
if (val(abt, i) != INT_MAX)
res[index++] = val(abt, i);
}
*returnSize = index;
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
void dfs(ArrayBinaryTree *abt, int i, char *order, int *res, int *index) {
// 若为空位，则返回
if (val(abt, i) == INT_MAX)
return;
// 前序遍历
if (strcmp(order, "pre") == 0)
res[(*index)++] = val(abt, i);
dfs(abt, left(i), order, res, index);
// 中序遍历
if (strcmp(order, "in") == 0)
res[(*index)++] = val(abt, i);
dfs(abt, right(i), order, res, index);
// 后序遍历
if (strcmp(order, "post") == 0)
res[(*index)++] = val(abt, i);
}
/* 前序遍历 */
int *preOrder(ArrayBinaryTree *abt, int *returnSize) {
int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size(abt));
int index = 0;
dfs(abt, 0, "pre", res, &index);
*returnSize = index;
return res;
}
/* 中序遍历 */
int *inOrder(ArrayBinaryTree *abt, int *returnSize) {
int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size(abt));
int index = 0;
dfs(abt, 0, "in", res, &index);
*returnSize = index;
return res;
}
/* 后序遍历 */
int *postOrder(ArrayBinaryTree *abt, int *returnSize) {
int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size(abt));
int index = 0;
dfs(abt, 0, "post", res, &index);
*returnSize = index;
return res;
}
可视化运行
7.3.3 优点与局限性¶
二叉树的数组表示主要有以下优点。
- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
- 不需要存储指针，比较节省空间。
- 允许随机访问节点。
然而，数组表示也存在一些局限性。
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
- 当二叉树中存在大量
None时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。