9.3   圖的走訪

樹代表的是“一對多”的關係，而圖則具有更高的自由度，可以表示任意的“多對多”關係。因此，我們可以把樹看作圖的一種特例。顯然，樹的走訪操作也是圖的走訪操作的一種特例。

圖和樹都需要應用搜索演算法來實現走訪操作。圖的走訪方式也可分為兩種：廣度優先走訪和深度優先走訪。

9.3.1   廣度優先走訪

廣度優先走訪是一種由近及遠的走訪方式，從某個節點出發，始終優先訪問距離最近的頂點，並一層層向外擴張。如圖 9-9 所示，從左上角頂點出發，首先走訪該頂點的所有鄰接頂點，然後走訪下一個頂點的所有鄰接頂點，以此類推，直至所有頂點訪問完畢。

圖 9-9   圖的廣度優先走訪

1.   演算法實現

BFS 通常藉助佇列來實現，程式碼如下所示。佇列具有“先入先出”的性質，這與 BFS 的“由近及遠”的思想異曲同工。

1. 將走訪起始頂點 startVet 加入列列，並開啟迴圈。
2. 在迴圈的每輪迭代中，彈出佇列首頂點並記錄訪問，然後將該頂點的所有鄰接頂點加入到佇列尾部。
3. 迴圈步驟 2. ，直到所有頂點被訪問完畢後結束。

為了防止重複走訪頂點，我們需要藉助一個雜湊表 visited 來記錄哪些節點已被訪問。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

graph_bfs.py

def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """廣度優先走訪"""
    # 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
    # 頂點走訪序列
    res = []
    # 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    visited = set[Vertex]([start_vet])
    # 佇列用於實現 BFS
    que = deque[Vertex]([start_vet])
    # 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while len(que) > 0:
        vet = que.popleft()  # 佇列首頂點出隊
        res.append(vet)  # 記錄訪問頂點
        # 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
            if adj_vet in visited:
                continue  # 跳過已被訪問的頂點
            que.append(adj_vet)  # 只入列未訪問的頂點
            visited.add(adj_vet)  # 標記該頂點已被訪問
    # 返回頂點走訪序列
    return res

graph_bfs.cpp

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 頂點走訪序列
    vector<Vertex *> res;
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
    // 佇列用於實現 BFS
    queue<Vertex *> que;
    que.push(startVet);
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (!que.empty()) {
        Vertex *vet = que.front();
        que.pop();          // 佇列首頂點出隊
        res.push_back(vet); // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue;            // 跳過已被訪問的頂點
            que.push(adjVet);        // 只入列未訪問的頂點
            visited.emplace(adjVet); // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res;
}

graph_bfs.java

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 頂點走訪序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    visited.add(startVet);
    // 佇列用於實現 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
    que.offer(startVet);
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 佇列首頂點出隊
        res.add(vet);            // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳過已被訪問的頂點
            que.offer(adjVet);   // 只入列未訪問的頂點
            visited.add(adjVet); // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res;
}

graph_bfs.cs

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
List<Vertex> GraphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 頂點走訪序列
    List<Vertex> res = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    HashSet<Vertex> visited = [startVet];
    // 佇列用於實現 BFS
    Queue<Vertex> que = new();
    que.Enqueue(startVet);
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (que.Count > 0) {
        Vertex vet = que.Dequeue(); // 佇列首頂點出隊
        res.Add(vet);               // 記錄訪問頂點
        foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
            if (visited.Contains(adjVet)) {
                continue;          // 跳過已被訪問的頂點
            }
            que.Enqueue(adjVet);   // 只入列未訪問的頂點
            visited.Add(adjVet);   // 標記該頂點已被訪問
        }
    }

    // 返回頂點走訪序列
    return res;
}

graph_bfs.go

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 頂點走訪序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 佇列用於實現 BFS, 使用切片模擬佇列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    for len(queue) > 0 {
        // 佇列首頂點出隊
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 記錄訪問頂點
        res = append(res, vet)
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入列未訪問的頂點
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res
}

graph_bfs.swift

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 頂點走訪序列
    var res: [Vertex] = []
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    var visited: Set<Vertex> = [startVet]
    // 佇列用於實現 BFS
    var que: [Vertex] = [startVet]
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while !que.isEmpty {
        let vet = que.removeFirst() // 佇列首頂點出隊
        res.append(vet) // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳過已被訪問的頂點
            }
            que.append(adjVet) // 只入列未訪問的頂點
            visited.insert(adjVet) // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res
}

graph_bfs.js

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
function graphBFS(graph, startVet) {
    // 頂點走訪序列
    const res = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    const visited = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 佇列用於實現 BFS
    const que = [startVet];
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 佇列首頂點出隊
        res.push(vet); // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳過已被訪問的頂點
            }
            que.push(adjVet); // 只入列未訪問的頂點
            visited.add(adjVet); // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res;
}

graph_bfs.ts

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 頂點走訪序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 佇列用於實現 BFS
    const que = [startVet];
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 佇列首頂點出隊
        res.push(vet); // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳過已被訪問的頂點
            }
            que.push(adjVet); // 只入列未訪問
            visited.add(adjVet); // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res;
}

graph_bfs.dart

/* 廣度優先走訪 */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
  // 頂點走訪序列
  List<Vertex> res = [];
  // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
  Set<Vertex> visited = {};
  visited.add(startVet);
  // 佇列用於實現 BFS
  Queue<Vertex> que = Queue();
  que.add(startVet);
  // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
  while (que.isNotEmpty) {
    Vertex vet = que.removeFirst(); // 佇列首頂點出隊
    res.add(vet); // 記錄訪問頂點
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
      if (visited.contains(adjVet)) {
        continue; // 跳過已被訪問的頂點
      }
      que.add(adjVet); // 只入列未訪問的頂點
      visited.add(adjVet); // 標記該頂點已被訪問
    }
  }
  // 返回頂點走訪序列
  return res;
}

graph_bfs.rs

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 頂點走訪序列
    let mut res = vec![];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    let mut visited = HashSet::new();
    visited.insert(start_vet);
    // 佇列用於實現 BFS
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(start_vet);
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while !que.is_empty() {
        let vet = que.pop_front().unwrap(); // 佇列首頂點出隊
        res.push(vet); // 記錄訪問頂點

        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
            for &adj_vet in adj_vets {
                if visited.contains(&adj_vet) {
                    continue; // 跳過已被訪問的頂點
                }
                que.push_back(adj_vet); // 只入列未訪問的頂點
                visited.insert(adj_vet); // 標記該頂點已被訪問
            }
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    res
}

graph_bfs.c

/* 節點佇列結構體 */
typedef struct {
    Vertex *vertices[MAX_SIZE];
    int front, rear, size;
} Queue;

/* 建構子 */
Queue *newQueue() {
    Queue *q = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
    q->front = q->rear = q->size = 0;
    return q;
}

/* 判斷佇列是否為空 */
int isEmpty(Queue *q) {
    return q->size == 0;
}

/* 入列操作 */
void enqueue(Queue *q, Vertex *vet) {
    q->vertices[q->rear] = vet;
    q->rear = (q->rear + 1) % MAX_SIZE;
    q->size++;
}

/* 出列操作 */
Vertex *dequeue(Queue *q) {
    Vertex *vet = q->vertices[q->front];
    q->front = (q->front + 1) % MAX_SIZE;
    q->size--;
    return vet;
}

/* 檢查頂點是否已被訪問 */
int isVisited(Vertex **visited, int size, Vertex *vet) {
    // 走訪查詢節點，使用 O(n) 時間
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (visited[i] == vet)
            return 1;
    }
    return 0;
}

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
void graphBFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize, Vertex **visited, int *visitedSize) {
    // 佇列用於實現 BFS
    Queue *queue = newQueue();
    enqueue(queue, startVet);
    visited[(*visitedSize)++] = startVet;
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (!isEmpty(queue)) {
        Vertex *vet = dequeue(queue); // 佇列首頂點出隊
        res[(*resSize)++] = vet;      // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
        while (node != NULL) {
            // 跳過已被訪問的頂點
            if (!isVisited(visited, *visitedSize, node->vertex)) {
                enqueue(queue, node->vertex);             // 只入列未訪問的頂點
                visited[(*visitedSize)++] = node->vertex; // 標記該頂點已被訪問
            }
            node = node->next;
        }
    }
    // 釋放記憶體
    free(queue);
}

graph_bfs.kt

/* 廣度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
fun graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): List<Vertex> {
    // 頂點走訪序列
    val res: MutableList<Vertex> = ArrayList()
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    val visited: MutableSet<Vertex> = HashSet()
    visited.add(startVet)
    // 佇列用於實現 BFS
    val que: Queue<Vertex> = LinkedList()
    que.offer(startVet)
    // 以頂點 vet 為起點，迴圈直至訪問完所有頂點
    while (!que.isEmpty()) {
        val vet = que.poll() // 佇列首頂點出隊
        res.add(vet) // 記錄訪問頂點
        // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
        for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
            if (visited.contains(adjVet)) continue  // 跳過已被訪問的頂點

            que.offer(adjVet) // 只入列未訪問的頂點
            visited.add(adjVet) // 標記該頂點已被訪問
        }
    }
    // 返回頂點走訪序列
    return res
}

graph_bfs.rb

[class]{}-[func]{graph_bfs}

graph_bfs.zig

[class]{}-[func]{graphBFS}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

程式碼相對抽象，建議對照圖 9-10 來加深理解。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

圖 9-10   圖的廣度優先走訪步驟

廣度優先走訪的序列是否唯一？

不唯一。廣度優先走訪只要求按“由近及遠”的順序走訪，而多個相同距離的頂點的走訪順序允許被任意打亂。以圖 9-10 為例，頂點 \(1\)、\(3\) 的訪問順序可以交換，頂點 \(2\)、\(4\)、\(6\) 的訪問順序也可以任意交換。

2.   複雜度分析

時間複雜度：所有頂點都會入列並出隊一次，使用 \(O(|V|)\) 時間；在走訪鄰接頂點的過程中，由於是無向圖，因此所有邊都會被訪問 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 時間；總體使用 \(O(|V| + |E|)\) 時間。

空間複雜度：串列 res ，雜湊表 visited ，佇列 que 中的頂點數量最多為 \(|V|\) ，使用 \(O(|V|)\) 空間。

9.3.2   深度優先走訪

深度優先走訪是一種優先走到底、無路可走再回頭的走訪方式。如圖 9-11 所示，從左上角頂點出發，訪問當前頂點的某個鄰接頂點，直到走到盡頭時返回，再繼續走到盡頭並返回，以此類推，直至所有頂點走訪完成。

圖 9-11   圖的深度優先走訪

1.   演算法實現

這種“走到盡頭再返回”的演算法範式通常基於遞迴來實現。與廣度優先走訪類似，在深度優先走訪中，我們也需要藉助一個雜湊表 visited 來記錄已被訪問的頂點，以避免重複訪問頂點。

PythonC++JavaC#GoSwiftJSTSDartRustCKotlinRubyZig

graph_dfs.py

def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
    """深度優先走訪輔助函式"""
    res.append(vet)  # 記錄訪問頂點
    visited.add(vet)  # 標記該頂點已被訪問
    # 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for adjVet in graph.adj_list[vet]:
        if adjVet in visited:
            continue  # 跳過已被訪問的頂點
        # 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet)

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """深度優先走訪"""
    # 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
    # 頂點走訪序列
    res = []
    # 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    visited = set[Vertex]()
    dfs(graph, visited, res, start_vet)
    return res

graph_dfs.cpp

/* 深度優先走訪輔助函式 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
    res.push_back(vet);   // 記錄訪問頂點
    visited.emplace(vet); // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue; // 跳過已被訪問的頂點
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 頂點走訪序列
    vector<Vertex *> res;
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    unordered_set<Vertex *> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.java

/* 深度優先走訪輔助函式 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 記錄訪問頂點
    visited.add(vet); // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳過已被訪問的頂點
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 頂點走訪序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.cs

/* 深度優先走訪輔助函式 */
void DFS(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.Add(vet);     // 記錄訪問頂點
    visited.Add(vet); // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
        if (visited.Contains(adjVet)) {
            continue; // 跳過已被訪問的頂點                             
        }
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        DFS(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
List<Vertex> GraphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 頂點走訪序列
    List<Vertex> res = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    HashSet<Vertex> visited = [];
    DFS(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.go

/* 深度優先走訪輔助函式 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作會返回新的的引用，必須讓原引用重新賦值為新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 頂點走訪序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回頂點走訪序列
    return res
}

graph_dfs.swift

/* 深度優先走訪輔助函式 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
    res.append(vet) // 記錄訪問頂點
    visited.insert(vet) // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
        if visited.contains(adjVet) {
            continue // 跳過已被訪問的頂點
        }
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 頂點走訪序列
    var res: [Vertex] = []
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    var visited: Set<Vertex> = []
    dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
    return res
}

graph_dfs.js

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
function dfs(graph, visited, res, vet) {
    res.push(vet); // 記錄訪問頂點
    visited.add(vet); // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳過已被訪問的頂點
        }
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
function graphDFS(graph, startVet) {
    // 頂點走訪序列
    const res = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    const visited = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.ts

/* 深度優先走訪輔助函式 */
function dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: Set<Vertex>,
    res: Vertex[],
    vet: Vertex
): void {
    res.push(vet); // 記錄訪問頂點
    visited.add(vet); // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳過已被訪問的頂點
        }
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 頂點走訪序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.dart

/* 深度優先走訪輔助函式 */
void dfs(
  GraphAdjList graph,
  Set<Vertex> visited,
  List<Vertex> res,
  Vertex vet,
) {
  res.add(vet); // 記錄訪問頂點
  visited.add(vet); // 標記該頂點已被訪問
  // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
  for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
    if (visited.contains(adjVet)) {
      continue; // 跳過已被訪問的頂點
    }
    // 遞迴訪問鄰接頂點
    dfs(graph, visited, res, adjVet);
  }
}

/* 深度優先走訪 */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 頂點走訪序列
  List<Vertex> res = [];
  // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
  Set<Vertex> visited = {};
  dfs(graph, visited, res, startVet);
  return res;
}

graph_dfs.rs

/* 深度優先走訪輔助函式 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
    res.push(vet); // 記錄訪問頂點
    visited.insert(vet); // 標記該頂點已被訪問
                         // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
        for &adj_vet in adj_vets {
            if visited.contains(&adj_vet) {
                continue; // 跳過已被訪問的頂點
            }
            // 遞迴訪問鄰接頂點
            dfs(graph, visited, res, adj_vet);
        }
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 頂點走訪序列
    let mut res = vec![];
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    let mut visited = HashSet::new();
    dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);

    res
}

graph_dfs.c

/* 檢查頂點是否已被訪問 */
int isVisited(Vertex **res, int size, Vertex *vet) {
    // 走訪查詢節點，使用 O(n) 時間
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (res[i] == vet) {
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

/* 深度優先走訪輔助函式 */
void dfs(GraphAdjList *graph, Vertex **res, int *resSize, Vertex *vet) {
    // 記錄訪問頂點
    res[(*resSize)++] = vet;
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    AdjListNode *node = findNode(graph, vet);
    while (node != NULL) {
        // 跳過已被訪問的頂點
        if (!isVisited(res, *resSize, node->vertex)) {
            // 遞迴訪問鄰接頂點
            dfs(graph, res, resSize, node->vertex);
        }
        node = node->next;
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
void graphDFS(GraphAdjList *graph, Vertex *startVet, Vertex **res, int *resSize) {
    dfs(graph, res, resSize, startVet);
}

graph_dfs.kt

/* 深度優先走訪輔助函式 */
fun dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: MutableSet<Vertex?>,
    res: MutableList<Vertex?>,
    vet: Vertex?
) {
    res.add(vet) // 記錄訪問頂點
    visited.add(vet) // 標記該頂點已被訪問
    // 走訪該頂點的所有鄰接頂點
    for (adjVet in graph.adjList[vet]!!) {
        if (visited.contains(adjVet)) continue  // 跳過已被訪問的頂點
        // 遞迴訪問鄰接頂點
        dfs(graph, visited, res, adjVet)
    }
}

/* 深度優先走訪 */
// 使用鄰接表來表示圖，以便獲取指定頂點的所有鄰接頂點
fun graphDFS(
    graph: GraphAdjList,
    startVet: Vertex?
): List<Vertex?> {
    // 頂點走訪序列
    val res: MutableList<Vertex?> = ArrayList()
    // 雜湊表，用於記錄已被訪問過的頂點
    val visited: MutableSet<Vertex?> = HashSet()
    dfs(graph, visited, res, startVet)
    return res
}

graph_dfs.rb

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graph_dfs}

graph_dfs.zig

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

深度優先走訪的演算法流程如圖 9-12 所示。

• 直虛線代表向下遞推，表示開啟了一個新的遞迴方法來訪問新頂點。
• 曲虛線代表向上回溯，表示此遞迴方法已經返回，回溯到了開啟此方法的位置。

為了加深理解，建議將圖 9-12 與程式碼結合起來，在腦中模擬（或者用筆畫下來）整個 DFS 過程，包括每個遞迴方法何時開啟、何時返回。

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圖 9-12   圖的深度優先走訪步驟

深度優先走訪的序列是否唯一？

與廣度優先走訪類似，深度優先走訪序列的順序也不是唯一的。給定某頂點，先往哪個方向探索都可以，即鄰接頂點的順序可以任意打亂，都是深度優先走訪。

以樹的走訪為例，“根 \(\rightarrow\) 左 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”“左 \(\rightarrow\) 右 \(\rightarrow\) 根”分別對應前序、中序、後序走訪，它們展示了三種走訪優先順序，然而這三者都屬於深度優先走訪。

2.   複雜度分析

時間複雜度：所有頂點都會被訪問 \(1\) 次，使用 \(O(|V|)\) 時間；所有邊都會被訪問 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 時間；總體使用 \(O(|V| + |E|)\) 時間。

空間複雜度：串列 res ，雜湊表 visited 頂點數量最多為 \(|V|\) ，遞迴深度最大為 \(|V|\) ，因此使用 \(O(|V|)\) 空間。