# 基数排序

上一节我们介绍了计数排序，它适用于数据量 $n$ 较大但数据范围 $m$ 较小的情况。假设我们需要对 $n = 10^6$ 个学号进行排序，而学号是一个 $8$ 位数字，这意味着数据范围 $m = 10^8$ 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序**，从而得到最终的排序结果。

## 算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 $1$ 位，最高位是第 $8$ 位，基数排序的步骤如下：

1. 初始化位数 $k = 1$ ；
2. 对学号的第 $k$ 位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第 $k$ 位从小到大排序；
3. 将 $k$ 增加 $1$ ，然后返回步骤 `2.` 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束；

![基数排序算法流程](radix_sort.assets/radix_sort_overview.png)

下面来剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ，要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下计算公式：

$$
x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d
$$

其中 $\lfloor a \rfloor$ 表示对浮点数 $a$ 向下取整，而 $\mod d$ 表示对 $d$ 取余。对于学号数据，$d = 10$ 且 $k \in [1, 8]$ 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序。

=== "Java"

    ```java title="radix_sort.java"
    [class]{radix_sort}-[func]{digit}

    [class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="radix_sort.cpp"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "Python"

    ```python title="radix_sort.py"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{counting_sort_digit}

    [class]{}-[func]{radix_sort}
    ```

=== "Go"

    ```go title="radix_sort.go"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="radix_sort.js"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="radix_sort.ts"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "C"

    ```c title="radix_sort.c"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="radix_sort.cs"
    [class]{radix_sort}-[func]{digit}

    [class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="radix_sort.swift"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="radix_sort.zig"
    [class]{}-[func]{digit}

    [class]{}-[func]{countingSortDigit}

    [class]{}-[func]{radixSort}
    ```

!!! question "为什么从最低位开始排序？"

    在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

## 算法特性

**时间复杂度 $O(nk)$** ：设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下，$d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O(n)$ 。

**空间复杂度 $O(n + d)$** ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` ，因此它是一种“非原地排序”。

基数排序与计数排序一样，都属于稳定排序。相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，**但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大**。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 $k$ 过大，可能导致时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。