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comments: true
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# 10.1 二分查找
「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。示例如图 10-1 所示。
{ class="animation-figure" }
图 10-1 二分查找示例数据
如图 10-2 所示，我们先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 $[0, n - 1]$ 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。
接下来，循环执行以下两步。
1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \: \rfloor$ 表示向下取整操作。
2. 判断 `nums[m]` 和 `target` 的大小关系，分为以下三种情况。
1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ 。
2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ 。
3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到 `target` ，因此返回索引 $m$ 。
若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 $-1$ 。
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
=== "<3>"
{ class="animation-figure" }
=== "<4>"
{ class="animation-figure" }
=== "<5>"
{ class="animation-figure" }
=== "<6>"
{ class="animation-figure" }
=== "<7>"
{ class="animation-figure" }
图 10-2 二分查找流程
值得注意的是，由于 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 类型，**因此 $i + j$ 可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
代码如下所示：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找（双闭区间）"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j:
# 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无须考虑大数越界问题
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
else:
return m # 找到目标元素，返回其索引
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector &nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.size() - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
/* 二分查找（双闭区间） */
int BinarySearch(int[] nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.Length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j := 0, len(nums)-1
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
for i <= j {
m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
/* 二分查找（双闭区间） */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
var i = 0
var j = nums.count - 1
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search.js"
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums, target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
let i = 0,
j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
// 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target)
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target)
// 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else return m; // 找到目标元素，返回其索引
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search.ts"
/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
let i = 0,
j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
// 计算中点索引 m
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
} else if (nums[m] > target) {
// 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search.dart"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(List nums, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
} else if (nums[m] > target) {
// 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（双闭区间） */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32 - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
} else if nums[m as usize] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C"
```c title="binary_search.c"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int *nums, int len, int target) {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
int i = 0, j = len - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
// 二分查找（双闭区间）
fn binarySearch(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
var i: usize = 0;
var j: usize = nums.items.len - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) {
var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
} else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return @intCast(m);
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
**时间复杂度为 $O(\log n)$** ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为 $\log_2 n$ 。
**空间复杂度为 $O(1)$** ：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小空间。
## 10.1.1 区间表示方法
除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j)$ 在 $i = j$ 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找（左闭右开区间）"""
# 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j = 0, len(nums)
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
elif nums[m] > target:
j = m # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
else:
return m # 找到目标元素，返回其索引
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(vector &nums, int target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int BinarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.Length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
i, j := 0, len(nums)
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
for i < j {
m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i = 0
var j = nums.count
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j {
let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search.js"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums, target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
// 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target)
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target)
// 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
// 找到目标元素，返回其索引
else return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search.ts"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let i = 0,
j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
// 计算中点索引 m
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
} else if (nums[m] > target) {
// 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search.dart"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(List nums, int target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
} else if (nums[m] > target) {
// 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
fn binary_search_lcro(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
} else if nums[m as usize] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "C"
```c title="binary_search.c"
/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
int i = 0, j = len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else // 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
// 二分查找（左闭右开区间）
fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
var i: usize = 0;
var j: usize = nums.items.len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i <= j) {
var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
} else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return @intCast(m);
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
??? pythontutor "可视化运行"
如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 $i$ 和指针 $j$ 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
{ class="animation-figure" }
图 10-3 两种区间定义
## 10.1.2 优点与局限性
二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。
- 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
- 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。