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5.2.   队列

「队列 Queue」是一种遵循先入先出（First In, First Out）规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟了排队现象，即新来的人不断加入队列的尾部，而位于队列头部的人逐个离开。

我们把队列的头部称为「队首」，尾部称为「队尾」，把将元素加入队尾的操作称为「入队」，删除队首元素的操作称为「出队」。

队列的先入先出规则

Fig. 队列的先入先出规则

5.2.1.   队列常用操作

队列的常见操作如下表所示。需要注意的是，不同编程语言的方法名称可能会有所不同。我们在此采用与栈相同的方法命名。

方法名 描述 时间复杂度
push() 元素入队，即将元素添加至队尾 \(O(1)\)
pop() 队首元素出队 \(O(1)\)
peek() 访问队首元素 \(O(1)\)

我们可以直接使用编程语言中现成的队列类。

queue.java
/* 初始化队列 */
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

/* 元素入队 */
queue.offer(1);
queue.offer(3);
queue.offer(2);
queue.offer(5);
queue.offer(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.peek();

/* 元素出队 */
int pop = queue.poll();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.size();

/* 判断队列是否为空 */
boolean isEmpty = queue.isEmpty();
queue.cpp
/* 初始化队列 */
queue<int> queue;

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
int front = queue.front();

/* 元素出队 */
queue.pop();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.size();

/* 判断队列是否为空 */
bool empty = queue.empty();
queue.py
# 初始化队列
# 在 Python 中，我们一般将双向队列类 deque 看作队列使用
# 虽然 queue.Queue() 是纯正的队列类，但不太好用，因此不建议
que: Deque[int] = collections.deque()

# 元素入队
que.append(1)
que.append(3)
que.append(2)
que.append(5)
que.append(4)

# 访问队首元素
front: int = que[0];

# 元素出队
pop: int = que.popleft()

# 获取队列的长度
size: int = len(que)

# 判断队列是否为空
is_empty: bool = len(que) == 0
queue_test.go
/* 初始化队列 */
// 在 Go 中，将 list 作为队列来使用
queue := list.New()

/* 元素入队 */
queue.PushBack(1)
queue.PushBack(3)
queue.PushBack(2)
queue.PushBack(5)
queue.PushBack(4)

/* 访问队首元素 */
peek := queue.Front()

/* 元素出队 */
pop := queue.Front()
queue.Remove(pop)

/* 获取队列的长度 */
size := queue.Len()

/* 判断队列是否为空 */
isEmpty := queue.Len() == 0
queue.js
/* 初始化队列 */
// JavaScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用
const queue = [];

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
const peek = queue[0];

/* 元素出队 */
// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
const pop = queue.shift();

/* 获取队列的长度 */
const size = queue.length;

/* 判断队列是否为空 */
const empty = queue.length === 0;
queue.ts
/* 初始化队列 */
// TypeScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用 
const queue: number[] = [];

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
const peek = queue[0];

/* 元素出队 */
// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
const pop = queue.shift();

/* 获取队列的长度 */
const size = queue.length;

/* 判断队列是否为空 */
const empty = queue.length === 0;
queue.c
// C 未提供内置队列
queue.cs
/* 初始化队列 */
Queue<int> queue = new();

/* 元素入队 */
queue.Enqueue(1);
queue.Enqueue(3);
queue.Enqueue(2);
queue.Enqueue(5);
queue.Enqueue(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.Peek();

/* 元素出队 */
int pop = queue.Dequeue();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.Count;

/* 判断队列是否为空 */
bool isEmpty = queue.Count == 0;
queue.swift
/* 初始化队列 */
// Swift 没有内置的队列类，可以把 Array 当作队列来使用
var queue: [Int] = []

/* 元素入队 */
queue.append(1)
queue.append(3)
queue.append(2)
queue.append(5)
queue.append(4)

/* 访问队首元素 */
let peek = queue.first!

/* 元素出队 */
// 由于是数组，因此 removeFirst 的复杂度为 O(n)
let pool = queue.removeFirst()

/* 获取队列的长度 */
let size = queue.count

/* 判断队列是否为空 */
let isEmpty = queue.isEmpty
queue.zig
queue.dart
/* 初始化队列 */
// 在 Dart 中，队列类 Qeque 是双向队列，也可作为队列使用
Queue<int> queue = Queue();

/* 元素入队 */
queue.add(1);
queue.add(3);
queue.add(2);
queue.add(5);
queue.add(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.first;

/* 元素出队 */
int pop = queue.removeFirst();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.length;

/* 判断队列是否为空 */
bool isEmpty = queue.isEmpty;

5.2.2.   队列实现

为了实现队列，我们需要一种数据结构，可以在一端添加元素，并在另一端删除元素。因此，链表和数组都可以用来实现队列。

基于链表的实现

对于链表实现，我们可以将链表的「头节点」和「尾节点」分别视为队首和队尾，规定队尾仅可添加节点，而队首仅可删除节点。

基于链表实现队列的入队出队操作

linkedlist_queue_push

linkedlist_queue_pop

以下是用链表实现队列的示例代码。

linkedlist_queue.java
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private ListNode front, rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
    private int queSize = 0;

    public LinkedListQueue() {
        front = null;
        rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        // 尾节点后添加 num
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (front == null) {
            front = node;
            rear = node;
        // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        } else {
            rear.next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 删除头节点
        front = front.next;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (size() == 0)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray() {
        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}
linkedlist_queue.cpp
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
  private:
    ListNode *front, *rear; // 头节点 front ，尾节点 rear
    int queSize;

  public:
    LinkedListQueue() {
        front = nullptr;
        rear = nullptr;
        queSize = 0;
    }

    ~LinkedListQueue() {
        // 遍历链表删除节点，释放内存
        freeMemoryLinkedList(front);
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        // 尾节点后添加 num
        ListNode *node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (front == nullptr) {
            front = node;
            rear = node;
        }
        // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else {
            rear->next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    void pop() {
        int num = peek();
        // 删除头节点
        ListNode *tmp = front;
        front = front->next;
        // 释放内存
        delete tmp;
        queSize--;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (size() == 0)
            throw out_of_range("队列为空");
        return front->val;
    }

    /* 将链表转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        ListNode *node = front;
        vector<int> res(size());
        for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
            res[i] = node->val;
            node = node->next;
        }
        return res;
    }
};
linkedlist_queue.py
class LinkedListQueue:
    """基于链表实现的队列"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.__front: ListNode | None = None  # 头节点 front
        self.__rear: ListNode | None = None  # 尾节点 rear
        self.__size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return not self.__front

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        # 尾节点后添加 num
        node = ListNode(num)
        # 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if self.__front is None:
            self.__front = node
            self.__rear = node
        # 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else:
            self.__rear.next = node
            self.__rear = node
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num = self.peek()
        # 删除头节点
        self.__front = self.__front.next
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.size() == 0:
            print("队列为空")
            return False
        return self.__front.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """转化为列表用于打印"""
        queue = []
        temp = self.__front
        while temp:
            queue.append(temp.val)
            temp = temp.next
        return queue
linkedlist_queue.go
/* 基于链表实现的队列 */
type linkedListQueue struct {
    // 使用内置包 list 来实现队列
    data *list.List
}

/* 初始化队列 */
func newLinkedListQueue() *linkedListQueue {
    return &linkedListQueue{
        data: list.New(),
    }
}

/* 入队 */
func (s *linkedListQueue) push(value any) {
    s.data.PushBack(value)
}

/* 出队 */
func (s *linkedListQueue) pop() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 访问队首元素 */
func (s *linkedListQueue) peek() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    return e.Value
}

/* 获取队列的长度 */
func (s *linkedListQueue) size() int {
    return s.data.Len()
}

/* 判断队列是否为空 */
func (s *linkedListQueue) isEmpty() bool {
    return s.data.Len() == 0
}

/* 获取 List 用于打印 */
func (s *linkedListQueue) toList() *list.List {
    return s.data
}
linkedlist_queue.js
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    #front; // 头节点 #front
    #rear; // 尾节点 #rear
    #queSize = 0;

    constructor() {
        this.#front = null;
        this.#rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size() {
        return this.#queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    isEmpty() {
        return this.size === 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num) {
        // 尾节点后添加 num
        const node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (!this.#front) {
            this.#front = node;
            this.#rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        } else {
            this.#rear.next = node;
            this.#rear = node;
        }
        this.#queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop() {
        const num = this.peek();
        // 删除头节点
        this.#front = this.#front.next;
        this.#queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek() {
        if (this.size === 0) throw new Error('队列为空');
        return this.#front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    toArray() {
        let node = this.#front;
        const res = new Array(this.size);
        for (let i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}
linkedlist_queue.ts
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private front: ListNode | null; // 头节点 front
    private rear: ListNode | null; // 尾节点 rear
    private queSize: number = 0;

    constructor() {
        this.front = null;
        this.rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size(): number {
        return this.queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    isEmpty(): boolean {
        return this.size === 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num: number): void {
        // 尾节点后添加 num
        const node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (!this.front) {
            this.front = node;
            this.rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        } else {
            this.rear!.next = node;
            this.rear = node;
        }
        this.queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop(): number {
        const num = this.peek();
        if (!this.front) throw new Error('队列为空');
        // 删除头节点
        this.front = this.front.next;
        this.queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek(): number {
        if (this.size === 0) throw new Error('队列为空');
        return this.front!.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    toArray(): number[] {
        let node = this.front;
        const res = new Array<number>(this.size);
        for (let i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node!.val;
            node = node!.next;
        }
        return res;
    }
}
linkedlist_queue.c
/* 基于链表实现的队列 */
struct linkedListQueue {
    ListNode *front, *rear;
    int queSize;
};

typedef struct linkedListQueue linkedListQueue;

/* 构造函数 */
linkedListQueue *newLinkedListQueue() {
    linkedListQueue *queue = (linkedListQueue *)malloc(sizeof(linkedListQueue));
    queue->front = NULL;
    queue->rear = NULL;
    queue->queSize = 0;
    return queue;
}

/* 析构函数 */
void delLinkedListQueue(linkedListQueue *queue) {
    // 释放所有节点
    for (int i = 0; i < queue->queSize && queue->front != NULL; i++) {
        ListNode *tmp = queue->front;
        queue->front = queue->front->next;
        free(tmp);
    }
    // 释放 queue 结构体
    free(queue);
}

/* 获取队列的长度 */
int size(linkedListQueue *queue) {
    return queue->queSize;
}

/* 判断队列是否为空 */
bool empty(linkedListQueue *queue) {
    return (size(queue) == 0);
}

/* 入队 */
void push(linkedListQueue *queue, int num) {
    // 尾节点处添加 node
    ListNode *node = newListNode(num);
    // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
    if (queue->front == NULL) {
        queue->front = node;
        queue->rear = node;
    }
    // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
    else {
        queue->rear->next = node;
        queue->rear = node;
    }
    queue->queSize++;
}

/* 访问队首元素 */
int peek(linkedListQueue *queue) {
    assert(size(queue) && queue->front);
    return queue->front->val;
}

/* 出队 */
void pop(linkedListQueue *queue) {
    int num = peek(queue);
    ListNode *tmp = queue->front;
    queue->front = queue->front->next;
    free(tmp);
    queue->queSize--;
}

/* 打印队列 */
void printLinkedListQueue(linkedListQueue *queue) {
    int arr[queue->queSize];
    // 拷贝链表中的数据到数组
    int i;
    ListNode *node;
    for (i = 0, node = queue->front; i < queue->queSize && queue->front != queue->rear; i++) {
        arr[i] = node->val;
        node = node->next;
    }
    printArray(arr, queue->queSize);
}
linkedlist_queue.cs
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private ListNode? front, rear;  // 头节点 front ，尾节点 rear 
    private int queSize = 0;

    public LinkedListQueue() {
        front = null;
        rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public bool isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        // 尾节点后添加 num
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if (front == null) {
            front = node;
            rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        } else if (rear != null) {
            rear.next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 删除头节点
        front = front?.next;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (size() == 0 || front == null)
            throw new Exception();
        return front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray() {
        if (front == null)
            return Array.Empty<int>();

        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.Length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}
linkedlist_queue.swift
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private var front: ListNode? // 头节点
    private var rear: ListNode? // 尾节点
    private var _size = 0

    init() {}

    /* 获取队列的长度 */
    func size() -> Int {
        _size
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    func isEmpty() -> Bool {
        size() == 0
    }

    /* 入队 */
    func push(num: Int) {
        // 尾节点后添加 num
        let node = ListNode(x: num)
        // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
        if front == nil {
            front = node
            rear = node
        }
        // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
        else {
            rear?.next = node
            rear = node
        }
        _size += 1
    }

    /* 出队 */
    @discardableResult
    func pop() -> Int {
        let num = peek()
        // 删除头节点
        front = front?.next
        _size -= 1
        return num
    }

    /* 访问队首元素 */
    func peek() -> Int {
        if isEmpty() {
            fatalError("队列为空")
        }
        return front!.val
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    func toArray() -> [Int] {
        var node = front
        var res = Array(repeating: 0, count: size())
        for i in res.indices {
            res[i] = node!.val
            node = node?.next
        }
        return res
    }
}
linkedlist_queue.zig
// 基于链表实现的队列
fn LinkedListQueue(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        front: ?*inc.ListNode(T) = null,                // 头节点 front
        rear: ?*inc.ListNode(T) = null,                 // 尾节点 rear
        que_size: usize = 0,                            // 队列的长度
        mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
        mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined,   // 内存分配器

        // 构造函数（分配内存+初始化队列）
        pub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator) !void {
            if (self.mem_arena == null) {
                self.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);
                self.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();
            }
            self.front = null;
            self.rear = null;
            self.que_size = 0;
        }

        // 析构函数（释放内存）
        pub fn deinit(self: *Self) void {
            if (self.mem_arena == null) return;
            self.mem_arena.?.deinit();
        }

        // 获取队列的长度
        pub fn size(self: *Self) usize {
            return self.que_size;
        }

        // 判断队列是否为空
        pub fn isEmpty(self: *Self) bool {
            return self.size() == 0;
        }

        // 访问队首元素
        pub fn peek(self: *Self) T {
            if (self.size() == 0) @panic("队列为空");
            return self.front.?.val;
        }  

        // 入队
        pub fn push(self: *Self, num: T) !void {
            // 尾节点后添加 num
            var node = try self.mem_allocator.create(inc.ListNode(T));
            node.init(num);
            // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
            if (self.front == null) {
                self.front = node;
                self.rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
            } else {
                self.rear.?.next = node;
                self.rear = node;
            }
            self.que_size += 1;
        } 

        // 出队
        pub fn pop(self: *Self) T {
            var num = self.peek();
            // 删除头节点
            self.front = self.front.?.next;
            self.que_size -= 1;
            return num;
        } 

        // 将链表转换为数组
        pub fn toArray(self: *Self) ![]T {
            var node = self.front;
            var res = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());
            @memset(res, @as(T, 0));
            var i: usize = 0;
            while (i < res.len) : (i += 1) {
                res[i] = node.?.val;
                node = node.?.next;
            }
            return res;
        }
    };
}
linkedlist_queue.dart
/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
  ListNode? _front; // 头节点 _front
  ListNode? _rear; // 尾节点 _rear
  int _queSize = 0; // 队列长度

  LinkedListQueue() {
    _front = null;
    _rear = null;
  }

  /* 获取队列的长度 */
  int size() {
    return _queSize;
  }

  /* 判断队列是否为空 */
  bool isEmpty() {
    return _queSize == 0;
  }

  /* 入队 */
  void push(int num) {
    // 尾节点后添加 num
    final node = ListNode(num);
    // 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
    if (_front == null) {
      _front = node;
      _rear = node;
    } else {
      // 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
      _rear!.next = node;
      _rear = node;
    }
    _queSize++;
  }

  /* 出队 */
  int pop() {
    final int num = peek();
    // 删除头节点
    _front = _front!.next;
    _queSize--;
    return num;
  }

  /* 访问队首元素 */
  int peek() {
    if (_queSize == 0) {
      throw Exception('队列为空');
    }
    return _front!.val;
  }

  /* 将链表转化为 Array 并返回 */
  List<int> toArray() {
    ListNode? node = _front;
    final List<int> queue = [];
    while (node != null) {
      queue.add(node.val);
      node = node.next;
    }
    return queue;
  }
}

基于数组的实现

由于数组删除首元素的时间复杂度为 \(O(n)\) ，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。

我们可以使用一个变量 front 指向队首元素的索引，并维护一个变量 queSize 用于记录队列长度。定义 rear = front + queSize ，这个公式计算出的 rear 指向队尾元素之后的下一个位置。

基于此设计，数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1]，进而：

  • 对于入队操作，将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 queSize 增加 1 。
  • 对于出队操作，只需将 front 增加 1 ，并将 queSize 减少 1 。

可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 \(O(1)\) 。

基于数组实现队列的入队出队操作

array_queue_push

array_queue_pop

你可能会发现一个问题：在不断进行入队和出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，当它们到达数组尾部时就无法继续移动了。为解决此问题，我们可以将数组视为首尾相接的「环形数组」。

对于环形数组，我们需要让 front 或 rear 在越过数组尾部时，直接回到数组头部继续遍历。这种周期性规律可以通过“取余操作”来实现，代码如下所示。

array_queue.java
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private int[] nums; // 用于存储队列元素的数组
    private int front; // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 队列长度

    public ArrayQueue(int capacity) {
        nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    public int capacity() {
        return nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            System.out.println("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % capacity();
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        return nums[front];
    }

    /* 返回数组 */
    public int[] toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            res[i] = nums[j % capacity()];
        }
        return res;
    }
}
array_queue.cpp
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
  private:
    int *nums;       // 用于存储队列元素的数组
    int front;       // 队首指针，指向队首元素
    int queSize;     // 队列长度
    int queCapacity; // 队列容量

  public:
    ArrayQueue(int capacity) {
        // 初始化数组
        nums = new int[capacity];
        queCapacity = capacity;
        front = queSize = 0;
    }

    ~ArrayQueue() {
        delete[] nums;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    int capacity() {
        return queCapacity;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        if (queSize == queCapacity) {
            cout << "队列已满" << endl;
            return;
        }
        // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % queCapacity;
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    void pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % queCapacity;
        queSize--;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (empty())
            throw out_of_range("队列为空");
        return nums[front];
    }

    /* 将数组转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        vector<int> arr(queSize);
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            arr[i] = nums[j % queCapacity];
        }
        return arr;
    }
};
array_queue.py
class ArrayQueue:
    """基于环形数组实现的队列"""

    def __init__(self, size: int):
        """构造方法"""
        self.__nums: list[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
        self.__front: int = 0  # 队首指针，指向队首元素
        self.__size: int = 0  # 队列长度

    def capacity(self) -> int:
        """获取队列的容量"""
        return len(self.__nums)

    def size(self) -> int:
        """获取队列的长度"""
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """判断队列是否为空"""
        return self.__size == 0

    def push(self, num: int):
        """入队"""
        if self.__size == self.capacity():
            raise IndexError("队列已满")
        # 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        # 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部F
        rear: int = (self.__front + self.__size) % self.capacity()
        # 将 num 添加至队尾
        self.__nums[rear] = num
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """出队"""
        num: int = self.peek()
        # 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        self.__front = (self.__front + 1) % self.capacity()
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """访问队首元素"""
        if self.is_empty():
            raise IndexError("队列为空")
        return self.__nums[self.__front]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """返回列表用于打印"""
        res = [0] * self.size()
        j: int = self.__front
        for i in range(self.size()):
            res[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]
            j += 1
        return res
array_queue.go
/* 基于环形数组实现的队列 */
type arrayQueue struct {
    nums        []int // 用于存储队列元素的数组
    front       int   // 队首指针，指向队首元素
    queSize     int   // 队列长度
    queCapacity int   // 队列容量（即最大容纳元素数量）
}

/* 初始化队列 */
func newArrayQueue(queCapacity int) *arrayQueue {
    return &arrayQueue{
        nums:        make([]int, queCapacity),
        queCapacity: queCapacity,
        front:       0,
        queSize:     0,
    }
}

/* 获取队列的长度 */
func (q *arrayQueue) size() int {
    return q.queSize
}

/* 判断队列是否为空 */
func (q *arrayQueue) isEmpty() bool {
    return q.queSize == 0
}

/* 入队 */
func (q *arrayQueue) push(num int) {
    // 当 rear == queCapacity 表示队列已满
    if q.queSize == q.queCapacity {
        return
    }
    // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
    // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
    rear := (q.front + q.queSize) % q.queCapacity
    // 将 num 添加至队尾
    q.nums[rear] = num
    q.queSize++
}

/* 出队 */
func (q *arrayQueue) pop() any {
    num := q.peek()
    // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
    q.front = (q.front + 1) % q.queCapacity
    q.queSize--
    return num
}

/* 访问队首元素 */
func (q *arrayQueue) peek() any {
    if q.isEmpty() {
        return nil
    }
    return q.nums[q.front]
}

/* 获取 Slice 用于打印 */
func (q *arrayQueue) toSlice() []int {
    rear := (q.front + q.queSize)
    if rear >= q.queCapacity {
        rear %= q.queCapacity
        return append(q.nums[q.front:], q.nums[:rear]...)
    }
    return q.nums[q.front:rear]
}
array_queue.js
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    #nums; // 用于存储队列元素的数组
    #front = 0; // 队首指针，指向队首元素
    #queSize = 0; // 队列长度

    constructor(capacity) {
        this.#nums = new Array(capacity);
    }

    /* 获取队列的容量 */
    get capacity() {
        return this.#nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size() {
        return this.#queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    empty() {
        return this.#queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num) {
        if (this.size == this.capacity) {
            console.log('队列已满');
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        const rear = (this.#front + this.size) % this.capacity;
        // 将 num 添加至队尾
        this.#nums[rear] = num;
        this.#queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop() {
        const num = this.peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        this.#front = (this.#front + 1) % this.capacity;
        this.#queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek() {
        if (this.empty()) throw new Error('队列为空');
        return this.#nums[this.#front];
    }

    /* 返回 Array */
    toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        const arr = new Array(this.size);
        for (let i = 0, j = this.#front; i < this.size; i++, j++) {
            arr[i] = this.#nums[j % this.capacity];
        }
        return arr;
    }
}
array_queue.ts
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private nums: number[]; // 用于存储队列元素的数组
    private front: number; // 队首指针，指向队首元素
    private queSize: number; // 队列长度

    constructor(capacity: number) {
        this.nums = new Array(capacity);
        this.front = this.queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    get capacity(): number {
        return this.nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size(): number {
        return this.queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    empty(): boolean {
        return this.queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num: number): void {
        if (this.size == this.capacity) {
            console.log('队列已满');
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        const rear = (this.front + this.queSize) % this.capacity;
        // 将 num 添加至队尾
        this.nums[rear] = num;
        this.queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop(): number {
        const num = this.peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        this.front = (this.front + 1) % this.capacity;
        this.queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek(): number {
        if (this.empty()) throw new Error('队列为空');
        return this.nums[this.front];
    }

    /* 返回 Array */
    toArray(): number[] {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        const arr = new Array(this.size);
        for (let i = 0, j = this.front; i < this.size; i++, j++) {
            arr[i] = this.nums[j % this.capacity];
        }
        return arr;
    }
}
array_queue.c
/* 基于环形数组实现的队列 */
struct arrayQueue {
    int *nums;       // 用于存储队列元素的数组
    int front;       // 队首指针，指向队首元素
    int queSize;     // 尾指针，指向队尾 + 1
    int queCapacity; // 队列容量
};

typedef struct arrayQueue arrayQueue;

/* 构造函数 */
arrayQueue *newArrayQueue(int capacity) {
    arrayQueue *queue = (arrayQueue *)malloc(sizeof(arrayQueue));
    // 初始化数组
    queue->queCapacity = capacity;
    queue->nums = (int *)malloc(sizeof(int) * queue->queCapacity);
    queue->front = queue->queSize = 0;
    return queue;
}

/* 析构函数 */
void delArrayQueue(arrayQueue *queue) {
    free(queue->nums);
    queue->queCapacity = 0;
}

/* 获取队列的容量 */
int capacity(arrayQueue *queue) {
    return queue->queCapacity;
}

/* 获取队列的长度 */
int size(arrayQueue *queue) {
    return queue->queSize;
}

/* 判断队列是否为空 */
bool empty(arrayQueue *queue) {
    return queue->queSize == 0;
}

/* 访问队首元素 */
int peek(arrayQueue *queue) {
    assert(size(queue) != 0);
    return queue->nums[queue->front];
}

/* 入队 */
void push(arrayQueue *queue, int num) {
    if (size(queue) == capacity(queue)) {
        printf("队列已满\r\n");
        return;
    }
    // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
    // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
    int rear = (queue->front + queue->queSize) % queue->queCapacity;
    // 将 num 添加至队尾
    queue->nums[rear] = num;
    queue->queSize++;
}

/* 出队 */
void pop(arrayQueue *queue) {
    int num = peek(queue);
    // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
    queue->front = (queue->front + 1) % queue->queCapacity;
    queue->queSize--;
}

/* 打印队列 */
void printArrayQueue(arrayQueue *queue) {
    int arr[queue->queSize];
    // 拷贝
    for (int i = 0, j = queue->front; i < queue->queSize; i++, j++) {
        arr[i] = queue->nums[j % queue->queCapacity];
    }
    printArray(arr, queue->queSize);
}
array_queue.cs
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private int[] nums;  // 用于存储队列元素的数组
    private int front;   // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 队列长度

    public ArrayQueue(int capacity) {
        nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    public int capacity() {
        return nums.Length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public bool isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            Console.WriteLine("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % capacity();
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new Exception();
        return nums[front];
    }

    /* 返回数组 */
    public int[] toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            res[i] = nums[j % this.capacity()];
        }
        return res;
    }
}
array_queue.swift
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private var nums: [Int] // 用于存储队列元素的数组
    private var front = 0 // 队首指针，指向队首元素
    private var queSize = 0 // 队列长度

    init(capacity: Int) {
        // 初始化数组
        nums = Array(repeating: 0, count: capacity)
    }

    /* 获取队列的容量 */
    func capacity() -> Int {
        nums.count
    }

    /* 获取队列的长度 */
    func size() -> Int {
        queSize
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    func isEmpty() -> Bool {
        queSize == 0
    }

    /* 入队 */
    func push(num: Int) {
        if size() == capacity() {
            print("队列已满")
            return
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        let rear = (front + queSize) % capacity()
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num
        queSize += 1
    }

    /* 出队 */
    @discardableResult
    func pop() -> Int {
        let num = peek()
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity()
        queSize -= 1
        return num
    }

    /* 访问队首元素 */
    func peek() -> Int {
        if isEmpty() {
            fatalError("队列为空")
        }
        return nums[front]
    }

    /* 返回数组 */
    func toArray() -> [Int] {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        var res = Array(repeating: 0, count: queSize)
        for (i, j) in sequence(first: (0, front), next: { $0 < self.queSize - 1 ? ($0 + 1, $1 + 1) : nil }) {
            res[i] = nums[j % capacity()]
        }
        return res
    }
}
array_queue.zig
// 基于环形数组实现的队列
fn ArrayQueue(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        nums: []T = undefined,                          // 用于存储队列元素的数组     
        cap: usize = 0,                                 // 队列容量
        front: usize = 0,                               // 队首指针，指向队首元素
        queSize: usize = 0,                             // 尾指针，指向队尾 + 1
        mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
        mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined,   // 内存分配器

        // 构造函数（分配内存+初始化数组）
        pub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, cap: usize) !void {
            if (self.mem_arena == null) {
                self.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);
                self.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();
            }
            self.cap = cap;
            self.nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.cap);
            @memset(self.nums, @as(T, 0));
        }

        // 析构函数（释放内存）
        pub fn deinit(self: *Self) void {
            if (self.mem_arena == null) return;
            self.mem_arena.?.deinit();
        }

        // 获取队列的容量
        pub fn capacity(self: *Self) usize {
            return self.cap;
        }

        // 获取队列的长度
        pub fn size(self: *Self) usize {
            return self.queSize;
        }

        // 判断队列是否为空
        pub fn isEmpty(self: *Self) bool {
            return self.queSize == 0;
        }

        // 入队
        pub fn push(self: *Self, num: T) !void {
            if (self.size() == self.capacity()) {
                std.debug.print("队列已满\n", .{});
                return;
            }
            // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
            // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
            var rear = (self.front + self.queSize) % self.capacity();
            // 尾节点后添加 num
            self.nums[rear] = num;
            self.queSize += 1;
        } 

        // 出队
        pub fn pop(self: *Self) T {
            var num = self.peek();
            // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
            self.front = (self.front + 1) % self.capacity();
            self.queSize -= 1;
            return num;
        } 

        // 访问队首元素
        pub fn peek(self: *Self) T {
            if (self.isEmpty()) @panic("队列为空");
            return self.nums[self.front];
        } 

        // 返回数组
        pub fn toArray(self: *Self) ![]T {
            // 仅转换有效长度范围内的列表元素
            var res = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());
            @memset(res, @as(T, 0));
            var i: usize = 0;
            var j: usize = self.front;
            while (i < self.size()) : ({ i += 1; j += 1; }) {
                res[i] = self.nums[j % self.capacity()];
            }
            return res;
        }
    };
}
array_queue.dart
/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
  late List<int> _nums; // 用于储存队列元素的数组
  late int _front; // 队首指针，指向队首元素
  late int _queSize; // 队列长度

  ArrayQueue(int capacity) {
    _nums = List.filled(capacity, 0);
    _front = _queSize = 0;
  }

  /* 获取队列的容量 */
  int capaCity() {
    return _nums.length;
  }

  /* 获取队列的长度 */
  int size() {
    return _queSize;
  }

  /* 判断队列是否为空 */
  bool isEmpty() {
    return _queSize == 0;
  }

  /* 入队 */
  void push(int num) {
    if (_queSize == capaCity()) {
      throw Exception("队列已满");
    }
    // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
    // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
    int rear = (_front + _queSize) % capaCity();
    // 将 num 添加至队尾
    _nums[rear] = num;
    _queSize++;
  }

  /* 出队 */
  int pop() {
    int num = peek();
    // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
    _front = (_front + 1) % capaCity();
    _queSize--;
    return num;
  }

  /* 访问队首元素 */
  int peek() {
    if (isEmpty()) {
      throw Exception("队列为空");
    }
    return _nums[_front];
  }

  /* 返回 Array */
  List<int> toArray() {
    // 仅转换有效长度范围内的列表元素
    final List<int> res = List.filled(_queSize, 0);
    for (int i = 0, j = _front; i < _queSize; i++, j++) {
      res[i] = _nums[j % capaCity()];
    }
    return res;
  }
}

以上实现的队列仍然具有局限性，即其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。有兴趣的同学可以尝试自行实现。

两种实现的对比结论与栈一致，在此不再赘述。

5.2.3.   队列典型应用

  • 淘宝订单。购物者下单后，订单将加入队列中，系统随后会根据顺序依次处理队列中的订单。在双十一期间，短时间内会产生海量订单，高并发成为工程师们需要重点攻克的问题。
  • 各类待办事项。任何需要实现“先来后到”功能的场景，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等。队列在这些场景中可以有效地维护处理顺序。

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